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Analyse der Wellenfunktion
 
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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 15:25    Titel: Analyse der Wellenfunktion Antworten mit Zitat

Hallo!

Beim Üben bin ich auf eine weitere Aufgabe gestoßen, die ich nicht lösen kann. Wie muss ich bei a) denn genau vorgehen? Ich habe zuerst versucht nach theta umzuformen, um auf die Nullstelle zu kommen, aber die Umformung hat nicht wirklich geklappt

Die Lösung ist zwar da, aber hilfreich war die für mich nicht.

Also so sieht die Aufgabenstellung (mit Lösung) aus:



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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 10. Sep 2022 20:27    Titel: Antworten mit Zitat

Die angegebene Funktion psi ist eine Kugelflächenfunktion, also der winkelabhängige Teil einer Wellenfunktion. Gesucht sind die Nullstellen, was gleichbedeutend ist mit der Lösung der Gleichung



Das Auflösen nach theta sollte eigentlich nicht so schwierig sein? Nach cos(theta) auflösen und dann auf beiden Seiten den Arcuscosinus anwenden.

Wenn in der Lösung steht, dass die Knoten Kegeloberflächen entsprächen, dann gilt das m.E. dann für die ganze Wellenfunktion, also inkl. der Radialfunktion.

Zu b) für den Winkel phi gilt



(nicht 4*pi).
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 09:54    Titel: Antworten mit Zitat

ja, die Umformung ist klar. Aber ich hab`nicht verstanden, warum die Knoten flächen sind. Woher weiß man denn, ob diese Punkte Linien oder Knoten sind?

Und bei b) soll ich die Wellenfunktion einfach normieren und die genannten Grenzen einsetzten?
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 10:09    Titel: Antworten mit Zitat

Diese „Wellenfunktion“ ist in den meisten Fällen keine eigenständige Wellenfunktion, da sie nur den Winkelanteil in theta und phi beschreibt. In drei Dimensionen benötigt man aber noch eine Radialkoordinate.

Außerdem ist diese Funktion eine der sogenannten Kugelflächenfunktionen. Diese definieren eine vollständiges Orthonormalsystem in theta und phi, d.h. jede Funktion in theta und phi kann mittels dieser Kugelflächenfunktionen dargestellt werden. Das ist vergleichbar zu einer Fourierreihe.


a) Zwei Variablen theta und phi definieren eine Fläche, hier eine Kugeloberfläche. Wenn nun eine Lösung theta_0 für den ersten Winkel vorliegt, dann ist der zweite Winkel phi beliebig, d.h. es liegt eine Knotenlinie vor.



Im vorliegenden Fall ist



Das liefert natürlich zwei Lösungen für theta



die symmetrisch um den Äquator liegen.


b) Ja. Bevor du mit der Berechnung anfängst, solltest du eure Definitionen zu den Funktionen, dem Orthonormalsystem usw. hier einstellen. Dass in der Angabe ein falschen Bereich für phi genannt ist, macht mich stutzig. Außerdem gibt es leicht unterschiedliche Konventionen, siehe hier: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 10:40    Titel: Antworten mit Zitat

Noch ein Tipp. Man sieht per Variablensubstitution, dass



gilt.

Du kannst also eine neue Integrationsvariable einführen und musst dich nicht mit Integralen über Winkelfunktionen herumschlagen.

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frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 11:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kann ja dann einfach x als Integrationsvariable einsetzen und die ganzen Winkelfunktionen fallen dann weg. Aber wie soll ich dann zeigen, dass die Funktion normiert ist? Habe ich einen denkfehler?
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 11. Sep 2022 12:03    Titel: Antworten mit Zitat

Mit Normierung ist gemeint, dass



gilt. Dies ist also zu zeigen.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 12:24    Titel: Antworten mit Zitat

Aber ist das dann nicht viel zu kompliziert? Allein schon wenn ich die Substitutionsregel anwende, verliere ich den Überblick.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 12:25    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Mit Normierung ist gemeint, dass



gilt. Dies ist also zu zeigen.

Korrektur: Mit Normierung ist gemeint, dass



gilt.

Ich schreibe im Physiker-Stil übrigens lieber



da man sofort erkennt, welche Integrationsgrenzen für welche Variable gelten.

So oder so, entweder mit dem Sinus, oder mit Substitution.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Sep 2022 13:29, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 12:27    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Aber ist das dann nicht viel zu kompliziert? Allein schon wenn ich die Substitutionsregel anwende, verliere ich den Überblick.

Was ist an



kompliziert?

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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 11. Sep 2022 12:36    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Korrektur: Mit Normierung ist gemeint, dass...

Ja Mist, danke!! Sollte ich eigentlich nach gestern umso mehr wissen, denn da rechnete ich nach und kam längere Zeit nicht auf 1, genau weil ich sin(theta) vergessen hatte. Wahrscheinlich, weil die meist noch vorhandene r-Koordinate nicht da ist.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 14:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, ob ich euch richtig verstanden habe, aber so würde ich’s dann machen:

Edit: Ich merke gerade, dass ich nicht nicht ordentlich gerechnet habe. In der 1. Zeile fehlen sin und phi. Wenn der Ansatz so stimmt, lade ich die korrigierte Version hoch.



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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Bei der a) gibt es noch eine zweite Lösung - s.o.

Bei der b) musst du auch die Grenzen transformieren - s.o.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 15:11    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, die Grenzen habe ich jetzt verbessert.
Bei a) habe ich noch Verständnisprobleme. Ich kann deine obige Erklärung immer noch nicht nachvollziehen. Kannst du mir noch einmal erklären, warum die Flächen sind.
Diese Erklärung "Wenn eine Lösung theta_0 für den ersten Winkel vorliegt, dann ist der zweite Winkel phi beliebig, d.h. es liegt eine Knotenlinie vor" habe ich noch nicht gecheckt, sry.



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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2022 15:40    Titel: Antworten mit Zitat

Die Grenzen musst du schon am Integral anpassen, nicht erst später. Daraus resultiert bei dir zwar kein Fehler, weil du rechtzeitig korrigierst, es ist jedoch formal falsch.

Aber was machst du da mit den Vorzeichen??



usw.


theta und phi sind zwei Winkelkoordinaten für die gesamte Kugeloberfläche, sie bezeichnen die Breiten- und Längengrade. Deine Gleichung fixiert zwei Werte von theta, d.h. zwei Breitengrade, nicht jedoch phi d.h. nicht den Längengrad. Die Lösung besteht aus zwei vollständigen Breitengraden d.h. zwei Knotenlinien auf der Kugeloberfläche.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Sep 2022 16:49    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, die Vorzeichen waren total falsch.
Aber bei mir sieht das ganze so aus:


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 17. Sep 2022 07:20, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 12. Sep 2022 07:37    Titel: Antworten mit Zitat

Die Grenzen sind wieder falsch, daher auch der Vorzeichenfehler



Du substituiertest zunächst für die Grenzen





und kehrst dann die Integrationsrichtung um; damit verschwindet das Minus.

Der Rest passt, aber warum rechnest du so umständlich?



Den Term hast du zweimal, also ein Faktor 2. Dann noch ein Faktor 2*pi. Zusammen mit der Normierung passt das.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 17. Sep 2022 07:22    Titel: Antworten mit Zitat

Alles, klar, vielen vielen Dank!!

Also noch einmal die gesamte Rechnung. Passen alle Schritte? Habe ich irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler ?



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