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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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 Aruna Verfasst am: 18. Mai 2022 16:44 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Mein Hauptkritikpunkt ist nicht das Gleichheitszeichen, sondern bereits die Grundidee, die Einführung entlang der Algebra und der Index-Notation durchzuführen; genauso verfehlt ist oft die Grundidee des Zugangs über Wellenfunktionen.
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Die Einführung von was?
Der Dirac-Notation oder der QT?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Der Punkt ist nämlich, dass dies entweder tiefes Vorwissen über diese Techniken voraussetzt, oder dass dieses Wissen mühsam erarbeitet werden muss. Der Fokus liegt - wenn auch oft nur implizit - auf dem Rechnen. Dies alles trägt jedoch wenig zum grundlegenden Verständnis der Quantenmechanik bei.
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Dann braucht man aber auch keine Kets
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Um eine Superpositon zu erklären, ist ein rein geometrischer Zugang ohne Zeilen- und Spaltenvektoren völlig ausreichend. Das gilt auch für Projektionen
und unitäre Transformationen.
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Wie geht das mit der Dichtematrix?
Und der Verschränkung?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Der technische Zugang zur Quantenmechanik ist vergleichbar der Idee, Autofahren durch Konstruktion bzw. Bau eines Autos, die Computerbenutzung durch Löten und Programmieren und Musik Hören durch Komponieren zu erlernen. Er verstellt den Blick aufs Wesentliche. |
Diese Vergleiche hinken IMO.
Autorfahren ist der erfolgreiche Umgang mit einem Auto, nicht das "Verstehen" eines Autos.
Kann jemand QT anwenden auf praktische Probleme, wenn er nur eine symbolische Vorstellung davon hat?
Und was ist denn das Wesentliche? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 18. Mai 2022 17:15 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Mein Hauptkritikpunkt ist nicht das Gleichheitszeichen, sondern bereits die Grundidee, die Einführung entlang der Algebra und der Index-Notation durchzuführen; genauso verfehlt ist oft die Grundidee des Zugangs über Wellenfunktionen. |
Die Einführung von was?
Der Dirac-Notation oder der QT? |
Die Einführung in die Quantenmechanik, ihrer Konzepte und Bedeutungen. Die Dirac-Notation ist dabei nur ein Formalismus, den man sehr gut graphisch repräsentieren kann.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Der Punkt ist nämlich, dass dies entweder tiefes Vorwissen über diese Techniken voraussetzt, oder dass dieses Wissen mühsam erarbeitet werden muss. Der Fokus liegt - wenn auch oft nur implizit - auf dem Rechnen. Dies alles trägt jedoch wenig zum grundlegenden Verständnis der Quantenmechanik bei.
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Dann braucht man aber auch keine Kets |
Man benötigt eine präzise, formale Sprache, möglichst ohne Ballast und frei von Mehrdeutigkeiten, d.h. nicht ausschließlich Umgangssprache. Nicht zwingend die Dirac-Notation, aber ganz ohne Formalismus geht es nicht.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Um eine Superpositon zu erklären, ist ein rein geometrischer Zugang ohne Zeilen- und Spaltenvektoren völlig ausreichend. Das gilt auch für Projektionen und unitäre Transformationen.
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Wie geht das mit der Dichtematrix?
Und der Verschränkung? |
Bei der Dichtematrix liegt ein Bündel von Vektoren vor, die die Projektoren repräsentieren. Bei der Verschränkung muss ich noch über ein geeignetes Bild nachdenken. Da das Problem mindestens vierdimensional ist, denke ich, man benötigt zwei Vektoren in zwei Kreisen.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Der technische Zugang zur Quantenmechanik ist vergleichbar der Idee, Autofahren durch Konstruktion bzw. Bau eines Autos, die Computerbenutzung durch Löten und Programmieren und Musik Hören durch Komponieren zu erlernen. Er verstellt den Blick aufs Wesentliche. |
Diese Vergleiche hinken IMO. |
MMn nicht.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Kann jemand QT anwenden auf praktische Probleme, wenn er nur eine symbolische Vorstellung davon hat? |
Nein.
Aber er weiß, was ein Zustand / eine Projektion / eine Superposition mathematisch ist und was die physikalisch bedeutet.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Und was ist denn das Wesentliche? |
Zu verstehen, was an der Quantenmechanik so fremdartig ist, warum ein klassischer Zugang scheitert, was ein Zustand ist, was quantenmechanische Eigenschaften bedeuten …
Schau dir mal die symbolische / geometrische Notation von Penrose an - leider nicht im Falle der QM - oder viele Artikel zur Interpretation und Philosophie der Quantenmechanik.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 18. Mai 2022 21:41 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Man benötigt eine präzise, formale Sprache, möglichst ohne Ballast und frei von Mehrdeutigkeiten, d.h. nicht ausschließlich Umgangssprache. Nicht zwingend die Dirac-Notation, aber ganz ohne Formalismus geht es nicht.
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Sollte man dann nicht Bedeutung der Wörter oder Symbole dieser Sprache erklären bevor man sie verwendet?
Für welche Zielgruppe hast Du z.B. die neuen FAQ zu dem Dirac-Formalismus geschrieben?
Für Leute, die in dieser Sprache verfasste Texte schon lesen können und die Bedeutung aller Symbole kennen?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Bei der Dichtematrix liegt ein Bündel von Vektoren vor, die die Projektoren repräsentieren.
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Da stell ich mir ein Bündel von Pfeilen vor, so wie die Blitze in der Hand von Zeuss. Was das über ein Vielteilchensystem aussagt, ist mir aber nicht ganz klar.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Bei der Verschränkung muss ich noch über ein geeignetes Bild nachdenken. Da das Problem mindestens vierdimensional ist, denke ich, man benötigt zwei Vektoren in zwei Kreisen.
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hört sich kompliziert an.
Wäre es falsch oder irreführend, z.B. eine bestimmte Verschränkung von zwei Quantenmünzen mit den möglichen Messergebnissen Kopf und Zahl als
zu schreiben?
Oder die Verschränkung zwischen Schrödingers Atom (zerfallen oder intakt) und Schrödingers Katzenzustand (tot oder lebendig) als
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Und was ist denn das Wesentliche? |
Zu verstehen, was an der Quantenmechanik so fremdartig ist, warum ein klassischer Zugang scheitert, was ein Zustand ist, was quantenmechanische Eigenschaften bedeuten …
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Inwiefern ist da der Zugang über die (Orts-)Wellenfunktion schlecht?
Ein klassisches Teilchen ist klar lokalisiert.
Eine Wellenfunktion räumlich verteilt, kann durch zwei Spalte gleichzeitig erstrecken und mit sich selbst interferieren.
Finde ich nicht mal fremdartig, nur anders.
Das Merkwürdige ist:
Bei einer Messung finden wir aber nur ein komplettes Teilchen klar lokalisiert.
Und es gibt keine Möglichkeit vorherzusagen, wo wir das finden, man kann nur für viele Messungen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit angeben, die sich aus dem Betragsquadrat der Wellenfunktion ergibt.
Das gleiche kann man dann auch mit diskreten Zustandsverteilungen machen, oder Katzen, die sich in einer Superposition von einer toten und einer lebenden Katze befinden, so lange sie isoliert sind.
Oder meinst Du was anderes?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Schau dir mal die symbolische / geometrische Notation von Penrose an - leider nicht im Falle der QM - oder viele Artikel zur Interpretation und Philosophie der Quantenmechanik. |
Da kenne ich mich nicht so aus, aber ich finde, man sollte die Leute da abholen, wo sie stehen und die Mittel verwenden, die gerade passen.
Mag sein, dass die Tupel-Darstellung eines Vektors im Falle des schrägen Wurfs nicht so weit führt, für die grundlegende Darstellung der Verhältnisse finde ich es nicht schlecht, dann kann man ja in den Komponenten einzeln weiter rechnen.
Und wenngleich vielleicht eher selten ein Polynom als Koeffizienten-Tupel dargestellt wird, kann man mit einem Stellenwertsystem lineare Gleichungsysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen, indem man die Koeffizentenmatrix umformt. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 18. Mai 2022 22:37 Titel: |
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| Zitat: |
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wie multiplizierst du denn 2 Spaltenvektoren (Kets) miteinander?
Was ist der Operator?
Kreuzprodukt?
oder sind gar nicht alle Spaltenvektoren?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 18. Mai 2022 23:28 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
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wie multiplizierst du denn 2 Spaltenvektoren (Kets) miteinander?
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indem ich sie hintereinander schreibe...
Ich hätte wohl besser schreiben sollen:
Mit M1 = Münze1 und M2=Münze2
damit klar wird, dass sich das um Vektoren in verschiedenen Räumen handelt, die unterschiedliche Objekte beschreiben.
Die Summe über die Produkte beschreibt dann das zusammengesetzte System, z.B. aus Münze1
und Münze 2 und sollte symbolisieren, dass die (bei einer Messung) in diesen Kombinationen auftreten können, aber aus bestimmten Gründen (z.B. die Art der Wechselwirkung, die zur Verschränkung geführt hat), nicht in anderen Kombinationen.
Also nicht Atom_zerfallen und die Katze lebt oder Atom_intakt und Katze tot.
Oder der verschränkte Münzenzustand kann nicht zu einer Messung führen, in der beide Münzen Kopf oder beide Münzen Zahl zeigen.
(Das führt dann zu der "spukhaften Fernwirkung", denn da der Zustand nicht lokal ist, kann man die verschränkten Münzen räumlich trennen und wenn an einer Münze "Kopf" gemessen wird, ist dadurch an der anderen Münze "Zahl" schon als Messergebnis festgelegt.)
und dann eventuell noch normieren(?)
 )
\ \ )
Für den mathematischen Hintergrund guckst Du z.B. hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenverschr%C3%A4nkung#Mathematische_Betrachtung |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 19. Mai 2022 00:21 Titel: Re: Wellenfunktion: Schreibweise |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Sollte man dann nicht Bedeutung der Wörter oder Symbole dieser Sprache erklären bevor man sie verwendet? |
Ja, natürlich. Das gilt aber für Spaltenvektoren und deren Bedeutung in der Quantenmechanik auch. Der Punkt bei den Kets ist, dass sie praktisch ausschließlich physikalische Bedeutung tragen, ohne Ballast von Spaltenvektoren, Matrizen und Dyaden ...
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Für welche Zielgruppe hast Du z.B. die neuen FAQ zu dem Dirac-Formalismus geschrieben? |
Für Leute mit Kenntnissen der linearen Algebra, die die Dirac-Schreibweise verstehen wollen.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Bei der Dichtematrix liegt ein Bündel von Vektoren vor, die die Projektoren repräsentieren. |
Da stell ich mir ein Bündel von Pfeilen vor, so wie die Blitze in der Hand von Zeuss. Was das über ein Vielteilchensystem aussagt, ist mir aber nicht ganz klar. |
Ich habe das ja auch nicht erklärt, ich wollte lediglich anmerken, dass ich das für sinnvoller halte, als Zahlen in Matrizen einzutragen, und zu hoffen, man würde dadurch Quantenmechanik verstehen ;-)
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Wäre es falsch oder irreführend, z.B. eine bestimmte Verschränkung von zwei Quantenmünzen mit den möglichen Messergebnissen Kopf und Zahl als
zu schreiben? |
Nein, gar nicht. Man muss das nicht unbedingt graphisch darstellen, eine symbolische Notation ist natürlich absolut sinnvoll. Essentiell ist aber, dass vorher klar wird, was eine Quantenmünze von einer klassischen Münze unterscheidet, nämlich die Möglichkeit der Superposition.
Klassische Zustände werden durch genau eine von zwei diskreten Eigenschaften d.h. entweder K oder Z beschrieben, Quantenzustände dagegen mittels einer Mannigfaltigkeit
im Hilbertraum.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Inwiefern ist da der Zugang über die (Orts-)Wellenfunktion schlecht? |
Er ist nicht per se schlecht. Aber wenn jemand mit Funktionen und Ableitungen nicht umgehen kann, ist er völlig sinnlos. Und zur Erklärung von Superpositionen ist er auch nicht notwendig.
Außerdem suggeriert die Wellenfunktion ein Verständnis, wo gar keines ist. Es ist eben etwas völlig anderes, ob man die Interferenz einer klassischen elektromagnetischen Welle betrachtet oder die eines an zwei Orten lokalisierten Quantenobjektes mit sich selbst.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Ein klassisches Teilchen ist klar lokalisiert.
Eine Wellenfunktion räumlich verteilt, kann durch zwei Spalte gleichzeitig erstrecken und mit sich selbst interferieren.
Finde ich nicht mal fremdartig, nur anders.
Das Merkwürdige ist:
Bei einer Messung finden wir aber nur ein komplettes Teilchen klar lokalisiert.
Und es gibt keine Möglichkeit vorherzusagen, wo wir das finden, man kann nur für viele Messungen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit angeben, die sich aus dem Betragsquadrat der Wellenfunktion ergibt.
Das gleiche kann man dann auch mit diskreten Zustandsverteilungen machen, oder Katzen, die sich in einer Superposition von einer toten und einer lebenden Katze befinden, so lange sie isoliert sind. |
Genau.
Aber zu der Erkenntnis benötigst du keine Wellenfunktion, die Notation
fasst alles wesentliche zusammen.
Wir wissen, dass wir die Dynamik eines Quantensystems vor der Beobachtung so beschreiben müssen, da andernfalls die Beobachtungen nicht reproduziert werden. Wir wissen aber auch, dass der Zustand zur Beschreibung der Dynamik gerade nicht die Beobachtung selbst beschreibt. Das ist das Fremdartige an der Quantenmechanik, und dazu benötigt man nicht zwingend eine Beschreibung mittels Wellenfunktionen, noch weniger mittels Spaltenvektoren.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | ... ich finde, man sollte die Leute da abholen, wo sie stehen und die Mittel verwenden, die gerade passen. |
Grundsätzlich richtig, jedoch nicht im vorliegenden Fall, wenn eine grundsätzliche Weigerung existiert, zu verstehen oder zu akzeptieren, was gesagt wird.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
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wie multiplizierst du denn 2 Spaltenvektoren (Kets) miteinander?
Was ist der Operator?
Kreuzprodukt?
oder sind gar nicht alle Spaltenvektoren? |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 19. Mai 2022 10:42 Titel: |
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@Aruna:
danke, aber dein Link sagt ja:
| Zitat: | | setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus. |
Das liegt ja nicht vor.
ich meinte aber oben: welche Operatoren genau für Multiplikationen, und wie wird dann nach welchen Regeln der LA multipliziert?
Du hast ja keine Operatoren dazugeschrieben, die das definieren, z.B. für Punkt-, Kreuz-, Tensor- oder dyadische Multiplikation (und es mag ja sogar noch viele andere zusätzlich zu geben...)!
Offenbar werden ja für
<a| |b>
<a|b>
|a> |b>
|a> <b|
völlig verschiedene und unklare Operatoren mit unterschiedlichen LA-Matrizen- und Vektor-Rechenregeln verwendet, weil sie ständig einfach weggelassen werden!
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 19. Mai 2022 12:14 Titel: |
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Skalarprodukt:
Hilbertraum-Tensorprodukt:
Dyadisches Produkt:
Die Operatoren sind nicht unklar, sondern in der Dirac-Notation unnötig, da die Bedeutung bereits aus der Anordnung der Bras und Kets klar wird.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Mai 2022 12:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
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| terminus Verfasst am: 19. Mai 2022 12:16 Titel: |
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für mich wird da gar nichts klar, ich muss es eindeutig für n-Tupel-Operationen verstehen und umformen können. Daher brauche ich (zunächst) eindeutige dezidierte Operatoren. Hatte ich bereits erwähnt.
(Außerdem wäre dann noch zusätzlich die Operator-Präzedenz zu klären und zu definieren.)
Wenn du das nicht akzeptieren willst, dann antworte mir bitte auch nicht mehr.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 19. Mai 2022 12:34 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | für mich wird da gar nichts klar, ich muss es eindeutig für n-Tupel-Operationen verstehen und umformen können. |
Wenn du das auf n-Tupel anwenden möchtest, kannst du das gerne tun. Die mathematische Definition und die Bedeutung erfordern jedoch keine n-Tupel.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Außerdem wäre dann noch zusätzlich die Operator-Präzedenz zu klären und zu definieren. |
Diese sind ebenfalls klar, das ergibt sich aus der Definition.
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terminus
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| terminus Verfasst am: 19. Mai 2022 12:47 Titel: |
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wie gesagt,
| Zitat: | für mich wird da gar nichts klar, ich muss es eindeutig für n-Tupel-Operationen verstehen und umformen können. Daher brauche ich (zunächst) eindeutige dezidierte Operatoren. Hatte ich bereits erwähnt.
Außerdem wäre dann noch zusätzlich die Operator-Präzedenz zu klären und zu definieren. |
Solange da also (in längeren Termen) auch keine Klammern stehen, ist mir absolut nichts klar.
Und, wie gesagt,
| Zitat: | | Wenn du das nicht akzeptieren willst, dann antworte mir bitte auch nicht mehr. |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Mai 2022 14:40 Titel: |
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Mir geht es lediglich darum, dass die von dir angesprochenen Punkte deine Verständnisprobleme und Defizite sind, nicht die Mängel einer Notation.
Wenn du das nicht akzeptieren kannst, dann kannst du aufhören Fragen zu stellen ;-)
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 19. Mai 2022 22:17 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | @Aruna:
danke, aber dein Link sagt ja:
| Zitat: | | setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus. |
Das liegt ja nicht vor.
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und daher hast Du an der Stelle aufgehört zu lesen?
Du solltest Doch inzwischen Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation haben?
IMO:
sei  ein komplexer Vektor 
Dann schreibt man den in der Dirac-Notation als Ket:
Den hermitesch transponierten (transponierten* + konjungierten**) Vektor schreibt man als Bra:
Das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren  schreibt man dann als Bra-Ket:
Das Dyadische Produkt zweier komplexer Vektoren schreibt man dann als Ket-Bra:
das wurde hier im Thread bzw. in verlinkten Artikeln und dem Video schon erwähnt und auch in n-Tupeln bzw. Komponentenmatrizen ausgeschrieben.
was jetzt noch dazu kam, war das Hilbertraum-Tensorprodukt
wobei  und  zwei Vektoren in zwei verschiedenen Hilberträumen  und  sind, die unterschiedliche Systeme beschreiben (in meinem Beispiel z.B. zwei unterschiedliche Münzen)
ist der Zustand des zusammengesetzten Systems im Produktraum 
in meinem Beispiel mit den Münzen sind
 und  Basisvektoren für die Zustände der Münze i
Produkte wie  lassen
sich IMO nicht ausmultiplizieren, sondern stehen für einen zusammengesetzten Zustand aus zwei Münzen, von denen die eine im Zustand "Kopf" ist und die andere im Zustand "Zahl".
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
ich meinte aber oben: welche Operatoren genau für Multiplikationen, und wie wird dann nach welchen Regeln der LA multipliziert?
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Mir ist nicht klar, was Du hier mit "Operatoren" meinst, aber die Regeln der Multiplikationen wurden hier angegeben oder verlinkt.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Du hast ja keine Operatoren dazugeschrieben, die das definieren, z.B. für Punkt-, Kreuz-, Tensor- oder dyadische Multiplikation (und es mag ja sogar noch viele andere zusätzlich zu geben...)!
Offenbar werden ja für
<a| |b>
<a|b>
|a> |b>
|a> <b|
völlig verschiedene und unklare Operatoren mit unterschiedlichen LA-Matrizen- und Vektor-Rechenregeln verwendet, weil sie ständig einfach weggelassen werden! |
Willst Du damit sagen, dass Du immer noch nicht weißt, wie ein Skalarprodukt bzw. ein Dyadisches Produkt zweier komplexer Vektoren gebildet wird?
---------------------------------------------------------------------
*) "transponiert" bedeutet in Bezug auf eine Matrix, dass die Rollen von Zeilen uns Spalten vertauscht sind.
Aus einer (n x 1)-Matrix (n Zeilen und 1 Spalte), einem "Spaltenvektor" entsteht dadurch eine (1 x n)-Matrix (1 Zeile und n Spalten), ein "Zeilenvektor)
**) "konjungiert" bedeutet in Bezug auf eine Matrix, dass alle Elemente durch ihr komplex Konjungiertes ersetzt werden.
Das komplex Konjungierte einer komplexe Zahl  ist  .
Eine alternative Schreibweise (z.B. in dem verlinkten Video) für  ist  , also ein Stern statt einem Überstrich.
Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl erhält man, wenn man sie mit ihrem
komplex Konjungierten multipliziert:
(x-iy) = x^2 + y^2 = \vert{z}\vert^2 )
Zuletzt bearbeitet von Aruna am 25. Mai 2022 14:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 20. Mai 2022 06:12 Titel: |
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Damit ein neuer Antwortversuch auf die Eingangsfrage:
| terminus hat Folgendes geschrieben: | hallo,
ich habe gerade diese Schreibweise für die Wellenfunktion gesehen:
|ψ>
Wieso schreibt man die in einen Ket?
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Die QT beschreibt einen quantenmechanischen Zustand als Vektor in einem Zustandsraum. Diesen Zustand nennt man auch "Wellenfunktion". (IMO historisch begründet, weil die Schrödingergleichung ursprünglich eine modifizierte Wellengleichung für "Materiewellen" war und die Lösungen einer Wellengleichung Wellenfunktionen sind)
Ein Ket ist in der Dirac-Notation eine Schreibweise für einen Vektor.
Oder wie Frau Hossenfelder es ausdrückte: In der Quantemechanik schreibt man Vektoren statt mit einem Pfeil drüber in lustige Klammern.
Als Grund gibt sie - neben Konvention - an, dass man so gleich sieht, ob man für Rechnungen einen Spaltenvektor oder den transponierten, konjungierten Vektor vor sich hat.
https://www.youtube.com/watch?v=ctXDXABJRtg
Dabei ist ein "Spaltenvektor" nur eine Darstellung eines Vektors in Komponenten zu einer bestimmten Basis.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Ich dachte, ein Ket wäre ein n-dim Spaltenvektor (p1,...pn), was hat das mit ψ zu tun,
|
Ein Ket, das für einen Vektor in einem n-dimensionalen Zustandsraum steht,
kann man als n-dim Spaltenvektor (p1,...pn) darstellen, wobei die 
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
so wie sie als Hψ in der Schrödingergleichung vorkommt? |
In der Dirac-Notation kann man die Schrödingergleichung schreiben als:
d.h. die zeitliche Änderung des durch den Vektor  beschriebenen Zustands erhält man, wenn man den Operator  von links an den Vektor multipliziert.
siehe auch:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
M.E. benötigt man zum Grundverständnis der Mathematik der Quantenmechanik zwei Gleichungen, in denen man die Symbole zumeist graphisch erklärt:
[...]
Die erste Gleichung besagt, dass ich ich dem System Eigenschaften zuschreiben kann, und dass sich das System in einem Zustand befinden kann, der einer Superposition dieser Eigenschaften entspricht. Die zweite Gleichung besagt, dass die Zeitentwicklung des Systems einer Art Drehung eines Vektors entspricht (nur so als Startpunkt).
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 21. Mai 2022 12:21 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Die QT beschreibt einen quantenmechanischen Zustand als Vektor in einem Zustandsraum. Diesen Zustand nennt man auch "Wellenfunktion". (IMO historisch begründet, weil die Schrödingergleichung ursprünglich eine modifizierte Wellengleichung für "Materiewellen" war und die Lösungen einer Wellengleichung Wellenfunktionen sind) |
Hier eine IMO schöne Darstellung:
https://www.youtube.com/watch?v=2WPA1L9uJqo
Man hatte festgestellt, dass sich Materieteilchen wie Wellen verhalten und suchte nach einer Wellengleichung, die dieses Verhalten beschreibt.
Aufgrund der Vorgaben kam dann eine raus, die - im Gegensatz zur Wellengleichung für klassische Wellen - nur eine einfache Ableitung in der Zeit enthält und die imaginäre Einheit i.
Die Lösungen dieser Gleichung, die Wellenfunktionen, sind entsprechend nicht rein reell, sondern komplex.
Daher war die Frage, was die beschreiben, da man ja eher keine imaginären Größen messen kann.
Erst das Betragsquadrat der Wellenfunktion wird reell und entspricht der messbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung der verschiedenen messbaren Zustände.
Im Anschluss werden dann noch die Lösungen der Schrödingergleichung in einem eindimensionalen Potentialtopf berechnet und hingemalt, das war für Dich (@terminus) im anderen Thread ja IMO auch noch unklar. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Mai 2022 19:30 Titel: |
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@Aruna
grundsätzlich weiß ich schon, was Skalar, dyadisch und Tensor für Multiplikationen sind.
Vorab:
als "Skalarprodukt" würde ich nur die Multiplikation mit einem Skalar bezeichnen, also für
x ∈ K,
a ∈ K^n,
K(+,⋅) ist ein Körper (über R oder C), x ist ein Skalar, a ist ein Vektor.
x ⋅ a := Skalarprodukt = Produkt aller Komponenten von a mit x
x ⋅ a1
x ⋅ a2
x ⋅ a3
...
x ⋅ an
(hier werden also dieselben Multiplikationen verwendet wie zwischen den Elementen von K)
Eine Multiplikation eines Zeilenv. mit einem Spaltenv. würde ich als Vektor-Punktprodukt bezeichnen.
Ein Problem ist aber für mich so etwas:
Ψ = <a| <b| |c> |d> <e| |f> <g| ξ |h>
wie wird hier geklammert oder von wo nach wo paarweise ausgerechnet?
Ist Assoziativität, Kommutativität und Distributivität gegeben?
Wann ja, wann nein?
Und welche Operatoren für Kreuz, Punkt, dydadisch, Tensor, Skalar kommen jetzt wo dazwischen?
(hier fehlen mir wieder die bb3-Zeichenformatierungen und die Fonts für manche Operatoren)
_________________
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 24. Mai 2022 05:27 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | @Aruna
grundsätzlich weiß ich schon, was Skalar, dyadisch und Tensor für Multiplikationen sind.
|
schön
Weißt Du dann auch, wie es diesbezüglich mit der Assositivität, Distributivität und der Vertauschbarkeit aussieht?
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
als "Skalarprodukt" würde ich nur die Multiplikation mit einem Skalar bezeichnen,
[...]
Eine Multiplikation eines Zeilenv. mit einem Spaltenv. würde ich als Vektor-Punktprodukt bezeichnen.[/i]
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Das steht Dir offen, musst dann aber halt damit rechnen, dass das zu Missverständnissen führt, weil üblicherweise mit Skalarprodukt das skalare Ergebnis (Produkt) der Multiplikation zweier Vektoren bezeichnet.
Siehe auch hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_(Axiomatik)
Das was Du hier anführst, wird z.B. von Wikipedia als "skalare Multiplikation" bezeichnet.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Ein Problem ist aber für mich so etwas:
Ψ = <a| <b| |c> |d> <e| |f> <g| ξ |h>
wie wird hier geklammert oder von wo nach wo paarweise ausgerechnet?
Ist Assoziativität, Kommutativität und Distributivität gegeben?
Wann ja, wann nein? |
Man möge mich im Irrtumsfall korrigieren: IMO ist Assoziativtät und Distributivität gegeben, aber im Allgemeinen keine Kommutativität.
Skalare kannst Du mit Vektoren vertauschen. Dein Ψ wäre damit kein Vektor, sondern ein Skalar
Ψ= <a| <b| |c> |d> <e| |f> <g| ξ |h> = ξ<b|c><a|d><e|f><g|h>
Siehe z.B. hier:
https://homepages.uni-regensburg.de/~sem04141/edmath7.pdf
In 7.3 werden die verschiedenen Objekte im Hilbertraum eingeführt.
Dabei werden Bras als "Linearform" bezeichnet, weil sie, wenn die von links auf ein Ket wirken (Bra-Ket: Skalarprodukt), diesen linear auf eine komplexe Zahl abbilden.
In 7.4. findest Du eine Tabelle möglicher Verknüpfungen dieser Objekte und deren Ergebnis.
In (257) und (263) findest Du Assoziativgesetze
hier noch ein einfacherer Zugang:
https://de.universaldenker.org/lektionen/1126
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
(hier fehlen mir wieder die bb3-Zeichenformatierungen und die Fonts für manche Operatoren)
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ich kann nicht nachvollziehen, was an "Ψ ;" einfacher ist, als an "\Psi" |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 06:40 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Ein Problem ist aber für mich so etwas:
Ψ = <a| <b| |c> |d> <e| |f> <g| ξ |h> |
Falls ein ähnlicher Ausdruck entstehen sollte, wird aus dem Kontext und einer damit verbundenen impliziten Klammersetzung immer klar, was der Ausdruck bedeutet und wie er zu berechnen ist. Wenn man die Notation verstanden hat und korrekt anwendet, dann entstehen erst gar keine sinnlosen oder mehrdeutigen Ausdrücke.
 \, \big(\eta_{pq}|p\rangle|q\rangle\langle p|\langle q|\big) \, \big(\xi_{cd}|c\rangle|d\rangle\big) = \ldots)
hat dann - auch ohne Klammern - eine eindeutige Bedeutung und ein eindeutiges Ergebnis.
M.a.W., nur wenn man die Notation und die Bedeutung der Terme nicht verstanden hat, dann entstehen Scheinprobleme wie scheinbar mehrdeutige Ausdrücke, Fragen nach der Assoziativität, Kommutativität …
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 08:32 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | ich kann nicht nachvollziehen, was an "Ψ ;" einfacher ist, als an "\Psi" |
nein eben nicht, wenn ich Fonts und ihre einzelnen Zeichen direkt visuell auswählen könnte, könnte ich direkt das Zeichen für Psi oder Operator ("x im Kreis" oder "Punkt im Kreis" oder "+ im Kreis") aus einer eingeblendeten Font-Zeichen-Liste auswählen, z.B. wie bei "Symbol" oder "Wingdings" und einer Liste wie
ΑαBßΓγΔδEεZζHηΘθIιKκΛλMµNνΞξΠπPϱΣσTτΦφXχΨψΩω∫√∂ħ⋅⟨⟩≤≥∞∈∀∃∪∩∧∨
und per Tags
[sup] [/sup]
[sub] [/sub]
könnte man Zeichen hoch- oder tiefstellen (z.B. n als Exponent oder als Index).
Es wäre allerdings auch schon sehr hilfreich, wenn man SOFORT eine Live-Voransicht für alles bekäme, sogar auch wenn man irgendwo z.B. mit
[ latex] [ /latex]
"blanko" startet und dann beginnt, irgendetwas zwischen die beiden Format-Tags dazwischenzuschreiben.
ich sehe aber ein, dass mein Verständnis für Hilberträume und Kets und Bras und hintereinandergestellte und ständig weggelassene Operatoren und das, was bei einer Verknüpfung von welchen Elementen in welcher Kombination und Reihenfolge zu was für einem Ergebniselement führen, mein Verständnis und meine Vorstellungskraft und mein Erinnerungsvermögen übersteigen und ich muss hier tatsächlich wieder aufgeben.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 09:22 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | … ich sehe aber ein, dass mein Verständnis für Hilberträume und Kets und Bras und hintereinandergestellte und ständig weggelassene Operatoren und das, was bei einer Verknüpfung von welchen Elementen in welcher Kombination und Reihenfolge zu was für einem Ergebniselement führen, mein Verständnis und meine Vorstellungskraft und mein Erinnerungsvermögen übersteigen und ich muss hier tatsächlich wieder aufgeben. |
Wie schon mehrfach gesagt, die gehst das Problem schlicht von der falschen Seite an.
Kein Internist holt sich die Diagnose und Therapie der Lungenentzündung von der Biochemie, und kein Orthopäde bemüht die Newtonschen Gesetze. Millionen von Menschen können Autofahren und verstehen, was „ein Auto ist“, ohne Ahnung von Ventilspiel und Differentialgetriebe zu haben; amerikanisch Abbiegen lernt man zumeist einfacher ohne Verwendung von Winkelfunktionen. Ich bin beruflich seit zwei Jahrzehnten im Umfeld SW-Entwicklung und -Architektur unterwegs und habe keine Ahnung von Assembler.
Wenn du auf der Suche nach Regeln bist, weil du einen Ausdruck berechnen möchtest, jedoch nicht weißt, wie, dann hast du die Bedeutung des Ausdrucks nicht verstanden. Hättest du sie verstanden, würde die Dirac-Notation dir unmittelbar und zweifelsfrei sagen, wie er zu berechnen ist. Umgekehrt erklären dir die Rechenregeln für einen Ausdruck nicht seine Bedeutung.
Man erkennt diese Problematik anhand von Schulaufgaben und Klausuren, in denen oft die falschen Rechnungen richtig gelöst werden.
Du fragst kein einziges Mal nach der Bedeutung eines Ausdrucks; dann wirst du die Bedeutung auch nie verstehen. Aber bitte, mehr als dir zu erklären, dass deine Methode nicht zum Verständnis von Physik führt, und für eine Alternative zu werben, können wir nicht tun.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 24. Mai 2022 10:42 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
ich sehe aber ein, dass mein Verständnis für Hilberträume und Kets und Bras und hintereinandergestellte und ständig weggelassene Operatoren und das, was bei einer Verknüpfung von welchen Elementen in welcher Kombination und Reihenfolge zu was für einem Ergebniselement führen, mein Verständnis und meine Vorstellungskraft und mein Erinnerungsvermögen übersteigen und ich muss hier tatsächlich wieder aufgeben. |
Dabei ist IMO die Dirac-Notation gerade für Leute mit überschaubaren Kenntnissen in LA und Funktionalanalysis nützlich.
Man muss sich halt drauf einlassen.
Und wenn man noch erklärt bekommt, was das bedeutet... |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 10:45 Titel: |
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solange ich nicht verstehe, wie 6/2 oder 2³ über die Operatoren gerechnet wird, brauche ich gar nicht anfangen, mich mit der "Bedeutung" von 6/2 oder 2³ zu beschäftigen.
was z.B. auch das hier soll und warum man da z.B. gleich 2x mit e^_i rechnen muss (und einmal x_i und einmal r^) statt nur 1x e^_i, entzieht sich meinem Verständnis:
 \, \vec{e}_i)
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 24. Mai 2022 11:22 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | solange ich nicht verstehe, wie 6/2 oder 2³ über die Operatoren gerechnet wird, brauche ich gar nicht anfangen, mich mit der "Bedeutung" von 6/2 oder 2³ zu beschäftigen.
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Man kann IMO durchaus grafisch mit Vektoren umgehen, ohne LA und z.B. auch den Unterschied zwischen Arbeit (Skalarprodukt zwischen Kraft und Länge) und Drehmoment (Vektorprodukt zwischen Kraft und Länge) verstehen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
was z.B. auch das hier soll und warum man da z.B. gleich 2x mit e^_i rechnen muss statt nur 1x entzieht sich meinem Verständnis:
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Das sieht für mich so aus, als würde hier ein Vektor  als Summe der Basisvektoren  mal die entsprechenden Komponenten  geschrieben und dann die Komponenten durch das Skalarprodukt zwischen den Basisvektoren und dem darzustellenden Vektor ersetzt.
Eventuell um zu motivieren, dass das Skalarprodukt  eben
die i-te Komponente  von in der Basisdarstellung ergibt.
Beispiel: Wenn Du einen 2d-Vektor hast in einer Basis 
dann kannst Du den schreiben als 
in der Darstellung als 2-Tupel:
damit
 \vec{e_x}+ (\vec{e_y}\cdot\vec{r}) \vec{e_y}) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 11:41 Titel: |
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Machen wir mal ein konkretes Beispiel aus der Physik.
Aufgabe: Berechnen Sie die Übergswahrscheinlichkeiten eines verschränkten zwei-Boson-Systems … unter dem Einfluss einer zeitunabhängigen Störung des Hamiltonoperators … in der Impulsdarstellung …
Hinweis: verwenden Sie die bekannten Ergebnisse aus der Vorlesung für …
 \, \big(\eta_{pq}|p\rangle|q\rangle\langle p|\langle q|\big) \, \big(\xi_{cd}|c\rangle|d\rangle\big) = \ldots \, ? )
Wo würdest du jetzt anfangen, dich um ein Verständnis zu bemühen?
Bei der Bedeutung von Übergswahrscheinlichkeiten, verschränkten Systemen, Störung des Hamiltonoperators … oder bei der Berechnung von
Du fängst hinten an, und das bringt nichts. Zu berechnest bestenfalls etwas, ohne zu verstehen, was du berechnest und was es bedeutet. Wie gesagt - das bringt für das Verständnis der Physik rein gar nichts.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 12:44 Titel: |
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keine Ahnung was "eines verschränkten zwei-Boson-Systems … unter dem Einfluss einer zeitunabhängigen Störung des Hamiltonoperators … in der Impulsdarstellung" überhaupt bedeutet, noch nicht einmal irgend ein einziger einzelner der Begriffe.
Und statt
könntest du hier genauso gut die Geschichte der Dynastien des Mittleren Reiches in Hieroglyphen hinschreiben... :D
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 24. Mai 2022 12:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 12:46 Titel: |
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Und was interessiert dich jetzt?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 12:48 Titel: |
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rechnen und verstehen lernen von und mit irgendwas über Quanten mithilfe der n-Tupelschreibweise von Vektoren und Matrizen.
Also quasi eine Einführung in die Quantenmechanik ohne Bras und ohne Kets, stattdessen mit richtiger LA ohne weggelassene Operatoren.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 12:54 Titel: |
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@Aruna:
vielen Dank, so wie du es jetzt oben ausgerechnet hast, habe ich es zum ersten Mal verstanden!
8-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 13:23 Titel: |
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Also so
 \, \big( \vec{e}_b^t \cdot \vec{e}_q \big) \, \big( \vec{e}_p^t \cdot \vec{e}_c \big) \, \big( \vec{e}_q^t \cdot \vec{e}_d \big) )
wobei in
)
die "1" an der i-ten Stelle steht.
Immer noch nicht verstanden? Nein? Warum nicht? Steht immer noch nicht alles so da wie gewünscht?
Doch, aber das liefert offenbar kein Verständnis für die Physik.
Deswegen ist es die erste Übung, die physikalische Bedeutung von
oder meinetwegen auch von
zu verstehen.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 13:37 Titel: |
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und wie ist die phys. Bedeutung des Punktprodukts?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 14:58 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | und wie ist die phys. Bedeutung des Punktprodukts? |
Zu früh.
Die Frage muss lauten, "was ist die physikalische Bedeutung eines Zustandsvektors?".
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 15:20 Titel: |
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ok, was ist ein Zustandsvektor?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 17:11 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ok, was ist ein Zustandsvektor? |
Du bist angekommen 
Ein Zustandsvektor ist ein normierter Vektor in einem endlich- oder unendlich-dimensionalen Vektorraum, der den Zustand *) eines quantenmechanischen Systems **) repräsentiert.
Der Satz gilt formal in ähnlicher Weise in der Newtonschen Mechanik - Vektoren repräsentieren Zustände (Ort, Geschwindigkeit ...) eines klassischen Systems - allerdings ...
1) ist der in der Quantenmechanik betrachtete Zustandsraum nicht identisch mit dem Ortsraum der klassischen Mechanik
2) lässt die Quantenmechanik völlig anderen Zustände zu als die klassische Mechanik (so sind insbs. Superpositionen von Zuständen oder Eigenschaften in der klassischen Physik unbekannt)
3) schließt die Quantenmechanik bestimmte klassisch bekannte Zustände aus (so sind insbs. nicht beliebige Kombinationen gleichzeitig scharf definierter Eigenschaften zulässig)
4) schließt die Quantenmechanik teilweise die direkte Zuschreibung einzelner Eigenschaften zu einzelnen Quantenobjekten aus (im Rahmen der sogenannten Verschränkung)
5) folgen die quantenmechanischen Eigenschaften erst mittels weiterer mathematischer Operationen aus dem Zustandsvektor (während der klassische Ortsvektor direkt die Eigenschaft „Ort“ kodiert)
6) gehorcht die Zeitentwicklung des Zustandsvektors einer speziellen Gleichung, der sogenannten Schrödingergleichung
(1 - 6) enthalten die Essenz der Quantenmechanik und zugleich die wesentlichen Unterschiede zu klassischen Mechanik; man kann sie Punkt für Punkt durchgehen und in eine mathematische Darstellung überführen.
*) Zustand = die Gesamtheit aller Eigenschaften, z.B. Teilchensorte (Elektron oder Positron), Impuls und Spin
**) z.B. ein Elektron, ein Photon, ein verschränktes Photonenpaar, ein Atom insbs. inkl. aller Elektronen, ein Nukleon bestehend aus Quarks und Gluonen, ein Supraleiter ...)
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 24. Mai 2022 20:31 Titel: |
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ok, danke, und nun in eine math. Darstellung überführen?
wie sähe denn jetzt so ein Elektron, Proton, Neutron, Photon, Gluon oder W+/-/Z-Boson als (n-Tupel?- Spalten?-) Vektor aus...?
Und was wird dann womit multipliziert und wozu?
?(
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 24. Mai 2022 22:34 Titel: |
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Als erstes musst du das Konzept des abstrakten Raumes verstehen.
Man schreibt im Zustandsvektor exakt das auf, was im jeweiligen Kontext zwingend benötigt wird, kein bisschen mehr. D.h., wenn immer von Elektronen die Rede ist, dann schreibt man das nicht explizit dazu – beispielsweise in der Atomphysik. Wenn jedoch von unterschiedlichen Teilchen die Rede ist – beispielsweise in der Elementarteilchenphysik – dann schreibt man die Teilchensorte explizit dazu, z.B. Elektron, Positron, Quarksorte wie u, d, s, … oder das jeweilige Antiteilchen, das meist mit einem Querstrich notiert wird. Mit diesen Zustandsvektoren kann man (fast) noch nicht rechnen, es geht erst mal um eine eindeutige, knappe und formale Bezeichnung (Rechnen kommt später)
Für ein einzelnes im Atom gebundenes Elektron schreibt man also
(„e“ für Elektron lässt man weg, da im Kontext klar; Bedeutung für n,l,n,s kommt gleich)
Würde man in einem Atom ein Elektron durch ein Myon ersetzen (das geht) müsste man die Teilchensorte dazuschreiben, also z.B.
Rekapitulieren wir anhand (1 - 6)
1) Bisher haben wir an keiner Stelle einen aus der klassischen Mechanik bekannten Vektor gesehen. Wie gesagt, man schreibt exakt das auf, was man benötigt, exakt die Eigenschaften, die man betrachten will. Das sind i.A. keine bekannten klassischen Eigenschaften.
Zur Übersetzung der Dirac-Schreibweise in Vektoren:
Könnte man so schreiben, macht aber niemand. Ist ein bisschen so wie in einer Programmiersprache; man muss sie halt lernen.
Bitte jetzt keine Spaltenvektoren, Rechenzeichen etc. suchen. Wir brauchen das (noch) nicht. Wir fangen gerade erst an, physikalische Sachverhalte mathematisch zu notieren.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 09:09 Titel: |
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danke erst mal!
Im Prinzip also wie eine geordnete Tabelle oder ein Datenpaket, wenn man einen UART oder i2c-Sensor auslesen (oder schreiben) will, mit Platzhalter-Komponenten für die "data of interest"; so hatte ich das bislang eigentlich auch verstanden (ich dachte nur, man schreibt immer alles rein, was bekannt und möglich ist).
Was bedeutet oben genau der Pfeil zwischen Ket und ê_...?
ist das eine Schreibweise für eine Abbildungsfunktion?
Oder sollte das heißen "entspricht der Schreibweise", also ≙ ?
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 25. Mai 2022 09:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 25. Mai 2022 09:33 Titel: |
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@Aruna:
verstanden habe ich ja nun, wie man das mit den doppelt li/re dran gehängten e-vektoren rechnet
Aber ich verstehe noch nicht, WARUM man das ê_i doppelt dranklatscht,
 \, \vec{e}_i)
das ist doch einfach nur redundant überfrachtet, denn ich kenne doch die einzelnen Komponenten von r (r_i, mittlere Formel, entsprechend a_x und a_y), und in den letzten Term muss ich genau diese r_i Komponenten zum Ausrechnen dann ja doch wieder erneut einsetzen...(?!?)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 11:23 Titel: |
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Die letzte Gleichung sagt explizit, was das bedeutet: die Komponenten eines Vektors entsprechen der Projektion des Vektors auf die jeweilige Basis.
In der Dirac-Notation wird das noch klarer
 \, \vec{e}_n)
 = \left( \sum_n |n\rangle\langle n| \right) \, |r\rangle )
Man erhält die Darstellung eines beliebigen Vektors |r> bzgl. einer beliebigen Basis mit Basisvektoren |n> durch Projektion des Vektors auf diese Basis. Das ist zentral für die Quantenmechanik, da diese Gleichung auf alle möglichen physikalisch relevanten Darstellungen führt - Wellenfunktionen im Ortsraum, Fouriertransformierte und Darstellung im Impulsraum …
Nebenbei steht da eine zentrale Eigenschaft einer beliebigen Basis:
Diese Gleichungen sind keineswegs überflüssig. Sie gelten natürlich nicht nur in der Dirac-Notation, diese lässt aber einige Schreibweisen zu, die bestimmte Zusammenhänge offensichtlich machen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Mai 2022 11:44, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 25. Mai 2022 11:31 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | @Aruna:
verstanden habe ich ja nun, wie man das mit den doppelt li/re dran gehängten e-vektoren rechnet
Aber ich verstehe noch nicht, WARUM man das ê_i doppelt dranklatscht,
das ist doch einfach nur redundant überfrachtet, denn ich kenne doch die einzelnen Komponenten von r (r_i, mittlere Formel, entsprechend a_x und a_y), und in den letzten Term muss ich genau diese r_i Komponenten zum Ausrechnen dann ja doch wieder erneut einsetzen...(?!?) |
Das kam von TomS und dabei ging es zunächst nicht darum, etwas auszurechnen, was man schon weiß, sondern die Zusammenhänge darzustellen, zwischen einem Vektor seiner Darstellung in einer Basisvektoren und den Komponenten.
Siehe insbesondere das von mir fett markierte:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Im Falle eines Spaltenvektors d.h. den Komponenten x eines Vektors r bzgl. einer Basis e gilt
Die Komponenten folgen dabei mittels Projektion des Vektors r auf die Basis, d.h. mittels Skalarprodukt
Einsetzen liefert
Wenn du das verstanden hast - den Zusammenhang zwischen Vektor, Basis und Komponenten - dann brauchen wir noch eine Änderung der Notation hin zu den Kets, ein weiteres Gleichheitszeichen, und du hast die wesentliche Hürde zur Mathematik der Quantenmechanik genommen. |
TomS hat darauf dann aufgesetzt im Übergang in die Dirac-Notation.
(siehe unten)
Dann durch Anwendung von Kommutativität von einem Skalar und einem Vektor die Komponente und den Vektor in der Summe in der Reihenfolge vertauscht.
Als nächstes hat der die n-te Komponente gemäß obiger Beziehung als Skalarprodukt von n-tem Basisvektor und dem Vektor geschrieben und dann mittels Anwendung der Distributivität und Assoziativität den Vektor aus der Summe rausgezogen, und so den Einsoperator, der einen Vektor auf sich selbst abbildet, hergeleitet.
Der ist ganz praktisch, weil man den auf einer Seite reinschieben kann, ohne dass sich eine Gleichung ändert.
Da könnte man nun das Praktische an der Bra-Ket-Schreibweise erkennen:
Wenn Du Dich dran gewöhnt hast, siehst Du sofort, dass, wenn man das rechte gerade Ende von  an einen Vektor
 andockt ("auf ihn wirken lässt"), das den Basisvektor multipliziert mit dem Skalarprodukt  liefert, was gerade die n-te Komponente von Vektor multipliziert mit dem entsprechenden Basisvektor darstellt.
projiziert also die n-te Komponente raus mit der Richtung des n-ten Basisvektors.
Die Summe drüber ergibt dann wieder den ursprünglichen Vektor.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Also weiter.
Wir führen jetzt für die o.g. Vektoren und Komponenten eine neue Schreibweise ein: ich ersetze die Vektoren durch Kets und Bras: ich verwende n statt i und r_n statt x_i; außerdem verwende ich |n> statt |e_n> für die Basisvektoren; das alles, um die Notation einheitlicher und näher an der QM zu halten.
Die Komponenten folgen dabei mittels Projektion des Vektors r auf die Basis, d.h. mittels Skalarprodukt
Einsetzen liefert (wobei ich in der QM-Notation die Faktoren umsortiere)
 = \left( \sum_n | n \rangle \langle n | \right) |r \rangle)
Der Ausdruck ist dabei nur eine Zahl.
Das letzte Gleichheitszeichen für beliebige Vektoren |r> gilt, folgt
Ok, die Hälfte der Quantenmechanik wäre geschafft ;-) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 25. Mai 2022 11:44 Titel: |
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@Aruna - danke
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