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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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 frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 15:25 Titel: Analyse der Wellenfunktion |
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Hallo!
Beim Üben bin ich auf eine weitere Aufgabe gestoßen, die ich nicht lösen kann. Wie muss ich bei a) denn genau vorgehen? Ich habe zuerst versucht nach theta umzuformen, um auf die Nullstelle zu kommen, aber die Umformung hat nicht wirklich geklappt
Die Lösung ist zwar da, aber hilfreich war die für mich nicht.
Also so sieht die Aufgabenstellung (mit Lösung) aus:
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 10. Sep 2022 20:27 Titel: |
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Die angegebene Funktion psi ist eine Kugelflächenfunktion, also der winkelabhängige Teil einer Wellenfunktion. Gesucht sind die Nullstellen, was gleichbedeutend ist mit der Lösung der Gleichung
Das Auflösen nach theta sollte eigentlich nicht so schwierig sein? Nach cos(theta) auflösen und dann auf beiden Seiten den Arcuscosinus anwenden.
Wenn in der Lösung steht, dass die Knoten Kegeloberflächen entsprächen, dann gilt das m.E. dann für die ganze Wellenfunktion, also inkl. der Radialfunktion.
Zu b) für den Winkel phi gilt
(nicht 4*pi).
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 09:54 Titel: |
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ja, die Umformung ist klar. Aber ich hab`nicht verstanden, warum die Knoten flächen sind. Woher weiß man denn, ob diese Punkte Linien oder Knoten sind?
Und bei b) soll ich die Wellenfunktion einfach normieren und die genannten Grenzen einsetzten?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 10:09 Titel: |
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Diese „Wellenfunktion“ ist in den meisten Fällen keine eigenständige Wellenfunktion, da sie nur den Winkelanteil in theta und phi beschreibt. In drei Dimensionen benötigt man aber noch eine Radialkoordinate.
Außerdem ist diese Funktion eine der sogenannten Kugelflächenfunktionen. Diese definieren eine vollständiges Orthonormalsystem in theta und phi, d.h. jede Funktion in theta und phi kann mittels dieser Kugelflächenfunktionen dargestellt werden. Das ist vergleichbar zu einer Fourierreihe.
a) Zwei Variablen theta und phi definieren eine Fläche, hier eine Kugeloberfläche. Wenn nun eine Lösung theta_0 für den ersten Winkel vorliegt, dann ist der zweite Winkel phi beliebig, d.h. es liegt eine Knotenlinie vor.
Im vorliegenden Fall ist
Das liefert natürlich zwei Lösungen für theta
die symmetrisch um den Äquator liegen.
b) Ja. Bevor du mit der Berechnung anfängst, solltest du eure Definitionen zu den Funktionen, dem Orthonormalsystem usw. hier einstellen. Dass in der Angabe ein falschen Bereich für phi genannt ist, macht mich stutzig. Außerdem gibt es leicht unterschiedliche Konventionen, siehe hier: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 10:40 Titel: |
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Noch ein Tipp. Man sieht per Variablensubstitution, dass
 = \int_{-1}^{+1} d(\cos\theta) \, f(\cos\theta))
gilt.
Du kannst also eine neue Integrationsvariable einführen und musst dich nicht mit Integralen über Winkelfunktionen herumschlagen.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 11:49 Titel: |
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Ich kann ja dann einfach x als Integrationsvariable einsetzen und die ganzen Winkelfunktionen fallen dann weg. Aber wie soll ich dann zeigen, dass die Funktion normiert ist? Habe ich einen denkfehler?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 11. Sep 2022 12:03 Titel: |
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Mit Normierung ist gemeint, dass
|^2\,\dd\phi\,\dd\theta=1)
gilt. Dies ist also zu zeigen.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 12:24 Titel: |
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Aber ist das dann nicht viel zu kompliziert? Allein schon wenn ich die Substitutionsregel anwende, verliere ich den Überblick.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 12:25 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Mit Normierung ist gemeint, dass
gilt. Dies ist also zu zeigen. |
Korrektur: Mit Normierung ist gemeint, dass
|^2\,\dd\phi\,\sin\theta\,\dd\theta = \int\limits_{-1}^{+1}\int\limits_0^{2\pi}|Y^{0}_{2}(\cos\theta,\phi)|^2\,\dd\phi\,\dd(\cos\theta) = 1)
gilt.
Ich schreibe im Physiker-Stil übrigens lieber
|^2 = \int_{-1}^{+1} \dd(\cos\theta) \int_0^{2\pi} \dd\phi \, |Y^{0}_{2}(\cos\theta,\phi)|^2 = 1)
da man sofort erkennt, welche Integrationsgrenzen für welche Variable gelten.
So oder so, entweder mit dem Sinus, oder mit Substitution.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Sep 2022 13:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 12:27 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Aber ist das dann nicht viel zu kompliziert? Allein schon wenn ich die Substitutionsregel anwende, verliere ich den Überblick. |
Was ist an
^2)
kompliziert?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
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| Myon Verfasst am: 11. Sep 2022 12:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Korrektur: Mit Normierung ist gemeint, dass... |
Ja Mist, danke!! Sollte ich eigentlich nach gestern umso mehr wissen, denn da rechnete ich nach und kam längere Zeit nicht auf 1, genau weil ich sin(theta) vergessen hatte. Wahrscheinlich, weil die meist noch vorhandene r-Koordinate nicht da ist.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 14:35 Titel: |
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Ich weiß nicht, ob ich euch richtig verstanden habe, aber so würde ich’s dann machen:
Edit: Ich merke gerade, dass ich nicht nicht ordentlich gerechnet habe. In der 1. Zeile fehlen sin und phi. Wenn der Ansatz so stimmt, lade ich die korrigierte Version hoch.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 14:42 Titel: |
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Bei der a) gibt es noch eine zweite Lösung - s.o.
Bei der b) musst du auch die Grenzen transformieren - s.o.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 15:11 Titel: |
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Okay, die Grenzen habe ich jetzt verbessert.
Bei a) habe ich noch Verständnisprobleme. Ich kann deine obige Erklärung immer noch nicht nachvollziehen. Kannst du mir noch einmal erklären, warum die Flächen sind.
Diese Erklärung "Wenn eine Lösung theta_0 für den ersten Winkel vorliegt, dann ist der zweite Winkel phi beliebig, d.h. es liegt eine Knotenlinie vor" habe ich noch nicht gecheckt, sry.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 15:40 Titel: |
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Die Grenzen musst du schon am Integral anpassen, nicht erst später. Daraus resultiert bei dir zwar kein Fehler, weil du rechtzeitig korrigierst, es ist jedoch formal falsch.
Aber was machst du da mit den Vorzeichen??
^5 - (-1)^5 \right) = \frac{2}{5})
usw.
theta und phi sind zwei Winkelkoordinaten für die gesamte Kugeloberfläche, sie bezeichnen die Breiten- und Längengrade. Deine Gleichung fixiert zwei Werte von theta, d.h. zwei Breitengrade, nicht jedoch phi d.h. nicht den Längengrad. Die Lösung besteht aus zwei vollständigen Breitengraden d.h. zwei Knotenlinien auf der Kugeloberfläche.
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frage1
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| frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 16:49 Titel: |
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Stimmt, die Vorzeichen waren total falsch.
Aber bei mir sieht das ganze so aus:
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 17. Sep 2022 07:20, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 12. Sep 2022 07:37 Titel: |
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Die Grenzen sind wieder falsch, daher auch der Vorzeichenfehler
 = \int_{-1}^{+1} du )
Du substituiertest zunächst für die Grenzen
 = \cos 0 = +1)
 = \cos \pi = -1)
und kehrst dann die Integrationsrichtung um; damit verschwindet das Minus.
Der Rest passt, aber warum rechnest du so umständlich?
Den Term hast du zweimal, also ein Faktor 2. Dann noch ein Faktor 2*pi. Zusammen mit der Normierung passt das.
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frage1
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| frage1 Verfasst am: 17. Sep 2022 07:22 Titel: |
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Alles, klar, vielen vielen Dank!!
Also noch einmal die gesamte Rechnung. Passen alle Schritte? Habe ich irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler ?
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