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Orthonormale Wellenfunktion
 
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frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 10:55    Titel: Orthonormale Wellenfunktion Antworten mit Zitat

Hallo!

Es geht hier um orthonormale Wellenfunktionen. Ich soll hier den normierungsfaktor a berechnen, aber leider komme ich nicht weiter. Soll ich zuerst das betragsquadrat von j1 bilden und dann das betragsquadrat von den beiden WF?


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:16, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 11:03    Titel: Re: Orthonormale Wellenfunktion Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Hallo!

Es geht hier um orthonormale Wellenfunktionen. Ich soll hier den normierungsfaktor a berechnen, aber leider komme ich nicht weiter. Soll ich zuerst das betragsquadrat von j1 bilden und dann das betragsquadrat von den beiden WF?


Du sollst berechnen und so wählen, daß .

Die größte Schwierigkeit ist vermutlich die schlechte Notation des Aufgabentextes zu durchschauen. Ich denke es ist



gemeint. Das Betragsquadrat von mußt du nicht berechnen. Das ist laut Aufgabenstellung gleich 1. (Die beiden Vektoren sollen ja orthonormal sein.)

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frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 11:31    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen dank erstmal!
Wir haben solche Aufgabentypen auch nie wirklich behandelt. Wir haben auch nie die orthonormalität überprüft, nur orthogonalität. Ich weiß zwar, was mit orthonormalität gemeint ist, aber die Rechnung an sich kann ich nicht nachvollziehen. Mich hat auch noch die Notation ziemlich verwirrt, da sind nur die Ket-Vektoren angegeben. Also so würde ich´s dann rechnen:


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:17, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 12:03    Titel: Antworten mit Zitat

Das Hilbertraumprodukt ist linear im zweiten Argument und antilinear im ersten. Das bedeutet



und



Hier sind und komplexe Zahlen und allesamt Hilbertraumvektoren.

In der Diracnotation bezeichnet man diese Vektoren mit etc. Das Hilbertraumprodukt von und in dieser Reihenfolge schreibt man aber trotzdem und es hat genau dieselben Eigenschaften wie oben, d.h. das Produkt von und ist etc.

Im Produkt mußt du beide Regeln nacheinander anwenden, z.B. erst Regel (1). Das ergibt eine Summe aus zwei Termen. Auf jeden davon wendest du Regel (2) an. Wenn du soweit bist, überlegen wir, was wie mit dem Ergebnis machen.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 13:49    Titel: Antworten mit Zitat

Bevor ich weitermache, poste ich mal meinen Ansatz, um zu schauen, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Habe ich richtig angefangen?

Und danke vielmals für deine Erklärung!


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:17, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 14:09    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist auf jeden Fall eine gute Idee kleine Schritte zu gehen. In deiner Rechnung stimmt aber schon etwas nicht.

Setze in nur für den zweiten (rechten) Faktor ein und wende Regel (1) an. Das linke läßt du erstmal so stehen, wie es ist.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

Also so? Ich hoffe dass es jetzt passt.

Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:23, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 17:08    Titel: Antworten mit Zitat

Das geht in die richtige Richtung. Du hast aber wohl die Klammerung nicht beachtet


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Beitrag frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, stimmt, die klammerung war falsch. Aber wie geht´s dann weiter? Regel (2) habe ich nicht ganz verstanden. So sieht`s mal momentan aus.


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index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 18:53    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Ja, stimmt, die klammerung war falsch. Aber wie geht´s dann weiter?


Bitte einen Schritt nach dem anderen. Es geht erst weiter wenn die Rechnung aus deinem vorigen Beitrag korrigiert ist. Bitte befolge einfach diesen Hinweis aus meinem Beitrag weiter oben:

Setze in nur für den zweiten (rechten) Faktor ein und wende Regel (1) an. Das linke läßt du erstmal so stehen, wie es ist.


Die Anwendung der Regel (1) ergibt hier zunächst eine Summe aus zwei Termen, in denen jeweils ein Faktor multipliziert mit je einem der orthonormalen Basisvektoren vorkommt. Und ich möchte genau die Summe dieser beiden Terme sehen.

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jmd



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Beitrag jmd Verfasst am: 19. Jun 2022 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

Man hat hier doch einfach einen Vektor den man auf die Länge eins bringen soll



index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 20:35    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist zwar eine mögliche Lösung (von unendlich vielen). Aber es geht hier darum zu verstehen, wie man das erkennt. Dazu muß man erst lernen wie man in komplexen Vektorräumen rechnet.
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Beitrag frage1 Verfasst am: 20. Jun 2022 19:15    Titel: Antworten mit Zitat

Index_razor, ich bin mir ziemlich unsicher, aber stimmt das so?

Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:16, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 20. Jun 2022 20:23    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, du hast nicht verstanden wie die Linearitätsbedingung (1) angewendet wird.

Schritt für Schritt: Definiere . Dann ist

1) nach Regel (1) mit und

2) wieder nach Regel (1), diesmal mit und .

Mache dir klar, daß ganz allgemein für gilt



Genau das bedeutet Linearität des Hilbertraumprodukts im zweiten Argument.

Jetzt mußt du dasselbe mit dem verbleibenden in der Gleichung machen und dabei die Antilinearität im ersten Argument benutzen.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 21. Jun 2022 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

Index_razor, ich hab nun die Lösung zu dieser Aufgabe und da kommt für a= √1/5 *Omega. Ehrlich gesagt habe ich die Lösung nicht verstanden. Wie kommt man auf dieses Ergebnis?
Und ich wende jetzt mal die Regeln, die du erklärt hast, an und poste gleich meine Rechnung hoch.
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Jun 2022 18:35    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Index_razor, ich hab nun die Lösung zu dieser Aufgabe und da kommt für a= √1/5 *Omega. Ehrlich gesagt habe ich die Lösung nicht verstanden. Wie kommt man auf dieses Ergebnis?


Es ist . Das folgt aus den oben genannten Regeln (1) und (2) für das Skalarprodukt und der Voraussetzung, daß und orthonormal sind. Der Vektor ist also auf 1 normiert, wenn



Die allgemeine Lösung für a ist also



mit beliebigem .

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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 11:26    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, ich greife hier wieder zurück. Wir haben zu dieser Aufgabe die Lösungen bekommen und im Nachhinein sind weitere Unklarheiten aufgetreten. Wie ist man auf Ψ*n * Ψn = 1 und Ψ2 * Ψ1 = 0 gekommen? Wieso Ψ2 * Ψ1 = 0, wenn es orthonormal ist? Man muss hier ja nur den Vektor auf 1 normieren, wozu dann dieser Ausdruck Ψ2 * Ψ1 = 0? Dann steht in der Lösung noch a^2⁡〖|1+0+0+4|. Welche Wellenfunktion ergibt 1 und welche 0? Wann muss ich 1 einsetzten wann 0? Mich verwirrt das ganze nur noch.
Über eine Rückmeldung würde ich mich wirklich sehr freuen.


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 10. Sep 2022 16:23, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 11:39    Titel: Antworten mit Zitat

Wo ist denn die Aufgabe dazu?
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frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 11:48    Titel: Antworten mit Zitat

Ganz oben habe ich die Aufgabenstellung hochgeladen.
Ich lade sie aber erneut hoch, also sie sieht sie aus.

Edit: Was ich auch nicht nachvollziehen kann: Warum ist Ψ2 * Ψ1 = 0? Wieso dürfen wir das annehmen? Muss nicht Ψ1 * Ψ1 = 0 ergeben?



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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 11:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hatten wir das schon mal, dass euer Skript sch… ist?

sind keine Wellenfunktionen sondern Zustandsvektoren.

Wellenfunktion in Ortsdarstellung sind



Das Skalarprodukt beliebiger Zustandsvektoren berechnet sich in Ortsdarstellung gemäß.



Für ein Orthonormalsystem gilt also



(Du brauchst die Integrale nicht, sie sollen nur verdeutlichen, dass Wellenfunktionen und Zustände etwas anderes sind)

In der Aufgabe wird die Bra-Ket-Notation verwendet



in der Lösung nicht.



In deinem Fall laufen die Indizes m und n nur über seh Bereich 1,2.

Für dein psi gilt



Zu berechnen ist



Soweit klar?

Ausmultiplizieren liefert



wegen





Welche Umformung genau ist jetzt unklar?

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Sep 2022 13:17, insgesamt 9-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 12:06    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Edit: Was ich auch nicht nachvollziehen kann: Warum ist Ψ2 * Ψ1 = 0? Wieso dürfen wir das annehmen? Muss nicht Ψ1 * Ψ1 = 0 ergeben?

Das steht da nicht, du meinst nicht psi sondern phi_1 und phi_2

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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 12:09    Titel: Antworten mit Zitat

[quote="TomS"]Hatten wir das schon mal, dass euer Skript sch… ist?

Ja, ich kann`s leider nicht ändern.

Also dann ist das einfach eine Definitionssache? Bei uns im Skript stand, dass die WF orthogonal ist, wenn n ungleich m ist. Und das gleiche gilt auch für Ψ2 * Ψ1, da in dem Fall m=2 ist und n=1, richtig? Und für die Orthonormalität gilt m=n, also Ψ1 * Ψ1=0 und Ψ2 * Ψ2=0.
Ich weiß, dass diese Erklärung nicht professionell ist, aber ich wollte das ,al so einfach wie möglich zusammenfassen.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 12:13    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Bei uns im Skript stand, dass die WF orthogonal ist, wenn n ungleich m ist. Und das gleiche gilt auch für Ψ2 * Ψ1, da in dem Fall m=2 ist und n=1, richtig?

Nein, weil da kein psi sondern ein phi steht.

Schau mal auf meinen Beitrag.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 12:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe deinen Beitrag schon gelesen, aber ich kann es immer noch nicht nachvollziehen.
In der Aufgabenstellung wird ja phi als eine Wellenfunktion angenommen, auch wenn es nicht korrekt ist. Und Zustandvektoren haben wir nicht wirklich behandelt. Das ist mir fremd. Deswegen komme ich jetzt nicht mit.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 12:24    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht erstmal nur darum, dass du phi und psi verwechselst. phi_1 und phi_2 sind deine orthonormierten Basisvektoren, psi ist zu normieren. psi_1 und psi_2 kommen nicht vor.
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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 13:18    Titel: Antworten mit Zitat

Hab‘ den Beitrag oben ergänzt und dabei die Schreibweise aus der Angabe verwendet.
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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt ist es wirklich viel viel klarer geworden, vielen Dank! Aber was mir noch fehlt ist die theoretische Vorstellung. Mathematisch passt das soweit, aber theoretisch kann ich mir darunter nicht`s vorstellen. Mich verwirrt dieses cn. Cn ist ja der Kombinationskoeffizient, aber was genau soll ich mir darunter vorstellen? Ich hab mir schon einige Beiträge dazugelesen, aber verständlich waren die für mich nicht. Ich brauche eine Erklärung mit einfachen worten.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 15:20    Titel: Antworten mit Zitat

Also zunächst mal



Dann:



entspricht exakt der Darstellung eines Vektors r in der 2-dim. Ebene



mittels zweier Basisvektoren e_1 und e_2.

D.h. letztlich steht da


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Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Sep 2022 15:28, insgesamt 3-mal bearbeitet
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 15:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das ist klar

Edit: Ich war zu schnell beim antworten, ich gehe mir deine Erklärung durch
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

hab den Beitrag ergänzt
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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 15:35    Titel: Antworten mit Zitat

Darf ich fragen, wie du auf c2=2/... kommst?
Kann ich dann sagen, dass cn einfach der Normierungsfaktor ist?

Und danke dir vielmals für deine Zeit und Erklärung!
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 15:43    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn du das nicht siehst, weiß ich auch nicht mehr weiter.



Die c_n sind die Koordinaten bzw. Komponenten des Vektors psi bzgl. der Basisvektoren phi_n.

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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 15:57    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, woher das c2 kommt, sehe ich jetzt.
Mit den mathematischen Begrifflichkeiten bin ich noch nicht vertraut (lineare Algebra kommt noch), aber im großen und ganzen erkenne ich durch deine Erklärungen was was ist.
Falls irgendwelche Fragen im Nachhinein auftauchen, melde ich mich hier wieder. Vielen vielen Dank!
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Mit den mathematischen Begrifflichkeiten bin ich noch nicht vertraut (lineare Algebra kommt noch) …

Ihr könnt doch nicht QM vor LA machen! Was ist das für ein Laden, an den du da geraten bist?

Besorg dir mal von Susskind Quantenmechanik: Das Theoretische Minimum, arbeite damit und spar dir den anderen Murks.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Sep 2022 16:39, insgesamt einmal bearbeitet
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Sep 2022 16:16    Titel: Antworten mit Zitat

Wir studieren nicht physik, deswegen ist das für uns eine große Herausforderung. Aber mit Fleiß und viel Übung geht das schon.
Aber danke für die Literatur, ich werde mir das Buch besorgen. Kennst du vielleicht weitere Lehrbücher außer Quanten Atkins, wo die Themen leicht und verständlich erklärt werden?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 10. Sep 2022 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Wir studieren nicht physik, deswegen ist das für uns eine große Herausforderung.

Was dann?

Und nein, die Herausforderung hat wohl auch mit der Vermittlung zu tun. Ich meine, eine Werbung für die Physik ist das nicht gerade.

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