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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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 terminus Verfasst am: 10. Mai 2022 11:13 Titel: |
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| Zitat: | Die Multiplikation von Bras und Kets war natürlich nicht verstanden.
...
Ein Ket ist dabei nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Vektor und hat nichts mit Komponenten zu tun. |
genau, wenn man bei den Spalten- und Zeilenvektoren bleiben könnte (n-Tupel Komponenten), dann verstehe ich Skalar-, Vektor- und Matrizenmultiplikationen etc.
das mit den Bras mal von links und mal von rechts kapiere ich aber leider nicht, und ich erkenne dann auch nicht mehr, ob das, was dann danach rauskommt, nun eine Matrize ist oder ein Spalten- oder ein Zeilenvektor oder ein Skalar.
Bei Matrizen und Vektoren laut LA kann ich es mir wenigstens (halbwegs) ableiten, was wie gerechnet wird und dann hinterher rauskommt.
Edit,
PS:
"Dualraum" kenne ich auch noch nicht, wie gerade woanders gelesen...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2022 15:39 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Die Multiplikation von Bras und Kets war natürlich nicht verstanden.
...
Ein Ket ist dabei nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Vektor und hat nichts mit Komponenten zu tun. |
genau, wenn man bei den Spalten- und Zeilenvektoren bleiben könnte (n-Tupel Komponenten), dann verstehe ich Skalar-, Vektor- und Matrizenmultiplikationen etc. |
Du verstehst, wie du rechnest, aber du verstehst noch nicht, was es in der Quantenmechanik bedeutet ;-)
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | das mit den Bras mal von links und mal von rechts kapiere ich aber leider nicht, und ich erkenne dann auch nicht mehr, ob das, was dann danach rauskommt, nun eine Matrize ist oder ein Spalten- oder ein Zeilenvektor oder ein Skalar. |
 ist ein Skalarprodukt
 ist eine Matrix (in der Quantenmechanik ein Operator)
Bitte auswendig lernen!
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Bei Matrizen und Vektoren laut LA kann ich es mir wenigstens (halbwegs) ableiten, was wie gerechnet wird und dann hinterher rauskommt. |
Wie gesagt, es ist nicht so sehr Ziel, dass du das im Detail alles rechnen kannst, sondern dass du die symbolische Notation der Quantenmechanik lernst, und dass du verstehst, was das bedeutet.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 10. Mai 2022 15:51 Titel: |
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nein, vielen Dank, das lerne ich nicht mehr - das hab ich aufgegeben ;-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2022 16:11 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ich habe gerade diese Schreibweise für die Wellenfunktion gesehen:
|ψ>
Wieso schreibt man die in einen Ket?
Ich dachte, ein Ket wäre ein n-dim Spaltenvektor (p1,...pn), was hat das mit ψ zu tun, so wie sie als Hψ in der Schrödingergleichung vorkommt? |
Oder anders:
Frage: Wieso muss man kurz vom Gas gehen, wenn man einen Gang höher schalten will?
Du suchst die Antwort in der Form: Bei einem Schaltgetriebe – auch Wechselgetriebe genannt – werden die Drehzahlübersetzungen durch die Zahnradpaare gebildet. Die häufigste Ausführung eines Handschaltgetriebes ist die des Stirnradgetriebes. Das Drehmoment wird auf die Getriebeeingangswelle von der Kupplung über ein Keilwellenprofil übertragen. Auf der Getriebeeingangswelle sind entweder die Zahnräder der einzelnen Getriebestufen montiert, die mit der Getriebeausgangswelle kämmen oder Eingangswelle und Ausgangswelle des Getriebes sind koaxial (fluchtend), aber geteilt (gemeinsam als Hauptwelle bezeichnet) mit einer achsparallelen Vorgelegewelle ...
Konzentrier dich halt mal auf das, was wichtig ist, glaube uns, dass wir das beurteilen können - insbs. auch, was nicht wichtig ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 10. Mai 2022 16:17 Titel: |
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ja, mein Hirn funktioniert halt anders, ich muss es auf "meine Art und Weise" verstehen, auch wenn ich mir dabei selber im Weg stehe. Reine Formalismen sind nichts für mich, es macht keinen Sinn, darüber zu diskutieren.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2022 16:19 Titel: |
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Die Frage ist nur, warum du X dadurch verstehen willst, dass du Y verwendest, wobei sich dann rausstellt, dass du auch Y nicht verstanden hast.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 11. Mai 2022 05:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es ist aber sinnlos, das mit Zeilen- und Spaltenvektoren zu "erklären", weil es reine Konvention ist, wie man das schreibt; es erklärt nichts. Hast du das verstanden? ;-)
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Nicht wirklich.
Wenn einer danach fragt, was der Unterschied zwischen und ist, aber weiß, was der Unterschied zwischen einem Skalarprodukt zweier Vektoren und einem Matrixprodukt ist, scheint es mir schon hilfreich, ihm das Unbekannte mit dem Bekannten nahe zu bringen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Bra-Ket-Schreibweise symbolisiert zunächst mal eindeutig, um was es dabei geht. Man kann zum Beispiele Vektoren und duale Vektoren optisch unterscheiden, was man mit der Pfeilnotation nicht kann. Verstehen muss man's trotzdem noch, aber ist hilft ungemein, wenn man es sieht.
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Ja.
Wenn man klar sagt, dass es um die Darstellung von Vektoren in zwei unterschiedlichen Räumen handelt, dann ist vielleicht klarer, warum man nicht in der normalen Vektordarstellung bleibt.
Das kam IMO hier nicht ganz raus:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | bei n verknotet sich gerade mein Hirn - n ist für mich (meist bis immer) eine Natürliche Zahl.
Könnten wir bei e_n bleiben?
oder meinetwegen ê? |
Nein, wir bleiben nicht bei e_n oder ê, wir wollen ja Quantenmechanik lernen ;-)
Ja, n ist eine natürliche Zahl; und |n> ist der n-te Basisvektor bzw. Basis-Bra. <n| ist der n-te Basis-Ket. Und dieser Unterschied ist essentiell, in der normalen Notation siehst du ihn aber nicht. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Dass man mit Zeilen- und Spaltenvektoren rechnen kann, bedeutet noch lange nicht, dass man versteht, was man dabei eigentlich tut; darauf kommt es aber in der Quantenmechanik an. Deswegen halte ich von der Gymnastik mit Zeilen- und Spaltenvektoren letztlich nichts.
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Das sollte keine Gymnastik sein, sondern das Runterbrechen auf eine konkretere Ebene. Ein konkretes Beispiel hilft manchen Menschen ungemein, einen abstrakten Sachverhalt zu erfassen.
Macht Sakurai übrigens auch, im Abschnitt "Matrix Representations" und schreibt die Summen mal explizit aus.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
In dem Moment, wo man suggeriert, "der Vektor wäre das n-Tupel" führt man die Leute vollkommen in die Irre.
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Da hast Du recht, ("vollkommen" ist vielleicht etwas übertrieben). Ich hatte ja selbst in einem der ersten Beiträge den Wikipedia-Hinweis zitiert, dass die n-Tupel oder Zeilen- bzw. Spaltenvektoren nur eine Darstellung eines Vektors sind aber nicht mit diesem gleich zu setzen.
Durch die Diskussion hier habe ich es jetzt auch besser verstanden. :-)
Wenn ich Addition mit Äpfeln erkläre, heißt das nicht, dass natürliche Zahlen Äpfel sind.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Ket ist dabei nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Vektor und hat nichts mit Komponenten zu tun.
)
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Hmm, das finde ich nun wieder...irritierend
Ist das nicht ungefähr so, wie wenn Du sagst, Temperatur hat nichts mit °C zu tun.
Oder ein Wort hätte nichts mit seiner Darstellung als Zeichenfolge zu tun? |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 11. Mai 2022 05:36 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ja, mein Hirn funktioniert halt anders, ich muss es auf "meine Art und Weise" verstehen, auch wenn ich mir dabei selber im Weg stehe. Reine Formalismen sind nichts für mich, es macht keinen Sinn, darüber zu diskutieren. |
Ich glaube, Du stehst Dir damit im Weg, dass Du Zeit damit verschwendest,
Dich selbst als dumm zu erklären.
Dumm wäre es aus meiner Sicht, wenn Du nicht die Gelegenheit nutzt, die Dir hier von TomS geboten wird.
Zumindest, wenn Du an Antworten auf die Fragen interessiert bist, Die Du hier stellst.
Ist das hier wirklich für Dich nicht "verstehbar"?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | 
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
ist ein Skalarprodukt
ist eine Matrix (in der Quantenmechanik ein Operator)
Bitte auswendig lernen!
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Wenn Dein Hirn mit  und  klar kommt und irgendwann mal gelernt hat, was ein Skalarprodukt und eine Matrix ist, musst Du zunächst doch nur eine Art der Darstellung durch eine andere ersetzen?
Motiviert dadurch, dass man es mit Vektoren in zwei Räumen zu tun hat.
(Falls ich Dich mit den n-Tupeln in die Irre geführt habe, bitte ich Dich um Entschuldigung) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2022 06:20 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Ket ist dabei nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Vektor und hat nichts mit Komponenten zu tun.
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Hmm, das finde ich nun wieder...irritierend
Ist das nicht ungefähr so, wie wenn Du sagst, Temperatur hat nichts mit °C zu tun.
Oder ein Wort hätte nichts mit seiner Darstellung als Zeichenfolge zu tun? |
Ich hätte schreiben sollen
 = (\langle 1|r\rangle, \langle 2|r\rangle, \ldots) = (\vec{e}_1 \vec{r}, \vec{e}_2 \vec{r}, \ldots) )
Und dann könnte es weiter gehen im Sinne von “ok, ist was anderes, aber was bedeutet das?” … “es geht um den Unterschied zwischen dem Vektor selbst, und den Komponenten bzgl. einer Basis” … ”und das bedeutet?” … Und dazu muss man nichts rechnen, die simple Zerlegung einer Kraft an einer schiefen Ebene erklärt mehr.
Ich habe auch nicht geschrieben “ein Vektor hat nichts mit Komponenten zu tun” im Sinne von “Temperatur hat nichts mit °C zu tun”. °C ist ein Maß der Temperatur bzgl. einer möglichen Temperaturskala, und Komponenten sind die Darstellungen eines Vektors bzgl. einer möglichen Basis.
Aber in der Thermodynamik rechnet zunächst niemand mit °C, oft noch nicht mal mit K, sondern mit dem Symbol T für Temperatur. Weil z.B. das ideale Gasgesetz pV = NkT am einfachsten angegeben wird, ohne dass man Zahlenwerte benutzt.
Man versteht auch die Addition von Vektoren und Kräften und die Zerlegung von Kräften bzgl. verschiedener Basen besser durch eine geometrische Notation als durch das Hantieren mit Komponenten.
Und dass heißes Wasser zu Verbrühungen führt, war schon vor Celsius und Kelvin bekannt. Hier stehen wir - im übertragenen Sinne - vor der absurden Situation, dass der Fragesteller den Sachverhalt und die Bedeutung von Verbrühung verstehen möchte, und zwar mittels der Kelvin-Skala, die er nicht verstanden hat, und mittels derer man Verbrühungen prinzipiell nicht verstehen kann, selbst wenn man die Kelvin-Skala verstanden hätte - und dass er die Hinweise, die Kelvin-Skala zu vergessen, weil sie irrelevant ist, konsequent ignoriert, und stattdessen rechnen möchte.
Und - um den Bogen zu schließen - die Gemeinsamkeiten und die Bedeutung von
erkläre ich anhand dieser Darstellung, nicht anhand der Unterschiede von
 )
und
)
insbs. dann, wenn letzteres nicht, nur teilweise oder sogar falsch verstanden wurde.
M.E. benötigt man zum Grundverständnis der Mathematik der Quantenmechanik zwei Gleichungen, in denen man die Symbole zumeist graphisch erklärt:
Und das auf etwas Bekanntes zurückzuführen funktioniert hier offensichtlich nicht, da leider nichts als bekannt und verstanden vorausgesetzt werden kann. Also muss man sich an Symbolen und deren Bedeutung festhalten; komplizierte Darstellungen (der Symbole) und seitenweise Rechnungen bringen nichts, weil man sich erstens bei den Rechnungen verzettelt, und weil man am Ende zwar ein Ergebnis dastehen hat, jedoch Rechnung und Ergebnis mit Bedeutung und Verständnis verwechselt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 11. Mai 2022 18:43 Titel: |
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Ich verstehe das alles nicht. Ich dachte immer |psi> wäre nur eine andere Schreibweise für die Funktion psi(x) (erstmal eindimensional betrachtet).
Das Argument x wird dabei als kontinuierlicher (Spalten-)Index angesehen.
Analog ist <psi| die konjugiert komplexe Funktion psi*(x), allerdings mit x als kontinuierlichem Zeilen-Index.
Der Trick ist nun, dass das Skalarprodukt <psi|psi> das Intergral
ist, welches die Norm des Wellenpaketes darstellt. Bra-Ket kann man als eine abgekürzte Schreibweise für Integrale verwenden.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2022 18:59 Titel: |
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Die Wellenfunktionen im Ortsraum bzw. ihre Fouriertransformierte im Impulsraum entsprechen den Projektion des Zustandsvektors auf die Orts- bzw. Impuls-Eigenbasis, d.h. Wellenfunktionen entsprechen den Komponenten des Zustandsvektors bzgl. der jeweiligen Basis. Dabei treten x und p als „kontinuierliche Indizes“ auf.
 = \langle x |\psi \rangle)
 = \langle p |\psi \rangle)
Umgekehrt kann der Zustandsvektor wieder mittels der Komponenten dargestellt werden
 \, |x\rangle )
Dabei wird die Vollständigkeit der jeweiligen Basis verwendet, d.h.
Damit folgt für das Skakarprodukt
 \, v(x) )
Die Intention ist aber nun gerade NICHT, diese ganzen mathematischen Details zu verstehen, die nichts wesentliches zum Verständnis der Physik beitragen, sondern die Quantenmechanik vollständig OHNE diese mathematischen Details kennen zu lernen – genau das funktioniert bei einer Beschränkung auf die Bra-Ket-Schreibweise!
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Mai 2022 19:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 11. Mai 2022 19:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Das verstehe ich nicht. Links steht das x für einen festen Wert, den man in die Funktion einsetzt. Rechts ist das x dagegen eine Laufvariable, die von minus bis plus unendlich alle Werte durchläuft und mit psi multipliziert wird, was ebenfalls eine Laufvariable ist.
Das kann doch nie das Gleiche sein.
Nehmen wir an, x könne nur zwei Werte annehmen, z.B. 4 und 5.
Dann stände da psi(4) = 4 * 4 + 5 * 5 und psi(5) = 4 * 4 + 5 * 5 .
Das gibt null Sinn.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 11. Mai 2022 19:54 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Rechts ist das x dagegen eine Laufvariable, die von minus bis plus unendlich alle Werte durchläuft und mit psi multipliziert wird, was ebenfalls eine Laufvariable ist …
Das gibt null Sinn. |
Weder x noch psi sind hier Laufvariablen (das wären sie, wenn da ein Integral über x da stünde)
x steht für genau einen festen, reellen Wert, psi bezeichnet genau einen Vektor.
Das ist völlig analog zu einem diskreten Index n, siehe eine Basis im 3-dim. Raum, also n = 1,2,3.
 = \langle x | \psi \rangle )
Was du mit deinem 4*4 + 5*5 sagen willst, ist mir völlig schleierhaft.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 11:05 Titel: |
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Off-Topic-Diskussion entfernt und Thread auf Wunsch von Aruna wieder geöffnet.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Mai 2022 12:28 Titel: |
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Ich bin der Meinung, daß es sich nicht auszahlt diese Analogie zwischen Hilbertraumbasen und "kontinuierlichen Basen" zu forcieren.
"Etwas kompliziert wird die Sache, wenn "kontinuierliche Basen" betrachtet werden sollen."
Es gibt keine kontinuierlichen Basen. Wie im selben Abschnitt steht, hat jeder Hilbertraum eine abzählbare Hilbertraumbasis. Was da stehen sollte, ist: "Etwas (deutlich) komplizierter wird die Sache, wenn Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum betrachtet werden sollen." Im Gegensatz zur Verwendung von "Basen", die es nicht gibt, erfordert die Darstellung der Heisenbergalgebra  tatsächlich Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum zu betrachten.
Aber zu den Elementen des kontinuierlichen Spektrums gehören gerade keine Vektoren  mit |\psi\rangle = 0) . Hier führt also die Analogie zur lineare Algebra komplett in die Irre. Stattdessen lädt sie sogar dazu ein, die Definition des Ortsoperators (x) = xf(x)) in der Ortsdarstellung mit der Eigenwertgleichung zu verwechseln. Dabei kommt dann Unsinn heraus wie  , was bis auf die Bezeichnung für den "Eigenvektor" praktisch identisch aussieht zur Gl. |a\rangle = 0) aus dem Artikel, die etwas völlig anderes bedeutet und nur für Eigenwerte a (oder  ) gelten kann.
In diesem Thread habe ich meine Ansicht dazu schon mal geäußert.
Gerade wenn man ein tieferes Verständnis für den Formalismus der QM erreichen will, bringt es nichts diese Analogie überzustrapazieren, da sie irreführend ist. Ich würde sogar behaupten, die ganze Diracnotation kann das Verständnis erheblich behindern. Warum verwenden wir nicht einfach  für die Hilbertraumvektoren und benutzen  nur für das innere Produkt? Statt dem mehrdeutigen  verwenden wir die beiden eindeutigen Schreibweisen  und  . Beide bedeuten nicht daselbe, und macht nicht klar, was gemeint ist. In Ausdrücken der Form  muß man sich dauernd fragen, ob nun wirklich A oder sein Adjungierter gemeint ist oder ob das vielleicht gar keine Rolle spielt, weil A selbstadjungiert ist (eine ziemlich starke Voraussetzung). Das alles ist m.E. nichts für Anfänger.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 12:58 Titel: |
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Ich denke, es ist in diesem Kontext ausreichend, auf die mathematischen Probleme hinzuweisen, nicht jedoch, sie im Detail zu thematisieren. Evtl. muss ich das in dem verlinkten FAQ noch besser darstellen.
Die Analogie halte ich für sinnvoll und wichtig, da die physikalische Bedeutung identisch ist, auch wenn die Mathematik dahinter deutlich komplizierter wird.
Die symbolische Notation für Eigenwerte bzw. Werte des kontinuierlichen Spektrums, Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse, Übergangswahrscheinlichkeiten etc. ist für beide Fälle identisch. Was sich unterscheidet ist der mathematische Formalismus - der in diesem Thread aber gerade nicht im Vordergrund steht.
EDIT: Ich habe den von dir verlinkten Thread nochmal durchgesehen; es bringt m.E. nichts, diese Diskussion hier fortzuführen. Wenn du aber möchtest, kannst du den von mir verlinkten Text im FAQ gerne korrigieren bzw. nachschärfen; das wäre sehr hilfreich.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 12. Mai 2022 13:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Thread auf Wunsch von Aruna wieder geöffnet. |
Danke  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Mai 2022 14:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die symbolische Notation für Eigenwerte bzw. Werte des kontinuierlichen Spektrums, Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse, Übergangswahrscheinlichkeiten etc. ist für beide Fälle identisch.
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Eben nicht.  ist keine Amplitude für irgendeine Übergangswahrscheinlichkeitsdichte. Dasselbe gilt für ) . Darauf hast du ja, glaube ich, selbst schon hingewiesen. Meine Kritik besteht ja u.a. gerade darin, daß dieselbe Symbolik verwendet wird, obwohl sie in einigen physikalisch relevanten Fällen (kontinuierliches Spektrum) zu sinnlosen Ausdrücken führt. Ein anderes Beispiel ist  für den Ortsoperator. (Das ironische an der Diracnotation ist übrigens, daß die Unterscheidung zwischen Bras und Kets nur in solchen Fällen notwendig ist, in denen nicht zu jedem Bra ein Ket gehört. Trotzdem suggeriert sie die ganze Zeit es gäbe so etwas wie ein "Ket"  .)
Mir geht es aber gar nicht darum mathematische Feinheiten zu diskutieren. Ich will nur überflüssige und irreführende Terminologie vermeiden. Das mathematisch einfachste quantenmechanische Modell besteht aus einer Operatoralgebra auf einem Hilbertraum. Dazu benötigt man nicht mal eine Unterscheidung zwischen "Bras" und "Kets", weil beides einfach Vektoren aus demselben Hilbertraum sind. Eine Unterscheidung erscheint mir deshalb überflüssig. Verwirrend ist die Bezeichnung "Eigenwert" für Elemente des kontinuierlichen Spektrums. Das kontinuierliche Spektrum ist (abgesehen von Feinheiten) genau der Teil, der nicht aus Eigenwerten besteht. Es kann also kaum verwirrender sein. Genauso ist jeder Basisvektor ein Element des Hilbertraums. (Genau das macht ihn zum Element einer Basis.) Zu jedem Element des Hilbertraums existiert nach dem Spektralsatz ein eindeutiges Element aus  . Die Elemente der "kontinuierlichen" Basen sind aber gerade nicht aus . Die Terminologie erscheint mir deshalb wieder maximal verwirrend. Und es gibt keinen guten Grund dafür, nur eine forcierte formale Analogie, die oft zu sinnlosen Ausdrücken führt.
| Zitat: | | EDIT: Ich habe den von dir verlinkten Thread nochmal durchgesehen; es bringt m.E. nichts, diese Diskussion hier fortzuführen. |
Natürlich, das war auch gar nicht meine Absicht. Ich wollte nur darauf hinweisen, in der Hoffnung, daß es hilfreich sein könnte.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 15:49 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | ist keine Amplitude für irgendeine Übergangswahrscheinlichkeitsdichte. |
Richtig.
Aber die symbolische Notationen für Eigenwerte bzw. Werte des kontinuierlichen Spektrums sind identisch
 \, |\psi_a\rangle = 0)
und die Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte sind jeweils
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Meine Kritik besteht ja u.a. gerade darin, daß dieselbe Symbolik verwendet wird, obwohl sie in einigen physikalisch relevanten Fällen (kontinuierliches Spektrum) zu sinnlosen Ausdrücken führt. |
Da hast du zwar recht, aber ...
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Mir geht es aber gar nicht darum mathematische Feinheiten zu diskutieren. Ich will nur überflüssige und irreführende Terminologie vermeiden ... Die Terminologie erscheint mir deshalb wieder maximal verwirrend ... Und es gibt keinen guten Grund dafür, nur eine forcierte formale Analogie, die oft zu sinnlosen Ausdrücken führt. |
... doch, den guten Grund gibt es schon, weil es diverse formale Analogien gibt, die dies nahe legen - und weil die Notation gerade deswegen so verbreitet ist.
Ich verstehe deine mathematischen Vorbehalte, aber du kriegst es nicht aus der Welt.
Was schlägst du für meinen verlinkten Thread vor? Die mathematisch zweifelhaften Aussagen eliminieren? Dann bleibt ein Torso übrig, und man verliert genau das, was die Dirac-Notation auszeichnet, nämlich eine (fast) immer gültige, kompakte Notation. Mein Vorschlag wäre weiterhin, auf die mathematisch problematischen Punkte explizit hinzuweisen, sowie (neu) eine einfache Lösung vorzuschlagen, nämlich den L²[a,b] statt L²[-∞, +∞]. Das löst es, oder?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Mai 2022 16:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | ist keine Amplitude für irgendeine Übergangswahrscheinlichkeitsdichte. |
Richtig.
Aber die symbolische Notationen für Eigenwerte bzw. Werte des kontinuierlichen Spektrums sind identisch
|
Diese Gleichung gilt eben nicht, wenn a aus dem kontinuierlichen Spektrum ist, bzw. nur für  . Ansonsten handelt es sich um die definierende Eigenschaft von Eigenwerten, also Elementen aus dem diskreten Spektrum.
| Zitat: |
und die Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte sind jeweils
|
Ja, man muß eben wissen, welche Bras und Kets man kombinieren darf.  mit bestimmten (aber nicht allen) Elementen  des Hilbertraums ist erlaubt und liefert den Wert einer Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort x. Die Kombination  liefert keinen Zustand und keine Wahrscheinlichkeitsdichte, sondern etwas, das man zusammen mit bestimmten Zuständen unter ein Integral schreiben darf (m.a.W, ein Funktional über einem Teilraum des Hilbertraums.) Also ist die Notation keineswegs so schön einheitlich, wie sie vorgibt. Es ist kein Vorteil eine Notation zu verwenden, die über solche Subtilitäten hinwegbügelt, wenn man ohnehin weitestgehend ohne diese Funktionale auskommt (was meine Behauptung ist).
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Meine Kritik besteht ja u.a. gerade darin, daß dieselbe Symbolik verwendet wird, obwohl sie in einigen physikalisch relevanten Fällen (kontinuierliches Spektrum) zu sinnlosen Ausdrücken führt. |
Da hast du zwar recht, aber ...
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Mir geht es aber gar nicht darum mathematische Feinheiten zu diskutieren. Ich will nur überflüssige und irreführende Terminologie vermeiden ... Die Terminologie erscheint mir deshalb wieder maximal verwirrend ... Und es gibt keinen guten Grund dafür, nur eine forcierte formale Analogie, die oft zu sinnlosen Ausdrücken führt. |
... doch, den guten Grund gibt es schon, weil es diverse formale Analogien gibt, die dies nahe legen - und weil die Notation gerade deswegen so verbreitet ist.
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Formale Analogien sind nur dann hilfreich, wenn sie inhaltlich zutreffen, sich also substantiell untermauern lassen. Andernfalls sind sie nichts besseres als hinkende Vergleiche, die man wieder vergessen muß, wenn man über die Einführung hinauskommen will. Daß sie hinken, kritisiere ich. Daß sie verbreitet sind ist genau deswegen bedauerlich. Aber es ist kein Argument sie zu verwenden.
| Zitat: |
Was schlägst du für meinen verlinkten Thread vor?
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Mein Vorschlag wäre: 1) auf die Dirac-Notation zu verzichten. (Oder höchstens in Form eines "Sprachführers" zum besseren Verständnis von Lehrbüchern anzubieten.) 2) Keine Unterscheidung zwischen Bras und Kets einzuführen, sondern lediglich von Hilbertraumvektoren und deren innerem Produkt  zu reden. 3) Eine andere Behandlung von kontinuierlichen Spektren vorzunehmen. Dazu benötigt man nur unitäre Operatoren, ohne die man in der QM ohnehin nicht auskommt. Die Ortsdarstellung (für ein einzelnes Teilchen) ist eine unitäre Abbildung ) , die Hilbertraumvektoren auf Ortswellenfunktionen abbildet  . Sie ist durch nichts anderes charakterisiert, als die Wirkung des Ortsoperators (\lambda) = \lambda f(\lambda)) . Da sie unitär ist, gilt
 g(x), \qquad (U_X\phi = g))
etc. Dasselbe gilt für die Impulsdarstellung  :
(\lambda) = \lambda \hat{f}(\lambda)) .
Man verwendet hier also nichts, was man nicht ohnehin benötigt: (normierbare) Wellenfunktionen und unitäre Abbildungen, keine "kontinuierlichen Basisvektoren" oder lineare Funktionale, die sich nicht durch Vektoren darstellen lassen.
| Zitat: |
Die mathematisch zweifelhaften Aussagen eliminieren? Dann bleibt ein Torso übrig, und man verliert genau das, was die Dirac-Notation auszeichnet, nämlich eine (fast) immer gültige, kompakte Notation. Mein Vorschlag wäre weiterhin, auf die mathematisch problematischen Punkte explizit hinzuweisen, sowie (neu) eine einfache Lösung vorzuschlagen, nämlich den L²[a,b] statt L²[-∞, +∞] Das löst es, oder? |
Inwiefern?
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 17:26 Titel: |
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Mit deinen Vorschlägen hast du technisch natürlich recht, aber eben nicht für unsere Zielsetzung hier.
Natürlich gilt
 \, e^{ipx} = 0)
nur ist das eben keine Eigenwertgleichung im L²[-∞, +∞]
L²[a,b] bzw. besser L²[S¹] löst das Problem insofern, als dass aufgrund der Randbedingungen das Spektrum diskret und die ebenen Wellen normierbar d.h. Elemente des L² sind.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Mai 2022 18:51 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Mit deinen Vorschlägen hast du technisch natürlich recht, aber eben nicht für unsere Zielsetzung hier.
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Meine Zielsetzung ist eine möglichst einfache Einführung in die QM ohne überflüssige und irreführende Notation/Terminologie. Ich denke das ist zumindest verträglich mit deinen Zielen. Die einzige Differenz dürfte in der Methode bestehen.
| Zitat: |
Natürlich gilt
nur ist das eben keine Eigenwertgleichung im L²[-∞, +∞]
|
Ja, eben. Genau aus diesem Grund wäre die einzig sinnvolle Übersetzung dieser Gleichung in die Diracschreibweise
 = 0,)
mit dem Dual-Adjungierten (nicht dem Hibertraumadjungierten) P' von P (was diese Notation in gewohnt mehrdeutiger Weise gar nicht unterscheidet). Das ist nämlich eines dieser Bras ohne zugehöriges Ket aus dem Hilbertraum. Und diese Eigenwertgleichung gilt für Funktionale auf einer dichten Teilmenge des Hilbertraums, nicht für irgendein Element aus dem Hilbertraum. Die Gl. |p\rangle=0) ist hingegen im Hilbertraum sinnlos. Schon  allein ist sinnlos. So ein Objekt existiert einfach nicht. Warum soll man eine Notation verwenden, die es Anfängern so einfach macht, sinnlose Gleichungen zu produzieren?
Mein ganzer Punkt ist doch, daß man in einer Einführung ganz auf diese Funktionale und dual Adjungierte verzichten sollte. Dann muß man auch keine Notation einführen, die so tut als bestünde hier eine Analogie zu Eigenwertproblemen im Hilbertraum, was schlicht nicht der Fall ist.
| Zitat: |
L²[a,b] bzw. besser L²[S¹] löst das Problem insofern, als dass aufgrund der Randbedingungen das Spektrum diskret und die ebenen Wellen normierbar d.h. Elemente des L² sind. |
Das gilt für den Impulsoperator mit periodischen Randbedingungen, nicht den Ortsoperator. Dieser hat immer noch ein rein kontinuierliches Spektrum. (Es besteht einfach keine Chance, daß f(x)=0) irgendeine nichttriviale Lösung in besitzt, egal unter welchen Randbedingungen.)
Aber der Punkt ist doch nur folgender: auch ohne kontinuierliches Spektrum ist die Diracnotation mehrdeutig, irreführend und unnötig komplex (letzteres wegen der formalen aber irrelevanten Unterscheidung zwischen Bras und Kets). Mit kontinuierlichem Spektrum ist sie außerdem manchmal sinnlos. Didaktische Vorteile hat sie m.E. überhaupt keine.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 19:15 Titel: |
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:-)
Ja, anderes Problem, da der Ortsoperator bei periodischen Randbedingungen problematisch ist, denn leider ist für
 = 1 \in L_2[S^1] )
dann
 = x \notin L_2[S^1] )
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 21:06 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Mein Vorschlag wäre: 1) auf die Dirac-Notation zu verzichten. (Oder höchstens in Form eines "Sprachführers" zum besseren Verständnis von Lehrbüchern anzubieten.) 2) Keine Unterscheidung zwischen Bras und Kets einzuführen, sondern lediglich von Hilbertraumvektoren und deren innerem Produkt zu reden. 3) Eine andere Behandlung von kontinuierlichen Spektren vorzunehmen. Dazu benötigt man nur unitäre Operatoren, ohne die man in der QM ohnehin nicht auskommt. Die Ortsdarstellung (für ein einzelnes Teilchen) ist eine unitäre Abbildung , die Hilbertraumvektoren auf Ortswellenfunktionen abbildet . Sie ist durch nichts anderes charakterisiert, als die Wirkung des Ortsoperators . Da sie unitär ist, gilt
etc. Dasselbe gilt für die Impulsdarstellung :
.
Man verwendet hier also nichts, was man nicht ohnehin benötigt: (normierbare) Wellenfunktionen und unitäre Abbildungen, keine "kontinuierlichen Basisvektoren" oder lineare Funktionale, die sich nicht durch Vektoren darstellen lassen. |
Prima.
Zwei Anmerkungen:
1 & 2. Inwiefern stört dich bei deiner Vorgehensweise die Dirac-Notation?
3. Letztlich vermeidest du es, von Orts- und Impulseigenzuständen zu sprechen. Ok, die Idee hatte ich auch schon. Wie stellst du den Anschluss an sämtliche Bücher und Skripte her, die ebene Wellen verwenden?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 12. Mai 2022 22:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Ket ist dabei nichts anderes als eine andere Schreibweise für einen Vektor und hat nichts mit Komponenten zu tun.
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Hmm, das finde ich nun wieder...irritierend
Ist das nicht ungefähr so, wie wenn Du sagst, Temperatur hat nichts mit °C zu tun.
Oder ein Wort hätte nichts mit seiner Darstellung als Zeichenfolge zu tun? |
Ich hätte schreiben sollen
|
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
\\ v_0\sin(\alpha) \end{pmatrix}\ \ ?)
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und dann könnte es weiter gehen im Sinne von “ok, ist was anderes, aber was bedeutet das?” … “es geht um den Unterschied zwischen dem Vektor selbst, und den Komponenten bzgl. einer Basis” … ”und das bedeutet?”
|
Ja, das erfasse ich noch nicht ganz.
Ich verstehe, dass es für den gleichen Vektor verschiedene Darstellungen in verschiedenen Basen gibt, aber der stimmt mit seinen Komponenten IMO doch mehr überein als ein Schauspieler mit einem Bild von dem Schauspieler?
Klar kann ich mir einen Vektor als einen Pfeil von der Küche in das Wohnzimmer vorstellen, aber da benutze ich ja wieder Küche und Wohnzimmer als Bezugspunkte.
Eventuell hab ich damit ähnliche Probleme, wie mit dem Verständnis einer grundlegenden Raumzeit in der es kein absolutes Bezugsystem gibt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Man versteht auch die Addition von Vektoren und Kräften und die Zerlegung von Kräften bzgl. verschiedener Basen besser durch eine geometrische Notation als durch das Hantieren mit Komponenten.
|
Der übliche Weg ist wohl, dass man das erst geometrisch macht und dann abstrakter wird.
Wenn ich eine Darstellung in Komponenten sehe, habe ich die geometrische Zerlegung irgendwie im Hinterkopf.
Wenn man da gleich abstrakt beginnt, wird es eventuell schwierig.
Und was ist der Unterschied zwischen der geometrischen Zerlegung und der Komponentenschreibweise?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
M.E. benötigt man zum Grundverständnis der Mathematik der Quantenmechanik zwei Gleichungen, in denen man die Symbole zumeist graphisch erklärt:
Und das auf etwas Bekanntes zurückzuführen funktioniert hier offensichtlich nicht, da leider nichts als bekannt und verstanden vorausgesetzt werden kann. Also muss man sich an Symbolen und deren Bedeutung festhalten;
|
Wie willst Du eine Bedeutung von Symbolen vermitteln, ohne auf etwas Bekanntes aufzusetzen?
Probier's doch mal bei mir aus und erklär mir die Bedeutung diese Symbole ohne Bezug von etwas, was ich kenne.
Also nimm einfach an, ich habe keinerlei Ahnung, was die Zeichen da bedeuten.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
komplizierte Darstellungen (der Symbole) und seitenweise Rechnungen bringen nichts, weil man sich erstens bei den Rechnungen verzettelt, und weil man am Ende zwar ein Ergebnis dastehen hat, jedoch Rechnung und Ergebnis mit Bedeutung und Verständnis verwechselt. |
Wenn ich jemandem, der das Summensymbol nicht kennt, erklären will, was
bedeutet, dann schreib ich die Summe einmal aus und setze auf Vorkenntnisse in Addition auf.
 + n)
Wie würdest Du das tun? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2022 23:33 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe? |
Streng genommen ja.
Nur geht bei der QM teilweise einiges schief, wenn man diese Unterscheidung nicht macht, beim schrägen Wurf eher nicht ;-)
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Man versteht auch die Addition von Vektoren und Kräften und die Zerlegung von Kräften bzgl. verschiedener Basen besser durch eine geometrische Notation als durch das Hantieren mit Komponenten.
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Der übliche Weg ist wohl, dass man das erst geometrisch macht und dann abstrakter wird.
Wenn ich eine Darstellung in Komponenten sehe, habe ich die geometrische Zerlegung irgendwie im Hinterkopf.
Wenn man da gleich abstrakt beginnt, wird es eventuell schwierig.
Und was ist der Unterschied zwischen der geometrischen Zerlegung und der Komponentenschreibweise? |
Nehmen wir die Gewichts-, die Hangabtriebs- und die Normalkraft an der schiefen Ebene. Dann gilt
Die Zerlegung der Kraft führt demnach auf die Komponenten
 = (\vec{e}_H \cdot \vec{F}, \vec{e}_N \cdot \vec{F}) )
Aber wenn ich mir das graphisch überlege, kann ich auf die Komponenten verzichten. Ich benötige die Algebra zunächst gar nicht.
Wenn ich mir überlege, wie eine Superposition eines Atomes zwischen angeregtem und Grundzustand unter Aussendung eines Photons zustande kommt
und was das gemäß der Quantenmechanik bedeutet
\rangle = e^{-\lambda t}\,|A^\star\rangle + \sqrt{1 - e^{-2\lambda t}}\,\,|A, \gamma\rangle)
dann steckt für mich die wesentliche Information und der essentielle Unterschied zur klassischen Mechanik darin, dass sich das Atom in einer Superposition von sich klassisch ausschließenden Zuständen befindet. Die Zustände sind orthogonal (wie an der schiefen Ebene), d.h.
Die Zeitentwicklung "dreht" den angeregten Zustände in den Grundzustand.
Man kann das rein graphisch veranschaulichen, d.h. man benötigt für diese geometrische Überlegung keine lineare Algebra und keine Komponenten. Natürlich wird man für konkrete Rechnungen auf die Komponenten zurückgreifen, aber für einen Einstieg ist das evtl. verzichtbar.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
M.E. benötigt man zum Grundverständnis der Mathematik der Quantenmechanik zwei Gleichungen, in denen man die Symbole zumeist graphisch erklärt:
Und das auf etwas Bekanntes zurückzuführen funktioniert hier offensichtlich nicht, da leider nichts als bekannt und verstanden vorausgesetzt werden kann. Also muss man sich an Symbolen und deren Bedeutung festhalten;
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Wie willst Du eine Bedeutung von Symbolen vermitteln, ohne auf etwas Bekanntes aufzusetzen? |
In dem ich sie erkläre.
Die erste Gleichung besagt, dass ich ich dem System Eigenschaften zuschreiben kann, und dass sich das System in einem Zustand befinden kann, der einer Superposition dieser Eigenschaften entspricht. Die zweite Gleichung besagt, dass die Zeitentwicklung des Systems einer Art Drehung eines Vektors entspricht (nur so als Startpunkt).
Es ist natürlich schwierig, sich eine Superposition dieser Eigenschaften vorzustellen. Aber es ist evtl. einfacher, diese Vorstellung nicht noch mittels linearer Algebra zu überfrachten.
Man muss erstens lineare Algebra lernen, man muss zweitens Vektoren mittels Spaltenvektoren darstellen, drittes Matrizen einführen, und man muss viertens - wenn man das alles hinter sich gebracht hat - erkennen, dass man damit evtl. noch gar keine Physik betrieben hat, wenn man nämlich irgendeine willkürliche bzw. sinnfreie Zerlegung eingeführt hat.
Man starrt auf die Mathematik der Zeilen- und Spaltenvektoren sowie der Matrizen, während die Physik alleine in (zeitabhängigen) Drehung eines Vektorpfeiles und in Winkeln zwischen je zwei Vektorpfeilen steckt.
Aber evtl. ist diese Idee der Vermeidung von linearer Algebra ...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... komplizierte Darstellungen (der Symbole) und seitenweise Rechnungen bringen nichts, weil man sich erstens bei den Rechnungen verzettelt, und weil man am Ende zwar ein Ergebnis dastehen hat, jedoch Rechnung und Ergebnis mit Bedeutung und Verständnis verwechselt. |
auch nicht mehr relevant, nachdem sich terminus hier verabschiedet hat.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 05:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe? |
Streng genommen ja.
Nur geht bei der QM teilweise einiges schief, wenn man diese Unterscheidung nicht macht, beim schrägen Wurf eher nicht ;-)
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Kannst Du ein Beispiel nennen, was schief gehen kann, wenn man diese Unterscheidung nicht macht?
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich mir überlege, wie eine Superposition eines Atomes zwischen angeregtem und Grundzustand unter Aussendung eines Photons zustande kommt
und was das gemäß der Quantenmechanik bedeutet
dann steckt für mich die wesentliche Information und der essentielle Unterschied zur klassischen Mechanik darin, dass sich das Atom in einer Superposition von sich klassisch ausschließenden Zuständen befindet. Die Zustände sind orthogonal (wie an der schiefen Ebene), d.h.
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Wie soll denn jemand, der nicht weiß, dass  ein Skalarprodukt ist, das Verschwinden dieses Produkts mit der Eigenschaft "orthogonal" in Verbindung bringen?
Und wie kann man aus der Analogie der schiefen Ebene erkennen, dass sich orthogonale Zustände klassisch ausschließen?
Schließlich können offensichtlich gleichzeitig Kräfte im 90°-Winkel zueinander wirken?
Und würdest Du den Superpositionszustand der Atomzustände dann auch graphisch erklären?
Also einen Pfeil hinmalen, der dem angeregten Zustand entspricht und einen im 90°-Winkel dazu, der dem angeregten Zustand entspricht?
Die Superposition entspräche dann der Resultierenden der beiden Vektoren?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Zeitentwicklung "dreht" den angeregten Zustände in den Grundzustand.
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Okay, das habe ich verstanden:
Der eine Pfeil, der den angeregten Zustand veranschaulicht wird für t=0 mit dem Faktor 1 multipliziert, und der Grundzustandspfeil mit dem Faktor 0.
Mit zunehmender Zeit wird der Anregungs-Pfeil kürzer und der Grundzustandspfeil länger.
Wenn nun aber einer mit dem zeitlichen Verhalten  keinerlei Erfahrungen hat müsste man ihm das auch erst mal aufmalen, oder?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Man kann das rein graphisch veranschaulichen, d.h. man benötigt für diese geometrische Überlegung keine lineare Algebra und keine Komponenten. Natürlich wird man für konkrete Rechnungen auf die Komponenten zurückgreifen, aber für einen Einstieg ist das evtl. verzichtbar.
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Ja, so wie man - eine Stufe tiefer - Schrödingers Katze als Überlagerung einer mit der Zeit kleiner werdenden lebendigen Katze und einer mit der Zeit größer werdenden toten Katze veranschaulichen kann.
Wenn man dass dann als Vektoren hinmalt erkennt man die "Drehung" und den Bezug zu Vektoren.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
M.E. benötigt man zum Grundverständnis der Mathematik der Quantenmechanik zwei Gleichungen, in denen man die Symbole zumeist graphisch erklärt:
Und das auf etwas Bekanntes zurückzuführen funktioniert hier offensichtlich nicht, da leider nichts als bekannt und verstanden vorausgesetzt werden kann. Also muss man sich an Symbolen und deren Bedeutung festhalten;
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Wie willst Du eine Bedeutung von Symbolen vermitteln, ohne auf etwas Bekanntes aufzusetzen? |
In dem ich sie erkläre.
Die erste Gleichung besagt, dass ich ich dem System Eigenschaften zuschreiben kann, und dass sich das System in einem Zustand befinden kann, der einer Superposition dieser Eigenschaften entspricht.
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Sollte man bezüglich der ersten Gleichung nicht noch erwähnen, dass es sich bei diesen "Eigenschaften" um orthogonale, also klassisch sich ausschließende Eigenschaften handelt?
Und wären dazu nicht konkrete Beispiele sinnvoll?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die zweite Gleichung besagt, dass die Zeitentwicklung des Systems einer Art Drehung eines Vektors entspricht (nur so als Startpunkt).
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Okay, jemand ohne Ahnung, wofür das H steht, könnte nun fragen, warum die Multiplikation eines H mit einem Vektor eine Drehung ist.
Mit etwas mehr Ahnung könnte man fragen, warum das eine Drehung ist und keine Drehstreckung?
Und man muss natürlich wissen, was mit einer Zeitentwicklung zu tun hat.
Ableitungen hattest Du ja terminus erklärt, aber nach meinem Eindruck auch wieder auf formaler Ebene, ohne explizit auf die Bedeutung "Änderung einer Größe in Abhängigkeit von einer anderen Größe" einzugehen.
Er hatte ja gesagt, dass nicht klar sein, was eine "Wellenfunktion" eigentlich sei und auf Nachfrage, die Definition für Funktion als Abbildung von einer Menge in die andere genannt.
Du hast das dann abgebrochen.
Ich hätte das über die Darstellung von Funktionen f(x) in Diagrammen (f(x)/x)) erläutert und dann erinnert dass dass f'(x) hier die Steigung von f(x)
darstellt und f''(x) die Änderung der Steigung.
Dann hätte ich Welle an "Laola im Stadion" veranschaulicht: Eine lokal periodisch zeitliche Änderung (Menschen stehen auf und setzen sich hin) breitet sich räumlich aus.
=> Wellengleichung stellt eine Beziehung her, zwischen einer zeitlichen und räumlichen Änderung.
Die Lösungen dieser Gleichung, für die diese Beziehung gilt, sind Wellenfunktionen.
In der Ortsdarstellung ordnet die Wellenfunktion jedem Ort (x) einen Wert zu, so wie ein Vektor in einer Basisdarstellung jedem Basisvektor einen Wert zuordnet.
Klassisch kann ein Teilchen immer nur an einem Ort sein, in der Beschreibung durch eine Wellenfunktion befindet es sich in einem Superpositionszustand
von verschiedenen Orten.
Wäre das Deiner Meinung nach verwirrend oder gar irreführend?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Man starrt auf die Mathematik der Zeilen- und Spaltenvektoren sowie der Matrizen, während die Physik alleine in (zeitabhängigen) Drehung eines Vektorpfeiles und in Winkeln zwischen je zwei Vektorpfeilen steckt.
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Okay, bei einem Zweizustands-System ist das anschaulich.
Wie sieht das bei "kontinuierlichen Spektren" aus, also der Darstellung im Ortsraum?
Und wie gesagt, wie man ohne Bezug auf LA erklärt, dass ein Operator einen Vektor dreht, ist mir auch noch nicht klar.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aber evtl. ist diese Idee der Vermeidung von linearer Algebra ...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... komplizierte Darstellungen (der Symbole) und seitenweise Rechnungen bringen nichts, weil man sich erstens bei den Rechnungen verzettelt, und weil man am Ende zwar ein Ergebnis dastehen hat, jedoch Rechnung und Ergebnis mit Bedeutung und Verständnis verwechselt. |
auch nicht mehr relevant, nachdem sich terminus hier verabschiedet hat. |
Ich finde das ganz interessant und lehrreich.
Geht das auch mit Dichtematrizen und deren Spur? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 09:11 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Zwei Anmerkungen:
1 & 2. Inwiefern stört dich bei deiner Vorgehensweise die Dirac-Notation?
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Mich stört eigentlich nur, was ich schon erwähnt habe. Also die Mehrdeutigkeit, die unnötige Unterscheidung von Bras und Kets im Hilbertraum und gleichzeitig die fehlende Unterscheidung zwischen normierbaren und nicht normierbaren Funktionen.
| Zitat: |
3. Letztlich vermeidest du es, von Orts- und Impulseigenzuständen zu sprechen. Ok, die Idee hatte ich auch schon. Wie stellst du den Anschluss an sämtliche Bücher und Skripte her, die ebene Wellen verwenden? |
Das hängt jetzt natürlich davon ab, wofür sie sie verwenden. Bei Streuproblemen zum Beispiel. Aber da sind sie konzeptionell eher problematisch, weil z.B. im Zweikörperproblem beide Teilchen im Anfangszustand räumlich getrennt sein sollen. Und man kann stattdessen immer Wellenpakete verwenden.
Aber ich habe natürlich nichts gegen ebene Wellen. Ich würde sie als Funktionale \dd x) einführen, wenn es sein muß. In dem Zusammenhang (Fourier-Transformation) tauchen sie ja auch oft zuerst auf.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 09:15 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
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Wie wär's mit \vec{e}_x + \sin(\alpha)\vec{e}_z)) ?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 13. Mai 2022 10:57 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | ... und gleichzeitig die fehlende Unterscheidung zwischen normierbaren und nicht normierbaren Funktionen. |
 = (x|\psi\rangle)
Runde Klammern bezeichnen nicht-normierbare "Zustände", bzw. Vektoren im Abschluss eines geeigneten Raumes. Sie weisen neben dieser mathematischen Besonderheit auf eine "unphysikalische" Eigenschaft hin, z.B. die unendlich ausgedehnte ebene Welle.
Wär's das?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 11:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | ... und gleichzeitig die fehlende Unterscheidung zwischen normierbaren und nicht normierbaren Funktionen. |
Runde Klammern bezeichnen nicht-normierbare "Zustände", bzw. Vektoren im Abschluss eines geeigneten Raumes. Sie weisen neben dieser mathematischen Besonderheit auf eine "unphysikalische" Eigenschaft hin, z.B. die unendlich ausgedehnte ebene Welle.
Wär's das? |
Ich finde einfach Symbole wie ,  unpraktisch. Oft möchte ich Identitäten wie
hinschreiben. Dafür hat die Diracnotation nicht mal eine natürliche Ausdrucksmöglichkeit. In dem Term  sieht man nicht auf welche Seite der Operator A wirkt. (Unproblematisch wenn A symmetrisch ist, aber das sind nun mal nicht alle wichtigen Operatoren). Und stattdessen  zu schreiben, sieht auch komisch aus, weil n eine natürliche Zahl und A ein Hilbertraum-Operator sein soll. (Ich glaube ich habe auch schon |\psi\rangle) gesehen, was komplett den Zweck einer eleganten Ausdrucksweise verfehlt.)
Statt schreibe ich einfach , statt lieber, so wie in der Vektoralgebra,  . (Ich verwende die Diracnotation nur, wenn sie schon vom Fragsteller oder anderen eingeführt wurde und keine offensichtlichen Probleme verursacht.)
Für das Hilbertraumprodukt schreibe ich entweder  oder  . Damit ist klar, daß die Terme auf beiden Seiten des "|" Objekte aus demselben Raum bezeichnen und nicht die einen aus dem "Bra-Raum" und die anderen aus dem "Ket-Raum" stammen. Mit einem vernünftigen Symbol für den Basiszustand, kann man auch  schreiben ohne groß in Verlegenheit zu kommen.
Statt oder ) schreibe ich eigentlich meistens  . Für die Anwendung dieses Funktionals auf einen Zustand einfach
 = \psi(x).)
(Das setzt voraus, daß ich mich schon in Ortsdarstellung befinde, ansonsten natürlich  = f(x)) . Definitionen wie vorher.)
Auch gegen  = \psi(x)) habe ich aber nichts.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 13. Mai 2022 11:37 Titel: |
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ok, also die Schreibweise der Mathematiker; passt natürlich auch
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 11:46 Titel: |
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Ja, genau. Mathematiker verwenden sie, weil konzeptionelle Klarheit in der Mathematik extrem wichtig ist. Wenn wir diese Klarheit auch anstreben, eignet sich also dieselbe Notation. Außerdem erleichtert es die Kommunikation mit Mathematikern was ebenfalls ein Vorteil ist.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 13:54 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
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Wie wär's mit ? |
Worin besteht der Unterschied? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 14:21 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Dann darf ich beim schrägen Wurf auch nicht schreiben
sondern müsste das Gleichheitszeichen mit dem Punkt drüber verwenden, dass ich auf die Schnelle nicht gefunden habe?
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Wie wär's mit ? |
Worin besteht der Unterschied? |
Ich dachte ihr redet gerade vom Unterschied zwischen einem Vektor und einem Komponententupel bzgl. einer Basis. \vec{e}_x + \sin(\alpha)\vec{e}_z)) ist ein Vektor geschrieben als Linearkombination von zwei anderen (orthogonalen) Vektoren. Dafür benötigt man keine Gleichheitszeichen mit Punkten darüber (was ohnehin keine Standardnotation ist). Und diese Linearkombination enthält genau dieselbe Information wie dein Tupel.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 14:35 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ich dachte ihr redet gerade vom Unterschied zwischen einem Vektor und einem Komponententupel bzgl. einer Basis. ist ein Vektor geschrieben als Linearkombination von zwei anderen (orthogonalen) Vektoren. Dafür benötigt man keine Gleichheitszeichen mit Punkten darüber (was ohnehin keine Standardnotation ist).
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Sind diese orthogonalen Vektoren nicht gerade die Basisvektoren, auf die sich das Tupel bezieht, bzw. ist das Tupel nicht einfach eine andere Schreibweise für die Linearkombination?
Durch die Position in dem Tupel ist doch festgelegt, mit welchem Basisvektor die Komponente multipliziert werden muss.
In der Diskussion bezüglich des Unterschieds ging es IMO dagegen darum, dass die Zerlegung nicht eindeutig ist, also es zum gleichen Vektor mehrere Zerlegungen geben kann.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Und diese Linearkombination enthält genau dieselbe Information wie dein Tupel. |
Eben, man braucht aber mehr Zeichen und ist IMO nicht so aufgeräumt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 13. Mai 2022 14:44 Titel: |
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Vergleiche mal
Einkauf = (2, 0, 3)
mit
Einkauf = 2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami)
Es geht um mehrere Dinge: das Gleichsetzen von Vektor mit n-Tupel der Komponenten
… ist streng genommen falsch
… unterschlägt, bzgl. welcher Basis die Komponenten gelten
… suggeriert evtl. fälschlicherweise Ungleichheit oder Gleichheit
Letzteres ist in der QM kritisch. Z.B. ist in der Quantenmechanik ein Zweiteilchen-Spin-Null Zustand eindeutig, auch wenn die Darstellung bzgl. der Komponenten nicht eindeutig ist. Man sieht den Komponenten evtl. nicht mal an, dass insgs. S = 0 vorliegt. Wenn man nur auf die Komponenten schaut, könnte man vermeintliche Unterschiede sehen, wo es tatsächlich gar keine gibt.
Natürlich findet man in der Praxis oft eine verkürzte Notation. Hier ging es aber ums Lernen, und da sollte man erst sauber verstanden haben, was gemeint ist, und erst dann verkürzen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Mai 2022 14:52 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ich dachte ihr redet gerade vom Unterschied zwischen einem Vektor und einem Komponententupel bzgl. einer Basis. ist ein Vektor geschrieben als Linearkombination von zwei anderen (orthogonalen) Vektoren. Dafür benötigt man keine Gleichheitszeichen mit Punkten darüber (was ohnehin keine Standardnotation ist).
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Sind diese orthogonalen Vektoren nicht gerade die Basisvektoren, auf die sich das Tupel bezieht, bzw. ist das Tupel nicht einfach eine andere Schreibweise für die Linearkombination? Durch die Position in dem Tupel ist doch festgelegt, mit welchem Basisvektor die Komponente multipliziert werden muss.
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Ja, und? Trotzdem ist der Vektor nicht gleich dem Koordinatentupel. Deswegen wolltest du doch ein Gleichheitszeichen mit Punkt drüber zwischen Vektor und Tupel schreiben. Ich wollte dir nur zeigen, daß du keine seltsamen Gleichheitszeichen benötigst, sondern dasselbe auch weniger obskur ausdrücken kannst.
| Zitat: |
In der Diskussion bezüglich des Unterschieds ging es IMO dagegen darum, dass die Zerlegung nicht eindeutig ist, also es zum gleichen Vektor mehrere Zerlegungen geben kann.
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Das ist kein Unterschied. Ein und derselbe Vektor kann auf beliebig viele Arten in Linearkombinationen zerlegt werden und zu jeder davon gehört genau ein Komponententupel.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Und diese Linearkombination enthält genau dieselbe Information wie dein Tupel. |
Eben, man braucht aber mehr Zeichen und ist IMO nicht so aufgeräumt. |
Im Gegenteil. Die zusätzlichen Zeichen benötigt man um relevante Information auszudrücken, z.B.  und vermutlich auch  . Die erste davon ist im Koordinatentupel höchstens implizit. (Eine Basis kann auch nicht orthogonal sein.) Dafür sieht damit dann aber die Linearkombination in drei (sogar n) Dimensionen noch genauso aus, wie in zwei. Dein Tupel benötigt für dieselbe Information überflüssige Nullen. Und allzu schön sehen große Spaltenvektoren auch nicht aus.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 13. Mai 2022 17:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Vergleiche mal
Einkauf = (2, 0, 3)
mit
Einkauf = 2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami)
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ist für mich das gleiche, wenn man implizit vereinbart hat, dass der erste Wert in der Klammer für Milch, der zweite für Kartoffeln und der dritte für Salami steht.
Erinnert mich an elektronischen Datentausch zwischen zwei Systemen, in denen Informationen in unterschiedlicher Form an unterschiedlichen Stellen stehen.
Dazu gibt es dann Schnittstellenbeschreibungen, in denen vereinbart wird,
wo in der auszutauschenden Datei welche Information zu finden ist.
Bei einer CSV-Datei werden die verschiedenen Informationen durch Komata getrennt, wie in dem Zeilenvektor
Wenn man dann die Beschreibung hat (Anzahl Milch, Anzahl Kartoffeln, Anzahl Salami), würde jeder anhand dieser Beschreibung (2, 0, 3) als
2 Milch und 0 Kartoffeln und 3 Salami verstehen.
Man könnte das auch in XML schreiben:
<Anzahl Milch>2</Anzahl Milch>
<Anzahl Kartoffeln>0</Anzahl Kartoffeln>
<Anzahl Salami>3</Anzahl Salami>
Manche Leute, die sich mit EDI beschäftigen, bezeichnen so was als "geschwätzig".
Da steckt in jeder Nachricht Information, die man einmalig vereinbaren könnte und dann eben nur noch "2,0,3" überträgt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es geht um mehrere Dinge: das Gleichsetzen von Vektor mit n-Tupel der Komponenten
… ist streng genommen falsch
… unterschlägt, bzgl. welcher Basis die Komponenten gelten
… suggeriert evtl. fälschlicherweise Ungleichheit oder Gleichheit
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Davon scheint mir nur die Aussage:
"… unterschlägt, bzgl. welcher Basis die Komponenten gelten" konkret.
Ja, die Basis wird implizit vorausgesetzt.
Das kann ich auch am Anfang einmal hinschreiben und muss es dann nicht mitschleppen.
Die beiden anderen Aussagen sind ohne weitere Information unbegründete Behauptungen, die genauso für eine Zerlegung in Basisvektoren gelten könnte.
Das kann ich nicht entscheiden, wenn nicht gesagt wird, warum das "strenggenommen falsch" ist.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Letzteres ist in der QM kritisch. Z.B. ist in der Quantenmechanik ein Zweiteilchen-Spin-Null Zustand eindeutig, auch wenn die Darstellung bzgl. der Komponenten nicht eindeutig ist. Man sieht den Komponenten evtl. nicht mal an, dass insgs. S = 0 vorliegt. Wenn man nur auf die Komponenten schaut, könnte man vermeintliche Unterschiede sehen, wo es tatsächlich gar keine gibt.
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Um das zu verstehen, wäre es für mich hilfreich, dass mir das jemand explizit an einem Beispiel verdeutlicht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Natürlich findet man in der Praxis oft eine verkürzte Notation. Hier ging es aber ums Lernen, und da sollte man erst sauber verstanden haben, was gemeint ist, und erst dann verkürzen. |
Das war doch mein Punkt: Man sollte erst mal verstanden haben, was ein Skalarprodukt ist oder ein Matrizenprodukt, bevor man das mit Bra-Ket oder Ket-Bra verkürzt symbolisch hinschreibt.
Das mal in einer konkreten Basis auszuschreiben, hat IMO nix mit seitenlangen Rechnungen zu tun. |
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