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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 11:54    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Man schreibt im Zustandsvektor exakt das auf, was im jeweiligen Kontext zwingend benötigt wird, kein bisschen mehr. D.h., wenn immer von Elektronen die Rede ist, dann schreibt man das nicht explizit dazu – beispielsweise in der Atomphysik. Wenn jedoch von unterschiedlichen Teilchen die Rede ist – beispielsweise in der Elementarteilchenphysik – dann schreibt man die Teilchensorte explizit dazu, z.B. Elektron, Positron, Quarksorte wie u, d, s, … oder das jeweilige Antiteilchen, das meist mit einem Querstrich notiert wird. Mit diesen Zustandsvektoren kann man (fast) noch nicht rechnen, es geht erst mal um eine eindeutige, knappe und formale Bezeichnung (Rechnen kommt später)

Für ein einzelnes im Atom gebundenes Elektron schreibt man also



(„e“ für Elektron lässt man weg, da im Kontext klar; Bedeutung für n,l,n,s kommt gleich)

Würde man in einem Atom ein Elektron durch ein Myon ersetzen (das geht) müsste man die Teilchensorte dazuschreiben, also z.B.





Rekapitulieren wir anhand (1 - 6)

1) Bisher haben wir an keiner Stelle einen aus der klassischen Mechanik bekannten Vektor gesehen. Wie gesagt, man schreibt exakt das auf, was man benötigt, exakt die Eigenschaften, die man betrachten will. Das sind i.A. keine bekannten klassischen Eigenschaften.



Zur Übersetzung der Dirac-Schreibweise in Vektoren:





Könnte man so schreiben, macht aber niemand. Ist ein bisschen so wie in einer Programmiersprache; man muss sie halt lernen.

Bitte jetzt keine Spaltenvektoren, Rechenzeichen etc. suchen. Wir brauchen das (noch) nicht. Wir fangen gerade erst an, physikalische Sachverhalte mathematisch zu notieren.


terminus hat Folgendes geschrieben:
danke erst mal!Im Prinzip also wie eine geordnete Tabelle oder ein Datenpaket ...

Ja.

terminus hat Folgendes geschrieben:
Ich dachte nur, man schreibt immer alles rein, was bekannt und möglich ist.

Nee, machst du ja in der Informatik auch nicht.

Wenn du immer nur einen Sensor hast, reichen dessen Daten im Datenpaket. Wenn du mehrere Sensoren hast, schreibst du evtl. noch die Nummer, Geo-Koordinaten oder das QKZ in das Datenpaket dazu.

Zu dem "alles ... was möglich ist" kommen wir noch.

terminus hat Folgendes geschrieben:
Was bedeutet oben genau der Pfeil



... sollte das heißen "entspricht der Schreibweise"

Ja.


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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Mai 2022 12:05, insgesamt einmal bearbeitet
terminus



Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 11:57    Titel: Antworten mit Zitat

@Aruna, TomS:
sorry, beide Antworten zu dem doppelte ê_ verstehe ich immer noch nicht, zu viele Formeln, der Sinn wird mir immer noch nicht klar.
Die Komponenten von r habe ich ja eh schon (r_i), und ohne die wüsste ja gar nichts von r: die Komponenten, die ich bereits habe, sind ja schließlich auch gar nichts anderes als genau die Projektionen auf die Basis....
- ich halte es also nach meinem sehr begrenzten Verständnis noch immer für redundant und überflüssig.... bin halt zu dumm... ;)

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Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 12:37    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
@Aruna, TomS:
sorry, beide Antworten zu dem doppelte ê_ verstehe ich immer noch nicht, zu viele Formeln, der Sinn wird mir immer noch nicht klar.
Die Komponenten von r habe ich ja eh schon (r_i), und ohne die wüsste ja gar nichts von r: die Komponenten, die ich bereits habe, sind ja schließlich auch gar nichts anderes als genau die Projektionen auf die Basis....


Wenn Du einen Vektor als Pfeil auf ein Blatt malst, weißt Du dann erst was von dem Vektor, wenn du dessen Komponenten in einer bestimmten Basis kennst?
Und kennst Du dann automatisch seine Komponenten in einer beliebigen Basis?
TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 12:50    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
sorry, beide Antworten zu dem doppelte ê_ verstehe ich immer noch nicht ... der Sinn wird mir immer noch nicht klar ...

Man erhält die Darstellung eines beliebigen Vektors |r> bzgl. einer beliebigen Basis mit Basisvektoren |n> durch Projektion des Vektors auf diese Basis.
Die Bedeutung dieses Satzes gilt es du verstehen. Die Gleichung sagt genau das aus und ist daher keineswegs überflüssig.

Verstehst du die Bedeutung?

terminus hat Folgendes geschrieben:
... und die Komponenten von v habe ich ja eh schon (v_i), und ohne die wüsste ja gar nichts von v

Und genau das ist der Denkfehler - das hatten wir schon mal.

Vergleichen wir

Treffpunkt bei 48.85852537140427, 2.2945242139974473

mit

Treffpunkt unter dem |Eiffelturm>

Was sagt mehr aus?

Die primäre Angabe, über die sich zwei beliebige Menschen sofort im Klaren sind, lautet "wir treffen uns morgen unter dem Eiffelturm". Vereinbaren sie dagegen "wir treffen uns morgen bei 48.85852537140427, 2.2945242139974473" so führet das zu diversen Rückfragen.

Genau so ist es oft in der Quantenmechanik. Die primäre Information steckt im Zustandsvektor (und wird aus diesem mittels weiterer Operationen herauspräpariert), nicht unbedingt in den Komponenten bzgl. einer Basis; letzteres gilt nur in speziellen Fällen.

Versuche also nochmal, den Vektor / den Vektorpfeil rein geometrisch / graphisch ohne Basis als das primäre und eindeutige Objekt aufzufassen und seine (unendlich vielen) möglichen Darstellungen mittels Komponenten bzgl. diverser Basen als sekundäres Hilfskonstrukt.

terminus hat Folgendes geschrieben:
... und die Komponenten von v habe ich ja eh schon (v_i), und ohne die wüsste ja gar nichts von v

Also umgekehrt: bereits ohne Basis und Komponenten weist du alles über den Vektor.

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terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

Aruna hat Folgendes geschrieben:

Wenn Du einen Vektor als Pfeil auf ein Blatt malst, weißt Du dann erst was von dem Vektor, wenn du dessen Komponenten in einer bestimmten Basis kennst?
Und kennst Du dann automatisch seine Komponenten in einer beliebigen Basis?

ein Pfeil auf einem Blatt Papier ist ja nur ein Gemälde, kein Vektor, und ein Pfeil ist ja nur eine lokale Darstellung, die sich auf einen konkreten Ort auf dem Papier bezieht (Startpunkt, Endpunkt oder Startpunkt+Richtung+Betrag).
Wenn ich die Komponenten schon iwo besitze, bin ich fertig.
Wenn ich von ihm aber noch keine Komponenten iwo stehen habe, dann muss ich die Komponenten messen, und dann habe ich sie, in Bezug zu der Basis, die ich verwende.
Habe ich aber die Komponenten, dann brauche ich auch keine weiteren Basisvektoren doppelt dranzubacken.

@Tom:
auch eine Koordinate ist kein Vektor, ein Vektor besteht aus Startpunkt und Endpunkt, also ist auch "Eiffelturm" kein Vektor.
Der Vektor ergibt sich aus der Differenz zwischen den Zielort-Koordinaten und den Startpunkt-Koordinaten, oder aus Winkel + Länge, den man dann an einen beliebigen Startpunkt pinnen kann.
Habe ich den Vektor von Frankfurt-Römer (Start) zum Eiffelturm (Ziel), dann führt er nur vom Römer dorthin, lege ich den Vektor in Hamburg ElPhi an, lande ich wschl in England.
Trotzdem ist es derselbe (!) Vektor (!)

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Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 13:47    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Aruna hat Folgendes geschrieben:

Wenn Du einen Vektor als Pfeil auf ein Blatt malst, weißt Du dann erst was von dem Vektor, wenn du dessen Komponenten in einer bestimmten Basis kennst?
Und kennst Du dann automatisch seine Komponenten in einer beliebigen Basis?

ein Pfeil auf einem Blatt Papier ist ja nur ein Gemälde, kein Vektor, und ein Pfeil ist ja nur eine lokale Darstellung, die sich auf einen konkreten Ort auf dem Papier bezieht (Startpunkt, Endpunkt oder Startpunkt+Richtung+Betrag).
Wenn ich die Komponenten schon iwo besitze, bin ich fertig.
Wenn ich von ihm aber noch keine Komponenten iwo stehen habe,


Also weißt Du schon etwas über den Vektor -bzw. seine Darstellung auf einem Blatt Papier - bevor Du die Komponenten kennst.

terminus hat Folgendes geschrieben:

dann muss ich die Komponenten messen,


und wie machst Du das?

terminus hat Folgendes geschrieben:

und dann habe ich sie, in Bezug zu der Basis, die ich verwende.


und bezüglich anderer Basen?

terminus hat Folgendes geschrieben:

Habe ich aber die Komponenten, dann brauche ich auch keine weiteren Basisvektoren doppelt dranzubacken.


Darum ging es IMO nicht, sondern eine allgemeine Beziehung zwischen dem Komponenten und den den Basisvektoren eines Vektors auszudrücken mit der man dann weiter arbeiten kann.

Was TomS Dir IMO vermitteln will, ist, dass der gleiche Vektor in verschiedenen Basen darstellt werden kann und daher der Vektor das grundlegende Objekt ist und eine Darstellung in einer konkreten Basis eben eine Darstellung.
So auch mit dem Treffpunkt Eifelturm (der kein Vektor ist, sondern ein Punkt):
Wenn einer den nullten Längengrad nicht durch Greenwitch zieht, sondern durch Berlin oder sonstwo, dann erhälts Du für den Treffpunkt Eifelturm abweichende Koordinaten, aber der Turm steht immer noch da, wo er stand.
terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 13:52    Titel: Antworten mit Zitat

wenn ich von einer Basis auf eine andere umrechnen muss, also ihn quasi transformieren, dann ist es ntl was anderes, aber im obigen Bsp. habe ich ja immer dieselbe Basis - von verschiedenen Basen war nie die Rede.
Wenn die neue Basis aber z.B. iwie gegenüber meiner bisherigen verdreht ist, dann werden auch meine Vektorkomponenten dazu analog umgerechnet (verdreht) werden müssen.

Aber nein, wenn ich nur einen Pfeil auf einem Papier "sehe", dann "weiß" ich noch gar nichts über ihn - bis ich alle seine Komponenten dezidiert kenne, in Bezug zu einer gewählten Basis.

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Aruna



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Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 14:17    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

Aber nein, wenn ich nur einen Pfeil auf einem Papier "sehe", dann "weiß" ich noch gar nichts über ihn - bis ich alle seine Komponenten dezidiert kenne, in Bezug zu einer gewählten Basis.


na irgendwas musst Du ja wissen, wenn Du seine Komponenten bestimmen willst.
Du kannst z.B. die Länge ausmessen in einem entsprechendem Maßstab.
Seine Richtung siehst Du auch.
Wenn Du dann seine Komponenten in einer bestimmten Basis messen willst, musst Du die Basis ebenfalls auf das Blatt malen, z.B. als Koordinatensystem mit Achsen im 90°-Winkel und dann "projizierst" Du den Vektor auf die verschiedenen Achsen.
Die Längen der Projektionen oder des "Schattenwurfs" auf diese Achsen in dem gewählten Maßstab ergibt dann die Komponenten.
Diese Vorgehensweise wurde hier IMO mathematisch dargestellt:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Komponenten folgen dabei mittels Projektion des Vektors r auf die Basis, d.h. mittels Skalarprodukt



Einsetzen liefert




das ist also IMO zunächst eine Konstruktionsvorschrift für Komponenten, wenn man den Vektor hat und die Basisvektoren.
Nur weil da steht, heißt das nicht, dass man auch weiß, wie groß das ist.
wenn ich schreibe x= 5y, ist nicht gesagt, dass ich sowohl x wie auch y schon kenne, sondern es wird ein Zusammenhang zwischen x und y angegeben und wenn ich x kenne, kann ich y berechnen und umgekehrt.
Außerdem ist es für Rechnungen ganz praktisch, wenn man mittels einer Beziehung eine Größe durch andere Größen ausdrücken kann.
Und dann z.B. so was findet:



terminus hat Folgendes geschrieben:
wenn ich von einer Basis auf eine andere umrechnen muss, also ihn quasi transformieren, dann ist es ntl was anderes, aber im obigen Bsp. habe ich ja immer dieselbe Basis - von verschiedenen Basen war nie die Rede.


Nie?
im vierten Beitrag schrieb ich z.B.:

Aruna hat Folgendes geschrieben:

Vielleicht solltest Du den Hinweis von Wikipedia beachten, dass
das Ket nicht gleich dem Spaltenvektor ist, sondern der Spaltenvektor eine Darstellung des Ket in einer bestimmten Basis.

wäre dann die Ortsdarstellung von und die entsprechende Basis nicht mehr diskret, sondern kontinuierlich.


etwas später TomS:

TomS hat Folgendes geschrieben:

terminus hat Folgendes geschrieben:
warum muss man die 3,1,2 aber jetzt noch mal in x und r trennen?

Weil die Komponenten nur bzgl. einer gewissen Basis gelten.

Beispiel für mein Haus mit Angaben in Metern, ungefähr:

1)
Vektor = von-Küche-zum-Gartentor
Basis = {Nord, West}
Komponenten = (15,15)
von-Küche-zum-Gartentor = 15 Meter nördlich, dann 15 Meter westlich

2)
identischer Vektor = von-Küche-zum-Gartentor
Basis = {Längsseite, Querseite}
Komponenten = (20,0)
von-Küche-zum-Gartentor = 20 Meter in Richtung der Längsseite des Hauses


Gleicher Vektor, unterschiedliche Basen => unterschiedliche Komponenten
TomS
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Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

@terminus

Das ist alles nicht entscheidend.

Die Bezeichnung „am Eiffelturm“ ist präzise und eindeutig, und dabei unabhängig von willkürlich gewählten Basen, unabhängig von den bzgl. der Basen definierten Komponenten. Deswegen ist die Bezeichnung „am Eiffelturm“ primär.

Und genauso ist der Zustandsvektor eines Quantensystems primär, nicht unbedingt seine Darstellung mittels Komponenten bzgl. Basen.


Um das zu erklären: nehmen wir an, wir haben einen Satz von Observablen = beobachtbaren Größen. Zu diesen Observablen führen wir Messungen an identisch präparierten Systemen durch. Dadurch lernen wir indirekt etwas über den Zustandsvektor, nicht unbedingt jedoch etwas über seine Darstellung bzgl. einer Basis.

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TomS
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Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 14:55    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
.., wenn ich nur einen Pfeil auf einem Papier "sehe", dann "weiß" ich noch gar nichts über ihn - bis ich alle seine Komponenten dezidiert kenne, in Bezug zu einer gewählten Basis.

Ein Kind wäre mit dem Pfeil alleine zufrieden ;-)

Was lernst du über Pfeil oder Eiffelturm selbst, wenn du eine Basis einführst? Nichts.

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terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

ich verstehe einen Vektor nicht als Aufzähl-Liste von verschiedenen singulären Eigenschaften, sondern als Liste von Projektionen auf Basisvektoren im Raum in genau deren Reihenfolge.
Der R³ Vektor
0
2
4
bezogen auf die Basis (x,y,z) am Punkt
0
0
0

hat also die x-Länge 0, die y-Länge 2 und die z-Länge 4.
Genau DAS ist es, was ich über ihn lerne, wenn ich seine Koordinaten in Bezug zu einer Basis lese.

Eine Angabe wie die Geokoordinaten vom Eiffelturm ist für mich kein Vektor, sondern nur Koordinaten. Erst durch die rel. Angabe eines Ziels oder eines Starts entsteht ein Vektor, und man könnte ihn dadurch jederzeit auch auf die Koordinaten
0
0
0
beziehen, wodurch man sie dann weglassen kann.
Dann weiß ich z.B.: er zeigt 550km in WSW-Richtung, Basis Erdoberfläche.

Und @Aruna:
damals, als TomS dies doppelte ê_i r_i Ding geschrieben hat, war NIE von einer Basis-Transformation die Rede gewesen. Falls das mal woanders erwähnt wurde, dann nicht darauf bezogen.

Und nochmal:
wenn ich einen Pfeil auf einem Papier nur sehe, weiß ich erst mal gar nichts.
Erst wenn ich alle seine Komponenten kenne (übermittelt oder gemessen), dann kann ich ihn quantitativ definieren, und die Basis muss ich so wählen, wie sie halt gebraucht wird (parallel zum Haus-Fundament, geodätische GPS-Koordinaten des Pfeil-Ursprungs, bezogen auf Geo-Nord-Süd-Richtung, Tischhöhe über NN etc.):
erst DANN weiß ich, wie er ausgerichtet ist und dann wie er worauf wie stark und in welche Richtung wirkt, dann kann ich ihn auch parallel-verschieben, ohne ihn zu verändern (z.B. als Kraftvektor, wenn ich ihn an einen beliebigen Punkt von einem bestimmten Masse-Körper verschiebe, um ihn dort darauf wirken zu lassen).

Keine Basis - keine Vektordaten.

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 25. Mai 2022 15:56, insgesamt einmal bearbeitet
Aruna



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Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 15:52    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

Und @Aruna:
damals, als TomS dies doppelte ê_i r_i Ding geschrieben hat, war NIE von einer Basis-Transformation die Rede gewesen. Falls das mal woanders erwähnt wurde, dann nicht darauf bezogen.


Aha und nun?
Du hast für Dich beschlossen, dass das "doppelte ê_i r_i Ding" keinen Sinn ergibt, obwohl man Dir hier versucht hat Dir das zu erklären und nur weil es nicht gleich gesagt wurde, wo das alles hin führt?

terminus hat Folgendes geschrieben:

wenn ich einen Pfeil auf einem Papier nur sehe, weiß ich erst mal gar nichts.


Dann weißt Du also nicht, falls da noch ein weiteres Objekt ist-, ob der zu ihm hin zeigt oder eher zu dem weg und auch nicht, ob der länger oder kürzer ist, als eventuell andere Pfeile auf dem Blatt?
Du weiß nicht mal, dass da ein Vektor ist?

terminus hat Folgendes geschrieben:

Keine Basis - keine Vektordaten.


Das heißt, Du hast ein leeres Blatt und wenn Du da eine Basis drauf malst, entsteht aus dem Nichts plötzlich ein Vektor?
Was jetzt auch wieder komisch ist, denn eine Basis ist ja auch nur eine Menge bestimmter Vektoren.....vielleicht gibt es gar keine Vektoren?
Tanzen


Zuletzt bearbeitet von Aruna am 25. Mai 2022 16:02, insgesamt 2-mal bearbeitet
terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 15:53    Titel: Antworten mit Zitat

von anderen Objekten oder Pfeilen auf dem Papier war vorher ja nun aber auch auch nie die Rede gewesen...

tja, Fragen über Fragen....

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Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
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Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 16:02    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
von anderen Objekten oder Pfeilen auf dem Papier war vorher ja nun aber auch auch nie die Rede gewesen...


Ja, dann gilt das Argument natürlich nicht, wenn man es nicht gleich am Beginn der Diskussion schon in eine Liste hat eintragen lassen und man muss auch nicht drüber nachdenken....
Big Laugh
terminus



Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555

Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

erstmal nicht, aber wenn man dann den Gesichtspunkt nachträglich einfließen lässt, dann kann man anschließend (!) auch darüber reden.

Also, wenn wir das nun tun wollen und ab jetzt noch andere Pfeile drauf sind:

dann brauche ich auch deren Start- und Zielpunkte bezogen auf die selbe Basis (geodätisch oder was auch immer),
dann kann man ihre unterschiedlichen Richtungen und Längen diesbezüglich ausrechnen und sie vergleichen (per kartesische oder Polarkoordinaten),

und wenn noch andere Dinger auf dem Papier sind (Raumschiffe, Ostereier, Fliegendreck), kann man auch deren Koordinaten diesbezüglich und rel. zueinander festlegen.

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TomS
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Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 16:20    Titel: Antworten mit Zitat

Vergiss mal die mathematischen Details eines Vektors.

1. hast du nicht recht, und 2. zäumen wir das Pferd von der falschen Seite auf.

1. mathematisch siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Vektorraum => Definition (ohne Basis, Koordinaten)

2. anschaulich

a) die Ortsbezeichung „am Eifelturm“ ist eindeutig und vollständig (ohne dass es dazu einer Basis oder diesbzgl. Koordinaten bedarf)
b) wenn ich zwei Richtungsvektoren zeichne, kann ich sie graphisch addieren (ohne dass …)
c) wenn ich zwei Geschwindigkeitsvektoren - zum Beispiel eines Flusses und eines Schwimmers - kenne, kann ich die resultierende Geschwindigkeit bestimmen (ohne dass …)

Also vergiss bitte die Komponenten als definierende Eigenschaften eines Vektors, das ist schlicht falsch. Versuche bitte zu verstehen, warum das so ist. Und versuche bitte nicht, etwas zu verstehen, das falsch ist ;-)

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Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

Also, wenn wir das nun tun wollen und ab jetzt noch andere Pfeile drauf sind:

dann brauche ich auch deren Start- und Zielpunkte bezogen auf die selbe Basis (geodätisch oder was auch immer),
dann kann man ihre unterschiedlichen Richtungen und Längen diesbezüglich ausrechnen und sie vergleichen,

und wenn noch andere Dinger auf dem Papier sind (Raumschiffe, Ostereier, Fliegendreck), kann man auch deren Koordinaten diesbezüglich und zueinander festlegen.


Aber egal in welcher Basis ich das ausdrücke, stehen die doch in den gleichen Beziehungen untereinander?
Wie sehr eine Kraft in Richtung eines Weges zeigt und damit die resultierende Arbeit, hängt doch nicht davon ab, in welcher Basis ich das beschreibe.
Wenn Du ein Auto wegschieben willst, merkst Du doch, ob ein zweiter in die gleiche Richtung drückt, oder entgegengesetzt, auch ohne die Kraft-Vektoren in einer konkreten Basis auszudrücken?

Naja, wenn Du Dich vielleicht einfach drauf einlassen würdest, dass es Vektoren gibt, die man in verschiedenen Basen darstellen kann und dass die Komponenten in einer Basis die Punktprodukte der konjungierten Basisvektoren mit dem darzustellenden Vektor sind, dann erklärt TomS vielleicht auch noch die zweite Hälfte der Quantenmechanik....smile
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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 16:27    Titel: Antworten mit Zitat

ja, je nachdem auf welche Basis die Komponenten bezogen wären - das wäre egal und ineinander umrechenbar.
Aber ganz ohne Basis geht es eben nicht, irgendein Bezugssystem braucht man.
Es wäre sonst, als wollte man im Weltraum die Handlungsanweisung geben:
"drück oder zieh mal irgendwie nach schräg"...

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Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 16:32    Titel: Antworten mit Zitat

klar ist die Ortsbezeichung „am Eiffelturm“ eindeutig.
Aber es ist kein Vektor.

Ein Vektor ist:
Richtung und Länge von (Ortsbezeichung ) Frankfurt-Römer nach (Ortsbezeichung ) Eiffelturm. Das kann ich dann außer polar auch kartesisch formulieren (n-Tupel).

Den kann ich dann auch an der ElPhi anlegen, wenn ich riskiere von dort aus dann iwo in England zu landen, oder von Montreal in den Raum um Toronto, der Vektor ändert sich dann ja auch nicht (als Basis Erdoberfläche samt Längen- und Breitengraden).

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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 17:02    Titel: Antworten mit Zitat

Wie gesagt, das ist nicht der Punkt.
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Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

ok, dann habe ich den Punkt noch nicht verstanden.
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Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
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Beitrag Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 17:34    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
ok, dann habe ich den Punkt noch nicht verstanden.


IMO dies hier:

TomS hat Folgendes geschrieben:

a) die Ortsbezeichung „am Eifelturm“ ist eindeutig und vollständig (ohne dass es dazu einer Basis oder diesbzgl. Koordinaten bedarf)
b) wenn ich zwei Richtungsvektoren zeichne, kann ich sie graphisch addieren (ohne dass …)
c) wenn ich zwei Geschwindigkeitsvektoren - zum Beispiel eines Flusses und eines Schwimmers - kenne, kann ich die resultierende Geschwindigkeit bestimmen (ohne dass …)

Also vergiss bitte die Komponenten als definierende Eigenschaften eines Vektors, das ist schlicht falsch. Versuche bitte zu verstehen, warum das so ist. Und versuche bitte nicht, etwas zu verstehen, das falsch ist ;-)
terminus



Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555

Beitrag terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 20:27    Titel: Antworten mit Zitat

a) "am Eiffelturm" ist NICHT ohne Koordinaten eindeutig, denn wenn jemand nichts darüber weiß (Frankreich, Paris, halbwegs zentral, Verkehrsschildern folgen oder Google Maps oder per GPS Koordinaten oder Taxifahrer befragen) kann man es nicht finden (und es ist auch kein Vektor). (Es gibt auch eine Theorie, die behauptet, selbst mit all diesen Information wäre das nicht möglich, selbst wenn man Frankreich vorher fände.)
b) ja, ich kann sie virtuell aneinandersetzen, habe dann aber immer noch keine tatsächliche Richtung, wenn ich genau wie für die Summanden keine Basis habe; der Summenvektor zeigt zwar dann "woanders hin" als die beiden einzelnen vorher, ich weiß aber immer noch nicht, wohin ohne Basis.
c) wie b, analog.
b1) denke an einen Vektor "von Asteroid A4231 nach Meteorid M9856". Wie willst du den ohne astronomisches Bezugssystem definieren?
c1) denke an "Raumschiff fliegt mit v=20000 von S01 nach S20, externer Astronaut stößt sich an Punkt S11 in Richtung Z01 mit Rel.-Geschw. w=8 schräg ab": wie willst du etwas über Geschwindigkeit und Flugrichtung des Astronauten aussagen ohne die Flugkoordinaten/das Bezugssystem der RZ-Orte zu kennen?

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 26. Mai 2022 08:04, insgesamt einmal bearbeitet
Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 26. Mai 2022 00:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ich stell mir gerade vor, wie jemand in Paris nach dem Eifelturm fragt und einer zeigt auf den in der Nähe sichtbaren Eifelturm, aber der Fragende findet den dennoch nicht, weil er keine Koordinaten hat...
TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 00:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, wenn du es nicht anschaulich begreifen möchtest, dann mathematisch.


1) Die mathematische Definition eines Vektorraumes V über einem Feld F mit den binären Operatoren





erfordert keine Komponenten.

2) Der uns vertraute Anschauungsraum (Ortsraum) kann mathematisch als affiner Raum aufgefasst werden. Zeichnet man einen beliebigen Punkt als Ursprung aus, so kann jedem anderen Punkt P ein Ortsvektor bzgl. dieses Ursprungs zugeordnet werden.


Wenn du nun weiterhin der Meinung bist, Komponenten seien essentiell für das Verständnis von Vektoren, dann tut es mir leid. Du wirst nichts verstehen, wenn du dich gegen das Verständnis zur Wehr setzt.

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Aruna



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Beitrag Aruna Verfasst am: 26. Mai 2022 07:41    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ok, wenn du es nicht anschaulich begreifen möchtest, dann mathematisch.

1) Die mathematische Definition eines Vektorraumes V über einem Feld F mit den binären Operatoren





erfordert keine Komponenten.


Das Folgende ist nicht als Widerspruch gedacht, sondern als Ergänzung:
Ich hab mal nachgeschaut, u.A bei Wikipedia....
Das obige ist die allgemeine Definition eines Vektorraums, dazu kommen dann noch acht Axiome, vier für die Vektoraddition und vier für die skalare Multiplikation (nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt).
Elemente eines solchen Vektorraums sind Vektoren.
Es gibt nun einen speziellen Vektorraum, den Koordinatenraum.

unter "Vektor" steht bei Wikipedia [Hervorhebungen durch mich]:

Zitat:
Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit Vektoren als Elementen des „Tupelraums“
[....]
Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch n-Tupel reeller Zahlen[1], also Elemente des , als Vektoren oder auch als Koordinatenvektoren[2] bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass jeder n-dimensionale reelle Vektorraum isomorph zum Vektorraum ist. Beispiele solcher Verwendung des Vektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.


Wenn nun jemand einen Hintergrund in Wirtschaftsmathematik o.Ä. hat, dann wird er Vektoren als n-Tupel kennen und den eventuell erst mal als "richtig" verteidigen, bis er versteht, dass das nicht die einzige Verwendung ist und es eine allgemeinere, abstraktere Definition gibt.
Wenn einer aus der linearen Algebra kommt, sollte er IMO allerdings weniger Probleme mit dem verallgemeinerten Begriff haben.

@terminus: Unten hab ich ein kurzes Video von Studyflix verlinkt, dass die obige Definition inklusive der Axiome eine allgemeinen Vektorraums IMO übersichtlich darstellt.
Aber, Vorsicht! Ab ca. 3:04 wird als Beispiel eines Vektorraums der Koordinaten- oder Tupelraum betrachtet. Das heißt nicht, dass ein Vektorraum allgemein ein
Koordinatenraum ist und somit auch nicht, dass die Elemente eines Vektorraums allgemein n-Tupel sind.
Wie im Wiki-Zitat nachlesbar, ist eine n-dimensionaler reeller Vektorraum isomorph zu dem Koordinatenraum und man kann einen entsprechenden Vektor dann als n-Tupel darstellen, das ist aber nicht seine grundlegende Definition.
Oder, wie mir index_razor weiter vorne mitteilte [Hervorhebungen durch mich]:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
m.a.W. du rechnest die ganze Zeit im mit seiner kanonischen Basis. Das will dir hier niemand verbieten. Aber es gibt andere Basen als die kanonische und andere zweidimensionale Vektorräume als den . Deswegen kann man nicht einfach behaupten, daß alle zweidimensionalen Vektoren Zahlenpaare sind. Sie sind lediglich isomorph zu Zahlenpaaren.


durch die jüngste Diskussion hier, hab ich das nun IMO besser verstanden smile

hier noch der Link zum Video:

https://studyflix.de/mathematik/vektorraum-1787

TomS hat Folgendes geschrieben:

2) Der uns vertraute Anschauungsraum (Ortsraum) kann mathematisch als affiner Raum aufgefasst werden. Zeichnet man einen beliebigen Punkt als Ursprung aus, so kann jedem anderen Punkt P ein Ortsvektor bzgl. dieses Ursprungs zugeordnet werden.


"affiner Raum" ist eventuell nicht für jeden gleich verständlich.
IMO kann man allerdings schon aus der Schule den Begriff des Ortsvektors ( https://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor ) kennen, der von einem festen Bezugspunkt auf einen bestimmten Punkt zeigt.
So wie ein Ortskundiger in Paris von einem bestimmten Punkt auf den Eifelturm zeigt, und sagt: "diese Richtung 500m".
Diesen Vektor kann man natürlich nicht einfach parallel verschieben und dann annehmen, dass der immer noch den Ort des Eifelturms bezeichnet.
Ich fürchte aber, das könnte nun @terminus wieder zu einer Nebendiskussion über Ortsvektoren motivieren, dass man da doch ein Koordinatensystem brauche....

Tanzen

Es gibt in den fernöstlichen Kampfkünsten die Metapher der vollen Teetasse, die man erst mal leeren muss, um neuen Tee einzufüllen.
Die steht für einen mit Vorstellungen und Assoziationen gefüllten Geist, der einen daran hindert, sich auf das Lernen von Neuem einzulassen.
Entsprechend gibt es die Anweisung "Empty your cup" als Voraussetzung, für das Lernen von neuen Dingen.
Hier filmisch dargestellt:

https://www.youtube.com/watch?v=_s5V2Ex21qM
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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 08:15    Titel: Antworten mit Zitat

Aruna hat Folgendes geschrieben:
Ich stell mir gerade vor, wie jemand in Paris nach dem Eifelturm fragt und einer zeigt auf den in der Nähe sichtbaren Eifelturm, aber der Fragende findet den dennoch nicht, weil er keine Koordinaten hat...

das ist sehr suggestiv, du setzt stillschweigend zuviele Randbedingungen stillschweigend fest, weil wir ja irgendwie bereits eine vage Vorstellung darüber haben, über was wir reden und wo das ungefähr ist oder wir schon fast da sind und nun nach Sicht per Anweisung von anderen navigieren können:

Wir reden ja aber über einen Bewegungsvektor:
stell dir vor, jemand ist taub und blind und weiß nichts über Eiffel und wo und wie, und er säße in seinem Rollstuhl oder unter einem Heißluftballon ohne Navigationssystem.
Oder versuch doch mal einen mobilen Arduino-Robot zu programmieren, dass er von deinem Wohnzimmer bis unter den Eiffelturm fährt, ohne GPS etc. natürlich.
Wie soll er das finden, was du "unter dem Eiffelturm" bezeichnest?

Nehmen wir etwas weniger suggestiv bekanntes:
Wir treffen uns am linken Rand vom Zeta-Krater.
Was ist das? Wo ist das?
Auf der Erde? Dem Mond? Auf Merkur? oder Ceres?
Wir kommen wir dann genau da hin, ohne Navigation, Peilung und Bezugssystem?

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terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 08:30    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ok, wenn du es nicht anschaulich begreifen möchtest, dann mathematisch.


1) Die mathematische Definition eines Vektorraumes V über einem Feld F mit den binären Operatoren





erfordert keine Komponenten.

2) Der uns vertraute Anschauungsraum (Ortsraum) kann mathematisch als affiner Raum aufgefasst werden. Zeichnet man einen beliebigen Punkt als Ursprung aus, so kann jedem anderen Punkt P ein Ortsvektor bzgl. dieses Ursprungs zugeordnet werden.


Wenn du nun weiterhin der Meinung bist, Komponenten seien essentiell für das Verständnis von Vektoren, dann tut es mir leid. Du wirst nichts verstehen, wenn du dich gegen das Verständnis zur Wehr setzt.


das stimmt, aber du beschreibst ja gar nicht, WIE man plus und mal rechnet, was ja nicht trivial ist (denn das kennt man ja zunächst nur bei Z, Q oder R),
sondern nur, dass dieses "neue" plus und mal paarweise Verknüpfungen zwischen jeweils 2 Elementen einer Menge oder Struktur sind und dass die Abbildungen abgeschlossen sind.
(Tatsächlich ist mir "affin" nicht geläufig.)

Statt mit plus und mal könnte man ja auch mit Verknüpfungen "°" und "^" arbeiten - aber was ist das, und wie rechnet man damit?

In dem Moment, wo du ein spez. Ergebnis ausrechnen willst, musst du also sagen, was man denn bei plus und mal jetzt genau machen muss, d.h. wie die Rechenregeln nach was auch immer ausgeführt werden müssen.
Ein Weg wäre, die Vektor-Elemente als (z.B. reelle) Zahlen-Komponenten darzustellen und plus und mal auf die Komponenten nach den Rechenregeln der reellen Zahlen anzuwenden und auszuführen.
Oder meinetwegen auch anders, z.B. mit geometrischen oder analytischen Rechenregeln, aber auch dann brauchen wir Rechenregeln, die dieses plus und mal eindeutig definieren, und dann muss man das auf die Struktur/den Aufbau der Vektorelemente zurückführen.
Z.B. mit Komponenten.
Oder anders, aber wie dann?

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 09:05    Titel: Antworten mit Zitat

Aruna hat Folgendes geschrieben:
Das Folgende ist nicht als Widerspruch gedacht, sondern als Ergänzung …

Danke.

Ich wollte letztlich darauf hinaus, dass konzeptionell alles existiert, was man von einem Vektorraum und Vektoren erwartet - Ausgangspunkt, Länge, Richtung, Vektor-Addition, Skalierung, später dann Drehungen, Skalarprodukt und eingeschlossene Winkel …

Ich sehe drei Herangehensweisen, die in Teilen äquivalent sind und die unterschiedliche Schwerpunkte setzen:
1) die formale, die ich hier nur Vollständigkeit halber angeführt habe
2) die geometrische, anschauliche, die leider abgelehnt wird - warum, weiß ich nicht
3) die algebraische - die für konkrete Rechnungen notwendig ist, jedoch nichts zum geometrischen Verständnis beiträgt

Aruna hat Folgendes geschrieben:
Wenn nun jemand einen Hintergrund in Wirtschaftsmathematik o.Ä. hat, dann wird er Vektoren als n-Tupel kennen und den eventuell erst mal als "richtig" verteidigen, bis er versteht, dass das nicht die einzige Verwendung ist und es eine allgemeinere, abstraktere Definition gibt.

Ich sage auch nicht, dass dies falsch wäre, lediglich, dass es erstens nicht allgemeingültig und zweitens für das Verstehe nicht hilfreich ist.

Der wesentliche Grund für letzteres ist, dass der Wechsel der Basen für das physikalische Verständnis essentiell ist, und dass dieser Wechsel durch weitere Objekte - die je System gewählte Observablen-Algebra definiert wird. Die physikalische Interpretation wird erst klar, wenn man diese unterschiedlichen Aspekte betrachtet.

Bsp:







Dies sind drei Darstellungen des selben Objektes, wovon die erste mittels Komponenten nichts zum das physikalische Verständnis beiträgt …

Tanzen

Aruna hat Folgendes geschrieben:
Es gibt in den fernöstlichen Kampfkünsten die Metapher der vollen Teetasse, die man erst mal leeren muss, um neuen Tee einzufüllen.
Die steht für einen mit Vorstellungen und Assoziationen gefüllten Geist, der einen daran hindert, sich auf das Lernen von Neuem einzulassen.
Entsprechend gibt es die Anweisung "Empty your cup" als Voraussetzung, für das Lernen von neuen Dingen.

Sehr schönes Bild. Oder so:

Vergessen musst du das, was früher du gelernt.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 09:39    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Oder versuch doch mal einen mobilen Arduino-Robot zu programmieren, dass er von deinem Wohnzimmer bis unter den Eiffelturm fährt, ohne GPS etc. natürlich.
Wie soll er das finden, was du "unter dem Eiffelturm" bezeichnest?

Ich gebe ihm eine Liste von Anweisungen:
Fahre 10 Meter geradeaus
Drehe 30 Grad links
Fahre 100 Meter geradeaus
Drehe 10 Grad rechts
Fahre 2.7 Kilometer geradeaus


Keine Komponenten ;-)

Warum beharrst du auf einem Zugang, der genau das verstellt, was essentiell ist? Wie würdest du jemanden ein Gemälde erklären? Durch eine 2-dim Array mit Farbcodes?

terminus hat Folgendes geschrieben:
… aber du beschreibst ja gar nicht, WIE man plus und mal rechnet … In dem Moment, wo du ein spez. Ergebnis ausrechnen willst, musst du also sagen, was man denn bei plus und mal jetzt genau machen muss …

Ich beschreibe es absichtlich nicht, weil es für das physikalische Verständnis zunächst irrelevant ist. Sobald es relevant wird, erkläre ich es auch.

Nicht unterweisen wir dich können, wenn zu ungeduldig du bist …

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Beitrag Aruna Verfasst am: 26. Mai 2022 10:17    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Aruna hat Folgendes geschrieben:
Ich stell mir gerade vor, wie jemand in Paris nach dem Eifelturm fragt und einer zeigt auf den in der Nähe sichtbaren Eifelturm, aber der Fragende findet den dennoch nicht, weil er keine Koordinaten hat...

[....]

Wir reden ja aber über einen Bewegungsvektor:


Wieso?
Wenn einer an einer Bäckerei steht und mit Längenangabe in Richtung Eifelturm zeigt, dann ist das ein Ortsvektor von der Bäckerei zum Eifelturm

terminus hat Folgendes geschrieben:

stell dir vor, jemand ist taub und blind und weiß nichts über Eiffel und wo und wie, und er säße in seinem Rollstuhl oder unter einem Heißluftballon ohne Navigationssystem.
Oder versuch doch mal einen mobilen Arduino-Robot zu programmieren, dass er von deinem Wohnzimmer bis unter den Eiffelturm fährt, ohne GPS etc. natürlich.
Wie soll er das finden, was du "unter dem Eiffelturm" bezeichnest?


Nur weil einer da nicht hinfindet, heißt das, dass der Ort nicht exisitert, oder der Weg von einem anderen Ort zu diesem Ort?

terminus hat Folgendes geschrieben:

Nehmen wir etwas weniger suggestiv bekanntes:
Wir treffen uns am linken Rand vom Zeta-Krater.
Was ist das? Wo ist das?
Auf der Erde? Dem Mond? Auf Merkur? oder Ceres?
Wir kommen wir dann genau da hin, ohne Navigation, Peilung und Bezugssystem?


Wenn der Rand vom Zeta-Krater exisitiert, dann existiert er IMO unabhängig davon, dass jemand weiß, was das ist, oder wo das ist.
(Linker Rand ist dann wieder problematisch)
Es wird dann auch zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Richtung und eine Entfernung vom Pariser Eifelturm aus geben.
index_razor



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Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 26. Mai 2022 11:51    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

In dem Moment, wo du ein spez. Ergebnis ausrechnen willst, musst du also sagen, was man denn bei plus und mal jetzt genau machen muss, d.h. wie die Rechenregeln nach was auch immer ausgeführt werden müssen.


Diese "Rechenregeln" sind die Axiome des Vektorraums. Mehr benötigst du nicht. Alles was für die Berechnung "spezieller Ergebnisse" fehlt, ist die Spezifikation eines konkreten Problems. Dazu formulierst du Voraussetzungen, die festlegen in welcher Beziehung die Vektoren untereinander stehen, z.B. "Seien zwei linear unabhängige Vektoren und sei . Sei ein weiterer Vektor parallel zu : ." etc

Aber diese Aussagen geben keine Information über das Ausführen der Rechenoperationen im Vektorraum, die über die Axiome hinausgeht. (Gerade weil nichts weiter nötig ist, ist der Begriff des Vektorraums eine nützliche Abstraktion.) Trotzdem kann man damit sehr konkrete Ergebnisse berechnen. Das habe ich weiter oben anhand des schrägen Wurfs angedeutet.

Zitat:
Ein Weg wäre, die Vektor-Elemente als (z.B. reelle) Zahlen-Komponenten darzustellen und plus und mal auf die Komponenten nach den Rechenregeln der reellen Zahlen anzuwenden und auszuführen.


Ganz im Gegenteil. Dies ist keine Voraussetzung für das konkrete Rechnen mit Vektoren, sondern eine Konsequenz aus den abstrakten Axiomen des Vektorraums. Wir spezifizieren wieder ein Problem: Seien drei linear unabhängige Vektoren und seien und (griechische Buchstaben stehen für Zahlen). Dann ist offenbar



Das ist deine Regel der "komponentenweisen Addition" von Vektoren. Sie ist eine triviale Konsequenz aus einem der Distributivitätsgesetze des Vektorraums.

Übrigens, wenn wir zusätzlich voraussetzen, daß orthonormiert sind*), d.h. und , dann erhalten wir sofort aus den abstrakten Rechenregeln des inneren Produkts und weiteren Axiomen des Vektorraums



Beispielrechnung:



etc. (und analog für alle Linearkombinationen dieser drei Vektoren).

Die Identitäten (K) sind unter diesen Voraussetzungen äquivalent zur Gleichung



Sie ist also keineswegs redundant, sondern impliziert die Zustatzinformation, daß die gewählten Basisvektoren orthonormiert sind.

__________________
*) Damit geht man über die Axiome des Vektorraums hinaus und setzt voraus, daß der Vektorraum ein inneres Produkt (Skalarprodukt) besitzt. Alle bisher diskutierten Vektorräume besitzen natürlich ein solches Produkt.

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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 12:55    Titel: Antworten mit Zitat

damit ich einen Robot mit links/rechts/geradeaus Befehlen zum Eiffelturm leiten kann, muss ich erst mal wissen, wie der in Bezug zu meinem Startpunkt gelegen ist, ich brauche also Richtung und Länge in Bezug zu Nord/Süd oder West/Ost (also in Polarkoordinaten oder auch in kartesischen), dazu muss ich aber wissen und messen können, wie diese Himmelsrichtungen orientiert sind, also die Basis.
Zitat:
Es wird dann auch zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Richtung und eine Entfernung vom Pariser Eifelturm aus geben.

was ist eine/die "Richtung"? In Bezug wozu oder worauf?
Zitat:
Wenn einer an einer Bäckerei steht und mit Längenangabe in Richtung Eifelturm zeigt, dann ist das ein Ortsvektor von der Bäckerei zum Eifelturm

woher weiß er, in welcher Richtung der liegt? Ich wüsste es nicht, ohne Kompass u/o GPS.

Zitat:
Dies sind drei Darstellungen des selben Objektes, wovon die erste mittels Komponenten nichts zum ... physikalische(n) Verständnis beiträgt …

...und ebensowenig die anderen beiden.

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 26. Mai 2022 13:11, insgesamt 3-mal bearbeitet
terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 12:57    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Diese "Rechenregeln" sind die Axiome des Vektorraums. Mehr benötigst du nicht.


das stimmt, aber TomS hatte sie ja noch gar nicht definiert, sondern nur als theoretische Abbildungen formuliert.
Wenn sie samt ihrer Rechenregeln definiert sind, kann man ntl damit rechnen, genau darum ging es mir ja.

Ansonsten wüsste ich nicht, wie ich
ξ⋅r
oder
r1+r2
im konkreten Fall ausrechnen soll
(ξ: Skalar aus Körper K, r,r1,r2: Vektoren aus Vektorraum V über K).
Ich brauche dazu ja dezidierte Werte, die iwo/iwie in einem r "drinstehen", die ich erkennen und mit denen ich rechnen kann.

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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 13:26    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
damit ich einen Robot mit links/rechts/geradeaus Befehlen zum Eiffelturm leiten kann, muss ich erst mal wissen, wie der in Bezug zu meinem Startpunkt gelegen ist, ich brauche also Richtung und Länge in Bezug zu Nord/Süd oder West/Ost

Offensichtlich falsch.

Meine Eltern haben mich als kleinen Bub so zum Bäcker und in den Kindergarten geschickt:
Gehe geradeaus bis zur Kreuzung
Dann (90 Grad) links
Dann bis zur Verkehrsinsel
Dann (90 Grad) rechts


Koordinatensysteme sind dabei offensichtlich völlig irrelevant.

Das waren sie in der Geschichte der Menschheit für Jahrtausende, trotzdem fanden unsere Vorfahren in ihre Höhlen zurück.

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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 13:30    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Diese "Rechenregeln" sind die Axiome des Vektorraums. Mehr benötigst du nicht.


das stimmt, aber TomS hatte sie ja noch gar nicht definiert, sondern nur als theoretische Abbildungen formuliert.
Wenn sie samt ihrer Rechenregeln definiert sind, kann man ntl damit rechnen, genau darum ging es mir ja.

Ansonsten wüsste ich nicht, wie ich
ξ⋅r
oder
r1+r2
im konkreten Fall ausrechnen soll

Du sollst noch nichts konkret ausrechnen, weil das für ein Verständnis der mathematischen Konzepte in der Quantenmechanik zunächst nicht notwendig ist.

Eine geometrische Vorstellung eines Zustandsvektors als Einheitsvektor, der einen Punkt auf einer Kugeloberfläche beschreibt, würde völlig ausreichen.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Mai 2022 13:32, insgesamt einmal bearbeitet
Aruna



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Beitrag Aruna Verfasst am: 26. Mai 2022 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

terminus hat Folgendes geschrieben:

Zitat:
Wenn einer an einer Bäckerei steht und mit Längenangabe in Richtung Eifelturm zeigt, dann ist das ein Ortsvektor von der Bäckerei zum Eifelturm

woher weiß er, in welcher Richtung der liegt? Ich wüsste es nicht, ohne Kompass u/o GPS.


Ich glaube, selbst kleine Kinder oder Hunde können der Richtung eines Fingerzeigs folgen.
Ohne Kompass und GPS


terminus hat Folgendes geschrieben:

Zitat:
Dies sind drei Darstellungen des selben Objektes, wovon die erste mittels Komponenten nichts zum ... physikalische(n) Verständnis beiträgt …

...und ebensowenig die anderen beiden.

[/quote]

Das liegt IMO daran, dass Du den Formalismus (noch) nicht verstehst.
Z.B. was ein Erzeugungsoperator ist.
terminus



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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Gehe geradeaus bis zur Kreuzung
Dann (90 Grad) links
Dann bis zur Verkehrsinsel
Dann (90 Grad) rechts


da hast du eine Bezugs-Basis, nämlich das Haus und das Straßensystem und das metrische System, und du beginnst mit deinem Kurs genau in Bezug darauf.

wenn du in der Wüste starten würdest oder auf Hoher See, wüsstest du ja gerade eben NICHT, in welcher Richtung "geradeaus" legt.

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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2022 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

Doch.

Der Beduine deutet auf eine Düne und sagt “dahinter, in ca. einer Wegstunde Entfernung, liegt die Oase”.

Und diese Beschreibung ist frei von einem Bezugsystem, einer Basis oder Koordinaten.

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Beitrag terminus Verfasst am: 26. Mai 2022 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Ich glaube, selbst kleine Kinder oder Hunde können der Richtung eines Fingerzeigs folgen.
Ohne Kompass und GPS

die Frage war, woher die Richtungsangabe für den Fingerzeig ursprünglich stammt: die Richtung und die Länge muss ja iwie gemessen und dadurch ermittelt worden worden sein, und dann wird diese Richtung samt Länge quasi per Parallelverschiebung an den Adressaten übergeben, damit er quasi genau richtig auf ihn "wirkt".
Falls der Adressat auf den Fingerzeigenden guckt, muss er sich vorher dann noch entlang dem Fingerzeig als Basisrichtung entsprechend drehen, damit hat er die Richtung des Fingerzeigs als basislinie seines örtlichen Bezugssystems.
Zitat:
Der Beduine deutet auf eine Düne und sagt “dahinter, in ca. einer Wegstunde Entfernung, liegt die Oase”.

analog für den Beduinen.

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Zuletzt bearbeitet von terminus am 26. Mai 2022 13:39, insgesamt einmal bearbeitet
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