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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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 terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 08:25 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
...Aber für jede Basis benötigt man immer mindestens einen Vektor ungleich  . (Und genau n solcher Vektoren in n Dimensionen). |
ja, stimmt.
Aber einen Vektor kann ich nicht ohne eine solche Basis beschreiben, denn was wollte ich ohne diese als seine Komponenten eintragen?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 27. Mai 2022 08:33 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
...Aber für jede Basis benötigt man immer mindestens einen Vektor ungleich . (Und genau n solcher Vektoren in n Dimensionen). |
ja, stimmt.
Aber einen Vektor kann ich nicht ohne eine solche Basis beschreiben, denn was wollte ich ohne diese als seine Komponenten eintragen? |
Denk das doch mal bis zum Ende durch: Um einen Vektor (ungleich null) zu beschreiben, benötigst du mindestens n-1 weitere linear unabhängige Vektoren..?
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 27. Mai 2022 09:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2022 08:54 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Aber einen Vektor kann ich nicht ohne eine solche Basis beschreiben … |
Doch:
 = \text{von Nürnberg zum Tycho-Krater})
Was fehlt zur Beschreibung des Vektors?
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | … denn was wollte ich ohne diese als seine Komponenten eintragen? |
Nichts. Wozu auch? Der Vektor ist eindeutig definiert.
Offenbar stehen wir doch wieder ganz am Anfang.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 09:18 Titel: |
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es fehlen die Koordinaten von Nürnberg und Tycho-Krater, beides sind für mich nur hohle Variablen-Namen.
Man könnte für den Anfang Nürnberg als Ursprungsort des Koordinatensystems festlegen (und dann dort hinfahren, wenn man es gefunden hat, und dann von dort aus messen), denn es geht ja zunächst nur um die geometrische "Differenz" der Koordinaten.
(Und später könnte man die Nürnberg-Koordinaten per GPS oder Google-Maps suchen, nachtragen, und dann den Vektor darauf transformieren: dann kann ich Tycho auch von Frankfurt oder Hamburg aus erreichen, unter Berücksichtigung der Ortsverschiebung.)
Ohne die exakten Koordinaten weiß ich nichts über den Vektor und ich kann ihn auch niemandem übergeben, um ihn an einem anderen Ort anzutragen oder damit zu rechnen.
Das hatten wir schon.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2022 10:04 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | es fehlen die Koordinaten von Nürnberg und Tycho-Krater, beides sind für mich nur hohle Variablen-Namen. |
Millionen von Menschen würden dir widersprechen. Es sind präzise Angaben, von denen jeder weiß, was damit gemeint ist.
Sogar du weißt es, auch ohne Angabe der Koordinaten, sonst hättest du nachgefragt, was ich damit meine. Hast du nicht. Also weißt du, was ich damit meine. Und mehr brauchen wir nicht.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Ohne die exakten Koordinaten weiß ich nichts über den Vektor und ich kann ihn auch niemandem übergeben, um ihn an einem anderen Ort anzutragen oder damit zu rechnen. |
Doch, kannst du.
Wenn du einem Astrophysiker die Information "von Nürnberg und Tycho-Krater" gebe, weiß er, was ich meine; er wird höchstens nach der Zeit fragen.
Aber ja, das hatten wir schon.
Du weigerst dich zu verstehen, dass es einen Unterschied zwischen einem Vektor an sich und verschiedenen Darstellungen des Vektors bzgl. verschiedener "Basen" gibt. Für dich gehört es zum Wesen des Vektors dazu, dass er Komponenten hat.
Das macht es natürlich schwierig, eine Notation wie
zu verstehen.
Du musst dann zuerst den mathematischen Apparat der Quantenmechanik, der QED, der QCD usw., verstanden haben, bevor du akzeptierst, dass "Grundzustand des Wasserstoffatoms" eine eindeutige und koordinatenfreie Beschreibung eines Zustandes des Wasserstoffatoms ist.
Also gut umgekehrt, dann eben in zwei möglichen Darstellungen
)
Jetzt ist dann alles klar, oder?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 10:56 Titel: |
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| Zitat: | | Zitat: | es fehlen die Koordinaten von Nürnberg und Tycho-Krater, beides sind für mich nur hohle Variablen-Namen.
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Millionen von Menschen würden dir widersprechen. Es sind präzise Angaben, von denen jeder weiß, was damit gemeint ist. |
da stelle mer uns mal janz domm und sachen mer so:
ne, dat wisse mer nich.
| Zitat: |
"Grundzustand des Wasserstoffatoms" eine eindeutige und koordinatenfreie Beschreibung eines Zustandes des Wasserstoffatoms ist. |
ja, das sind ja auch keine Vektoren, die in einem Raum irgendwo hin zeigen, sondern quasi nur eine Tabelle von Werten.
Eine ausgedruckte Excel-Tabelle mit Aktienkursen kann ich auch vom Wohnzimmer in die Küche tragen oder damit in einer Wüste herumirren, da brauche ich keine Koordinaten.
Wenn ich allerdings wissen oder sagen will, wo das Wasserstoffatom im Raum genau ist, dann brauche ich seine Koordinaten.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2022 13:08 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ja, das sind ja auch keine Vektoren, die in einem Raum irgendwo hin zeigen, sondern quasi nur eine Tabelle von Werten. |
Doch, das sind Vektoren.
Wir sind wieder bei deinem Grundproblem. Du willst etwas lernen, hast aber schon beschlossen, wie es funktioniert oder nicht funktioniert. Und wenn es nicht in dein Weltbild passt, dann schaust du dir quantenmechanische Zustandsvektoren und deren Darstellung an und sagst „das sind ja auch keine Vektoren“.
Wie soll ich dir jetzt erklären, dass und in welchem Sinn das Vektoren sind? Kannst du dir ansatzweise vorstellen, dass ich weiß, wovon ich rede? Und dass es zum Beispiel sinnvoll wäre, zu fragen, in welchem Sinne das Vektoren sind?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 13:32 Titel: |
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bislang haben wir nur von Vektoren geredet, die im R³ über R oder C^n über C irgendwo hinzeigen (oder auf ein Blatt Papier gemalt wurden), und ihre Komponenten sind ja genau auch ihre R- oder C-Richtungs-Koordinatenwerte.
Wenn du jetzt irgendwelche Tabellenwerte untereinander schreibst, dann zeigen diese "Vektoren" ja nicht mehr in einem reellen oder komplexen Raum iwo hin.
Aber klar, ich kann mit ihren Komponenten nach wie vor rechnen, wenn es entsprechend definiert wurde.
Ich stelle mir vor, z.B.:
0.511[MeV/c²]
-1
1/2
0
x [m]
y [m]
z [m]
Ob das Sinn macht, einen anderen Vektor wie
0
+1
0
0
0
0
4 [m]
zu addieren oder das mit einem Skalar wie (a+ib) oder einem anderen (Zeilen-) Vektor wie
1[eV/c²] 0 1/2 r[m] s[m] t[m]
zu multiplizieren, wird man sicher sehen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2022 15:26 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | bislang haben wir nur von Vektoren geredet, die im R³ über R oder C^n über C irgendwo hinzeigen (oder auf ein Blatt Papier gemalt wurden), und ihre Komponenten sind ja genau auch ihre R- oder C-Richtungs-Koordinatenwerte. |
Na ja, du hast dich ziemlich effektiv dagegen gewehrt, andere Vorschläge zur Kenntnis zu nehmen.
Ein Vektor ist ein Element einer Menge, die zusammen mit zwei Operationen auf der Menge
1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar und
2) Addition zweier Vektoren
die Vektorraum-Axiome erfüllt.
Ein wichtiges Beispiel in der Quantenmechanik sind abstrakte Zustandsvektoren, notiert als Ket:
Ein weiteres Beispiel ist deren Darstellung als Funktionen:
Und in manchen Fällen sind auch Darstellungen als unendlich-Tupel komplexer Zahlen sinnvoll.
Wenn du also spaßeshalber mal die Frage der Komponenten ignorierst, könnten wir weitermachen.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 17:46 Titel: |
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was ist denn
|Grundzustand des Wasserstoffatoms>,
anders formuliert als mit Komponenten?
und was bedeutet das mit eimem transponierten r^ davor?
Was ist daran eine "Funktion"?
<r ^ | Grundzustand des Wasserstoffatoms>
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2022 19:31 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | was ist denn
|Grundzustand des Wasserstoffatoms>,
anders formuliert als mit Komponenten? |
Da steht ein Zustandsvektor, basisfrei und ohne Komponenten.
In der „normalen Notation“ wird das zu
| terminus hat Folgendes geschrieben: | und was bedeutet das mit eimem transponierten r^ davor?
Was ist daran eine "Funktion"? |
Es handelt sich um die Projektion auf die verallgemeinerte Ortsbasis
 = \langle \vec{r} | \text{Grundzustand des Wasserstoffatoms} \rangle \;\to\; {\hat{e}_{\vec{r}}}^t \cdot \hat{e}_\text{Grundzustand des Wasserstoffatoms} )
Ab hier morgen weiter …
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 27. Mai 2022 20:37 Titel: |
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nein, ich meinte:
was steht da drin in |Grundzustand des Wasserstoffatoms> ?
Als Komponenten in Aufzählung/Liste könnte ich es mir vorstellen,
aber ohne Auflistung der Werte/Eigenschaften...?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 28. Mai 2022 06:03 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | was ist denn
|Grundzustand des Wasserstoffatoms>,
anders formuliert als mit Komponenten?
|
Das ist eben genau die allgemeine Formulierung ohne konkrete Komponenten.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
und was bedeutet das mit eimem transponierten r^ davor?
|
das bedeutet das, was Du hier wiederholt als redundant bezeichnet hast, bzw. ein Teil davon:
Das Skalarprodukt zwischen einem "Basisvektor" des Ortsraums und einem allgemeinen Vektor, gibt die Komponente des allgemeinen Vektors für diesen "Basisvektor" in der Darstellung in der entsprechenden Basis.
Eventuell ist es verwirrend, dass das  , das im Ket steht nun selbst wieder ein Vektor ist. Das ist aber IMO ein Ortsvektor, der einen Punkt im 3D-Raum bestimmt.
Damit ist das die Komponente des Vektors  für einen Punkt im 3D-Raum, der durch den Ortsvektor bestimmt wird.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Was ist daran eine "Funktion"?
|
Da nun der 3D-Raum überabzählbar viele Punkte hat, ist das dann (wenn man als Variable auffasst, die jeden Wert annehmen kann) eine Funktion, die jedem Punkt im 3D-Raum einen Wert zuweist, eben
 = \langle \vec{r} | \text{Grundzustand des Wasserstoffatoms} \rangle )
Wenn man es genau nimmt, ist dabei zu beachten:
| Zitat: | Technisch handelt es sich dabei nicht um eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachteten separablen Räumen kein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art  bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren“, weil sie wie die Deltafunktion oder wie monochromatische ebene Wellen nicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff der Orthogonalität muss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichen Kroneckersymbole  Deltafunktionen benutzt.)
https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Notation
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Darauf hatte m.E. index_razor weiter vorne schon hingewiesen.
Wikipedia allerdings weiter:
| Zitat: | Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte“
und
)
hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie. |
Was Du IMO akzeptieren solltest, ist, dass es eben eine allgemeine/"unbestimmte" Schreibweise für einen Vektor gibt, noch ohne konkrete Basis und man diesen
dann in verschiedenen konkreten Basen entwickeln, bzw. darstellen kann.
Im Beispiel in der verallgemeinerten Ortsbasis, was nun aber -Achtung!- nicht heißt, dass man das mittels dreier Basisvektoren in  darstellt, sondern mittels einer Funktion, die jedem der überabzählbar unendlich vielen Punkte des 3D-Raums einen Wert (eine Komponente) zuweist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2022 08:48 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | nein, ich meinte:
was steht da drin in |Grundzustand des Wasserstoffatoms> ?
Als Komponenten in Aufzählung/Liste könnte ich es mir vorstellen,
aber ohne Auflistung der Werte/Eigenschaften...? |
Solange du an der Idee festhältst, die Komponenten für sich betrachtet hätten eine physikalische Bedeutung, wirst du das folgende nicht verstehen.
Zustandsvektoren in der Quantenmechanik bezeichnen Punkte auf der Oberfläche einer n- bzw. zumeist unendlich-dimensionalen Einheitskugel. Diese ist völlig strukturlos, d.h. jeder Punkt gleicht dem anderen. Die Bezeichnung eines Punktes mittels Koordinaten ist daher völlig bedeutungslos, sie beinhaltet keine physikalische Information.
Vergleiche das mit der Erdoberfläche. Wenn du Außerirdischen, die noch nie ein Photo der Erde gesehen haben, verschiedene Koordinatenangaben sendest, werden sie keine Vorstellung der Geographie der Erde entwickeln können; sie zeichnen Punkte auf die Oberfläche einer strukturlosen Kugel. Wenn du ihnen jedoch eine Beschreibung der Geographie sendest, sowie die jeweils relative Lage verschiedener geographischer Punkte untereinander, so werden sie ein Bild der Erde entwickeln.
Letzteres hat nichts mit Koordinaten zu tun.
Zum Beispiel könntest du wie folgt vorgehen: zunächst benennst du Punkte als Nord- und Südpol, und gibst zusätzlich an, dass diese beiden Punkte die Rotationsachse der Erde festlegen. Anschließend übermittelst du verschiedene geographische Angaben und Beschreibungen, zum Beispiel die des Mount Everest, des Marianengrabens, des Vesuvs usw. – sowie die Winkel die deren Einheitsvektoren mit der Erdachse sowie untereinander einschließen.
Dies hat nichts mit Koordinaten zu tun.
Du definierst kein Koordinatensystem, keine Basisvektoren, du legst keine Winkelwerte für Äquator oder Nullmeridian fest, du übermittelst ausschließlich geographische Informationen sowie deren relative Positionen. Damit sind die Außerirdischen in der Lage, ein Bild der Erdoberfläche zu entwerfen, das je nach Details der übermittelten Informationen unseren Bildern der Erde mehr oder weniger nahe kommt.
Das einzige, was fehlt, sind geographische Längen und Breiten; diese sind offensichtlich verzichtbar, da die Außerirdischen auch ohne sie ein mehr oder weniger vollständiges Bild der Geographie der Erdoberfläche haben.
So ähnlich funktioniert die Darstellung von Informationen zu physikalischen Systemen in der Quantenmechanik. Die n- bzw. zumeist unendlich-dimensionalen Einheitskugel ist zunächst völlig strukturlos, es gibt ledig ausgezeichnete Punkte wie die Pole / die Rotationsachse – es ist mathematisch komplizierter als bei der Erde – sowie die Beziehung bzw. die relative Lage dieser Punkten untereinander. Physikalische Informationen sind auf diese Weise kodiert.
Können wir weitermachen?
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 28. Mai 2022 09:50 Titel: |
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ja, vielen Dank, wobei ich sagen würde:
die Festlegung von N/S-Pol via Rotationsachse ist 1 Achse eines Koordinatensystems,
ein Winkelvektor vom Nordpol zum Everest ist davon l.u., bildet eine 2.Achse, und spannt eine 2. Dim auf,
und ein weiterer Winkelvektor zum Eiffelturm, ebenfalls l.u., spannt eine 3. Dim auf.
Damit bilden sie das besagte x,y,z-Koordinatensystem, das auch weitere Objekte referenzieren kann, sei es in Bezug zu einem Pol oder relativ zu Everest oder Eiffelturm, egal ob auf einer 2D-Kugeloberfläche/3D-Kugelraum per Polarkoordinaten oder als Werte von kartesischen Koordinatenpunkten..
Du beschreibst nun den Zustand von H-Atomen wie auf so einer Kugel, aber mir ist immer noch nicht klar, von welcher Art von Zustandseigenschaften wir überhaupt reden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2022 10:39 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ja, vielen Dank, wobei ich sagen würde:
die Festlegung von N/S-Pol via Rotationsachse ist 1 Achse eines Koordinatensystems … |
Ja.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | … ein Winkelvektor vom Nordpol zum Everest ist davon l.u., bildet eine 2.Achse, und spannt eine 2. Dim auf,
und ein weiterer Winkelvektor zum Eiffelturm, ebenfalls l.u., spannt eine 3. Dim auf. |
Ja.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Damit bilden sie das besagte x,y,z-Koordinatensystem, das auch weitere Objekte referenzieren kann, sei es in Bezug zu einem Pol oder relativ zu Everest oder Eiffelturm, egal ob auf einer 2D-Kugeloberfläche/3D-Kugelraum per Polarkoordinaten oder als Werte von kartesischen Koordinatenpunkten. |
Jein.
Ob daraus wirklich eine Basis (im mathematischen Sinne mit all ihren Eigenschaften) resultiert, ist noch zu prüfen. Also verwende bitte nicht den Begriff Koordinatensystem, bevor wir geprüft haben, ob sämtliche Eigenschaften vorliegen.
Der essentielle Punkt ist, dass diese geografischen Angaben allesamt nicht von willkürlich eingeführten Koordinaten abhängen, sondern dass sie relativ zueinander durch die Natur eindeutig festgelegt sind. Dass man den Null-Meridian mit der Koordinate „Längengrad = 0“ durch Greenwich festlegt, ist völlig willkürlich. Dass der Winkel zwischen Greenwich und einem südwestlich von Neuseeland gelegenen Punkt exakt 180 Grad beträgt, dagegen nicht. Ersteres ist unsere freie Entscheidung, letzteres nicht.
Basen und Koordinatensysteme sind zunächst immer frei wählbar, d.h. gewissermaßen überflüssig.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Du beschreibst nun den Zustand von H-Atomen wie auf so einer Kugel, aber mir ist immer noch nicht klar, von welcher Art von Zustandseigenschaften wir überhaupt reden. |
Der Zustand „Grundzustand des H-Atoms“ wird ausschließlich durch physikalische Größen bestimmt. Dabei wird auf die willkürliche Einführung von Basen und Koordinatensystemen verzichtet.
Es zeigt sich jedoch, dass die Natur selbst eine spezielle Basis auswählt, die wir nicht frei wählen können. Das ist vergleichbar zur Rotationsachse der Erde: diese ist von der Natur vorgegeben. Wir werden sehen, dass im Falle des Wasserstoffatoms - sogar für jedes denkbare Quantebsystem - immer eine von der Natur ausgezeichnete Basis existiert. D.h. dass (bis auf Feinheiten) alle - also unendlich viele - Basisvektoren festgelegt werden.
Deswegen ist es wichtig, zu verstehen, dass es sinnlos ist, mit Vektoren in Komponentenschreibweise zu beginnen. Wir wissen nämlich noch nicht, welche Basen / Koordinaten / Komponenten wir sinnvollerweise verwenden sollen. Wir müssen erst das physikalische Problem - das Wasserstoffatom - verstehen, also quasi seine Geographie kennenlernen, die uns sozusagen eine Basis vorschlägt.
Später mehr.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 28. Mai 2022 12:12 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ja, vielen Dank, wobei ich sagen würde: [...]
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Deswegen ist es wichtig, zu verstehen, dass es sinnlos ist, mit Vektoren in Komponentenschreibweise zu beginnen. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 28. Mai 2022 13:57 Titel: |
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nun gut, wobei man ja, wenn man die N/S-Achse als Basisvektor nun schon hat, dann auch willkürlich den Eiffelturm, den möglicherweise auch schon jeder kennt, mit seinem Meridian willkürlich als 2. Basislinie festlegen könnte; klar ist es willkürlich, aber wie gesagt, man hat ihn ja offenbar eh schon.
Whatever.
Ich bin jetzt immer noch gespannt, was das denn für spannende Eigenschaften eines Wasserstoffatoms genau sind, und wie sie genau in
| Eigenschaften des Wasserstoffatoms >
drinstehen...
es scheint ja nun möglicherweise auch iwas mit
|ψ>
(von ganz weit oben) zu tun zu haben...
| terminus hat Folgendes geschrieben: | hallo,
ich habe gerade diese Schreibweise für die Wellenfunktion gesehen:
|ψ>
Wieso schreibt man die in einen Ket?
Ich dachte, ein Ket wäre ein n-dim Spaltenvektor (p1,...pn), was hat das mit ψ zu tun, so wie sie als Hψ in der Schrödingergleichung vorkommt? |
8-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2022 15:04 Titel: |
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Ok, neuer Versuch.
Wir werden das schrittweise durchgehen und offene Fragen klären. Aber grundsätzlich ist das der Fahrplan.
Jedes quantenmechanische System wird beschrieben mittels
1) eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum
2) dem Hamiltonoperator H bzw. der Schrödingergleichung bzw. der Zeitentwicklung des Zustandsvektors, d.h. welche Kurve |ψ(t)> auf der Oberfläche der Einheitskugel überstreicht.
Während (1) völlig struktur- und inhaltslos ist, beschreibt (2) mittels eines speziellen Hamiltonoperators H das jeweilige spezielle System. In einfachen Fällen ist H gegeben durch
d.h. H ist verwandt mit der klassischen Gesamtenergie.
Die Zeitentwicklung ist formal gegeben durch
\rangle = U(t) \, |\psi_0\rangle )
d.h. U(t) rotiert |ψ(t)> auf der Oberfläche der Einheitskugel.
Der sogenannte Zeitentwicklungsoperator U(t) wird für jedes quantenmechanische System mittels
 = e^{-iHt})
definiert; das ist formal äquivalent zur Schrödingergleichung.
Ein quantenmechanisches System zu „lösen“ bedeutet im weitesten Sinn, für jeden zum Zeitpunkt t = 0 gegebenen Zustandsvektor seine zukünftige Zeitentwicklung zu berechnen.
Dies ist häufig sehr kompliziert, deswegen betrachtet man zuerst einen einfacheren Fall, nämlich
Links steht ein Operator  der den folgenden Vektor im Allgemeinen rotiert, rechts dagegen eine komplexe Zahl  vor dem nicht-rotierten Vektor, dessen Richtung konstant bleibt.
Wir suchen also Lösungen, deren Richtung = Zustandsvektor unter Zeitentwicklung fest bleibt; das ist formal äquivalent zur stationären Schrödingergleichung; und entspricht einer Eigenwertgleichung
In der linearen Algebra wäre H eine unendlich-mal-unendlich Matrix, und E ein Eigenwert zu einem Eigenvektor |E>.
Analogon auf der Erde: der Nordpol ist der einzige Punkt bzw. die Erdachse die einige Richtung (bis auf Symmetrie) der bzw. die unter Erdrotation fest bleibt.
Ein mathematisches Theorem besagt nun, dass die Lösungen dieser stationären Schrödingergleichung für zulässige Hamiltonoperatoren H immer eine ausgezeichnete, vollständige Orthonormalbasis im Hilbertraum definieren.
Die Lösung für ein quantenmechanisches System besteht darin, diese Basis zu berechnen. Die einzige wesentliche Eigenschaft eines Basisvektors ist der Energieeigenwert E (Ausnahmen folgen später).
Da jedes zulässige H immer auf eine Orthonormalbasis führt, besagen die Richtungen sowie die jeweils eingeschlossenen Winkel - immer 90 Grad - nichts. Man kann verschiedene quantenmechanisches Systeme nicht anhand ihrer Basen unterscheiden, man benötigt dazu immer die Hamiltonoperatoren H bzw. die Energieeigenwerte E je Basisvektor |E>.
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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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| Kelvin1995 Verfasst am: 28. Mai 2022 15:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Deswegen ist es wichtig, zu verstehen, dass es sinnlos ist, mit Vektoren in Komponentenschreibweise zu beginnen. |
Genau das macht man aber doch in der Schule oder nicht? Man hat implizit immer die kanonische kartesische Basis, ohne dass es erwähnt wird und bezeichnet die sich daraus ergebenen Spaltenvektoren dann als Vektoren.
Meiner Meinung nach ist es am Sinnvollsten zuerst eine Arithmetik aus Pfeilen aufzubauen. Eine Addition und skalare Multiplikation kann man damit ja ganz anschaulich definieren als hintereinanderlegen und strecken/stauchen von Pfeilen.
Das kann man dann ja mit zeichnen machen, ohne dass man Komponenten addiert. Historisch hat sich der Vektorbegriff wahrscheinlich auch aus dieser Anschauung entwickelt, vermute ich mal.
Danach kann man dann die tieferliegenden Regeln heraus abstrahieren und dann zum Vektorraum kommen. Anschließend kann man dann noch verdeutlichen, dass man Vektoren mit einem Satz aus anderen Vektoren darstellen kann, was dann letztlich zum Erzeugendensystem und schließlich zum Basisbegriff führt.
Wobei ich aber nicht weiß welches Maß an Abstraktion in der Schulmathematik noch angemessen ist. Soweit ich mich erinnere hat man in der Schule kaum etwas gemacht, was über den Anschauungsraum hinausging.
Ich musste aber auch feststellen, dass selbst Physiker gerne Komponentendarstellungen einführen, bevor sie sich mit den abstrakten Objekten dahinter beschäftigen. Ich sag nur Tensoren. Tensoren habe ich erst verstanden nachdem ich mich mit Multilinearformen beschäftigt habe und daraus ergeben sich dann in ganz natürlicher Weise die Komponentendarstellungen und die Transformationsregeln. Wenn ich hingegen einen Thorsten Fließbach zur ART lese, verstehe ich nicht, was Tensoren sind, auch wenn es dazu Exkurse in dem Buch gibt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2022 16:53 Titel: |
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Du hast völlig recht, das versuchen wir ja nun schon seit einiger Zeit – das Bild mit den Komponenten hat sich aber irgendwie eingebrannt.
Ja, bei Tensor-Algebra und -Analysis ist der Zugang über Komponenten auch schwierig, man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht. Persönlich fand ich Torsten und Hans aber sehr nett ;-)
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|
terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 28. Mai 2022 17:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ok, neuer Versuch.
Wir werden das schrittweise durchgehen und offene Fragen klären. Aber grundsätzlich ist das der Fahrplan.
Jedes quantenmechanische System wird beschrieben mittels
1) eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum
2) dem Hamiltonoperator H bzw. der Schrödingergleichung bzw. der Zeitentwicklung des Zustandsvektors, d.h. welche Kurve |ψ(t)> auf der Oberfläche der Einheitskugel überstreicht.
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"eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum" verstehe ich nicht
Hamiltonoperator auch nicht
Schrödingergleichung auch nicht
Zeitentwicklung des Zustandsvektors auch nicht
:o
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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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| Kelvin1995 Verfasst am: 28. Mai 2022 17:54 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
"eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum" verstehe ich nicht
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|ψ> als Element eines Vektorraums ist einfach ein mathematisches Objekt mit dem bestimmte Operationen ausgeführt werden können und diese Operationen unterliegen wiederum Regeln. Man kann diese Elemente addieren und skalare dran multiplizieren.
Da es sich um einen Hilbertraum handelt, gibt es zusätzlich noch ein inneres Produkt.
Dass es den Zustand eines physikalischen Quantensystems darstellt, bedeutet, dass sämtliche Information, die du über das System haben kannst, in diesem Zustand drinsteckt. Wenn du bspw den Hamiltonoperator anwendest und dann sowas erhälst H|ψ>=E|ψ> dann weißt, du dass es sich um einen Zustand handelt bei dem das System sich in einem Energiezustand mit der Energie E befindet.
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Schrödingergleichung auch nicht
Zeitentwicklung des Zustandsvektors auch nicht
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Die Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands. Wenn sich dein System zu einem Zeitpunkt t1 in einem Zustand mit der Energie E1 befindet, kann es sich später nach einer Zeit t2 in einem Zustand der Energie E2 befinden. Mit der Schrödingergleichung kannst du berechnen in welchem Zustand sich das System nach einer Zeit t befindet, wenn du den Zustand zu einer vorherigen Zeit kanntest.
:o[/quote]x |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 28. Mai 2022 19:02 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
"eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum" verstehe ich nicht
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Welche Teile davon sind unklar?
abstrakt?
basisfrei?
Zustandsvektor?
Hilbertraum? |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 28. Mai 2022 20:08 Titel: |
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ja.
;-)
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 28. Mai 2022 20:10 Titel: |
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abstrakt und basisfrei und ohne n-Tupel ist mir zu abstrakt ;-)
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 28. Mai 2022 20:41 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | abstrakt und basisfrei und ohne n-Tupel ist mir zu abstrakt ;-) |
Aus LA-Vorlesungen sind mir vor allem zwei Sätze des Professors (so) in Erinnerung geblieben:
1.) "Es gibt Leute, die meinen, Vektoren seien Pfeile, das stimmt allerdings nicht"
2.) "Nun wird es ein wenig abstrakt." (ich glaube, im zweiten Semester)
Vektoren, deren "Spitzen" aufgrund der Wirkung von Operatoren sich auf der Oberfläche einer Einheitskugel bewegen, erscheinen mir gegen das, was, bzw. wie das so behandelt wurde, doch eher anschaulich.
Ich hab mal gehört, dass gute Mathematiker, also richtig gute, teilweise durchaus bildliche Vorstellungen von den eigentlich abstrakten Objekten, mit denen Sie sich beschäftigen, haben.
Feynman berichtete in einem Buch nach meiner Erinnerung von einer Wette mit Mathematikern seiner Uni, dass er, wenn sie ihm einen mathematischen Satz sagen, ihnen sagen kann, ob der wahr oder falsch sei, auch wenn er es nicht beweisen könne.
Er hat sich dann (in meiner Erinnerung) in den Sätzen genannten mathematischen Objekte auch geometrisch vorgestellt, auch als Kugeln und wenn dann noch Eigenschaften dazu kamen, z.B. als haarige Kugeln und wenn sich dann in seiner Vorstellung ein Widerspruch ergab, hat er gesagt, dass der Satz falsch sei.
Daher erscheint mir der Ansatz von TomS doch ganz interessant.
Auf der anderen Seite bin ich mir nicht sicher, ob Du nicht doch ein Troll bist...;-) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2022 23:16 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Jedes quantenmechanische System wird beschrieben mittels
1) eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum
2) dem Hamiltonoperator H bzw. der Schrödingergleichung bzw. der Zeitentwicklung des Zustandsvektors, d.h. welche Kurve |ψ(t)> auf der Oberfläche der Einheitskugel überstreicht.
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"eines abstrakten, basisfreien Zustandsvektor |ψ> in einem Hilbertraum" verstehe ich nicht
Hamiltonoperator auch nicht
Schrödingergleichung auch nicht
Zeitentwicklung des Zustandsvektors auch nicht |
basisfrei: der höchste Punkt der Erde
basisabhängig: (27.9881206 nördlicher Breite, 86.9249751 östlicher Länge);
Hamiltonoperator H: ein Operator „macht etwas“ mit dem Zustandsvektor;
Zeitentwicklungsoperator U: der Operator „macht etwas“ mit dem Zustandsvektor, er rotiert ihn so, dass er eine Kurve auf der Einheitskugel überstreicht.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Kelvin1995
Anmeldungsdatum: 09.01.2022
Beiträge: 64
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| Kelvin1995 Verfasst am: 29. Mai 2022 01:53 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Ich hab mal gehört, dass gute Mathematiker, also richtig gute, teilweise durchaus bildliche Vorstellungen von den eigentlich abstrakten Objekten, mit denen Sie sich beschäftigen, haben. |
Ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich kann mir mathematische Definitionen nicht merken und rekonstruiere sie deshalb anhand von anschaulichen Bildern. Beispielsweise die Definition von offenen Mengen in einem metrischen Raum. Da stelle ich mir einfach den R^2 vor, zeichne eine geschlossene Kurve auf ein Blatt Papier und überlege mir wie man durch das zeichnen von beliebig kleinen Kreisen um Punkte des eingeschlossenen Gebietes, man unterscheiden kann, ob die Kurve Teil der Menge ist oder nicht. Und dadurch komme ich dann auch auf die richtige Definition und ersetze am Ende halt den anschaulichen Abstandsbegriff einfach durch Metrik.
So mache ich das mit vielen Dingen, d.h. ich habe anschauliche Bilder im Kopf, die ich als Ausgangspunkt wähle und abstrahiere das dann. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 29. Mai 2022 13:07 Titel: |
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@TomS:
ok, das mit dem "höchsten Punkt der Erde" macht es schon etwas anschaulicher.
Dennoch, mit fehlt es an mathem. Vorstellungsvermögen, ich brächte mehr bildliche Analogien, was das alles ist und was wo wen überstreicht.
Ohne konkrete Anschaulichkeit bin ich überfordert, da fehlt es mir an "haarigen Kugeln" etc.:
n-Tupel und kart.Koordinaten ging grade (!) noch, Polarkoordinaten und e^iphi auch grade noch, das war bereits der Wissensstand quasi bei der TOP-Frage - aber ohne Basis in abstrakten Vektorräumen: nein, wirklich nicht mehr.
Ich bräuchte definitiv eine genaue Zeichnung und exakte, konkrete, wörtliche Beschreibungen oder Listen von den Dingen im Einzelnen, um was es da geht, ohne Formeln.
Tut mir leid, es macht keinen Sinn mehr, wir drehen uns ab jetzt sonst nur noch weiter im Kreis.
Vielen Dank für die Mühe, die ich gemacht habe... ;(
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 29. Mai 2022 13:55 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | @TomS:
ok, das mit dem "höchsten Punkt der Erde" macht es schon etwas anschaulicher.
Dennoch, mit fehlt es an mathem. Vorstellungsvermögen, ich brächte mehr bildliche Analogien, was das alles ist und was wo wen überstreicht. |
was hat das mit mathem. Vorstellungsvermögen zu tun?
Die Übersetzung in eine Anschauung leistet doch schon Tom?
Du musst Dir IMO nur einen Pfeil oder Zeiger vorstellen, der an einem Punkt befestigt ist, ansonsten in zwei Winkeln frei beweglich und dessen Spitze (von Innen) so alle Punkte auf der Oberfläche einer Kugel erreichen kann, deren Radius der Pfeil- oder Zeigerlänge entspricht, die man der Einfachheit halber auf 1 setzt.
Ein konkreter Pfeil zum Zeitpunkt t_0 zeigt auf irgendeinen Punkt auf dieser Kugeloberfläche
Wenn man einen Operator namens Hamilton-Operator (H) drauf wirken lässt,
wird der Pfeil bewegt und beschreibt dann eine Kurve auf dieser Kugelfläche.
Streck einfach mal den Arm aus und zeige irgendwohin.
Dann bewegst Du den gestreckten Arm irgendwie im Schultergelenk, und die Spitze Deines Zeigefingers wird so eine Kurve auf einer Kugeloberfläche beschreiben.
Der Mittelpunkt der Kugel ist Dein Schultergelenk und der Radius der Kugel wird durch die Länge Deines Arms (inkl. Hand und Zeigefinger) bestimmt. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 29. Mai 2022 15:22 Titel: |
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Ja, auf einer Kugel wie dem Globus ist das schon klar, nur habe ich hier ja ein Koordinatensystem, und mein "Pfeil" hat Komponenten (oder Länge und Richtung in Bezug zu einer Basis).
Was mir nicht klar ist, wie ein Vektor überhaupt "zeigen" kann, wenn er keine Basis und keine Komponenten hat, auf welche konkreten Dinge er überhaupt zeigt, wenn es um die Eigenschaften von Wasserstoffatomen geht, und wie die angeordnet sind.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 29. Mai 2022 15:28 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Ja, auf einer Kugel wie dem Globus ist das schon klar, nur habe ich hier ja ein Koordinatensystem, und mein "Pfeil" hat Komponenten.
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Und auf einer Kugel ohne Koordinatensystem kannst Du Dir das nicht vorstellen?
Wenn Du den Arm ausstreckst und irgendwo hin zeigst, dann stellst Du Dir immer die Komponenten Deines Arms in einer Basis vor?
| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Was mir nicht klar ist, auf welche konkreten Dinge so ein Pfeil-Vektor überhaupt zeigt, wenn es um die Eigenschaften von Wasserstoffatomen geht, und wie die angeordnet sind. |
Das wurde ja IMO auch noch nicht gesagt.
Du musst erst mal das Konzept verstehen, dann wird das eventuell noch auf konkrete Sachverhalte angewendet. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 29. Mai 2022 15:59 Titel: |
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wir drehen uns im Kreis, es macht keinen Sinn...: ich hatte anfangs auf konkrete Eigenschaften von konkreten Teilchen mit Hilfe eines konkreten komponentenartig aufgelisteten Basissystems gehofft.
Es macht wirklich keinen Sinn, wenn wir hier weitermachen, es ist nicht das, was ich zu verstehen gehofft hatte.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 29. Mai 2022 17:33 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | wir drehen uns im Kreis, es macht keinen Sinn...: ich hatte anfangs auf konkrete Eigenschaften von konkreten Teilchen mit konkreten Eigenschaften mit Hilfe eines konkreten komponentenartig aufgelisteten Basissystems gehofft.
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Dafür wurden doch, z.B. von mir, schon Beispiele genannt?
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Mit M1 = Münze1 und M2=Münze2
damit klar wird, dass sich das um Vektoren in verschiedenen Räumen handelt, die unterschiedliche Objekte beschreiben.
Die Summe über die Produkte beschreibt dann das zusammengesetzte System, z.B. aus Münze1
und Münze 2 und sollte symbolisieren, dass die (bei einer Messung) in diesen Kombinationen auftreten können, aber aus bestimmten Gründen (z.B. die Art der Wechselwirkung, die zur Verschränkung geführt hat), nicht in anderen Kombinationen.
Also nicht Atom_zerfallen und die Katze lebt oder Atom_intakt und Katze tot.
Oder der verschränkte Münzenzustand kann nicht zu einer Messung führen, in der beide Münzen Kopf oder beide Münzen Zahl zeigen.
(Das führt dann zu der "spukhaften Fernwirkung", denn da der Zustand nicht lokal ist, kann man die verschränkten Münzen räumlich trennen und wenn an einer Münze "Kopf" gemessen wird, ist dadurch an der anderen Münze "Zahl" schon als Messergebnis festgelegt.)
und dann eventuell noch normieren(?)
 )
\ \ )
|
Das sind jetzt anschauliche, aber hypothetische Quantenobjekte.
Anstatt einer Münze im Zustand Kopf oder im Zustand Zahl könnte man auch Elektronen mit Spin up und Spin down nehmen.
)
Das sind jetzt zwei Teilchen,
für ein Teilchen könnte das so aussehen:
)
Das ist ein Zustand eines Spin1/2-Teilchens in der Basis
) mit den Komponenten 
(Die anderen Eigenschaften des Teilchens, außer des Spins, die für die konkrete Problemstellung nicht gebraucht werden, sind nicht angegeben, die würden dann durch weitere Quantenzahlen im Ket stehen, siehe das Beispiel von TomS für das Wasserstoffatom)
Für die Basisvektoren gilt, dass die orthonormal sind und normiert, d.h. für das Skalarprodukt gilt:
Damit gilt für
)(\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \uparrow \right> + \left| \downarrow \right>)))
 = \frac{1}{2}(1+0+0+1) = \frac{1}{2}(2) = 1)
Also sind verschiedene Zustandsvektoren, die ein Elektron im Spinraum beschreiben, z.B.:
)
alle gleich lang sind zeigen auf verschiedene Punkte auf einer zweidimensionalen Kugel, also einen Kreis. Die Punkte entsprechen verschiedenen Zuständen bezüglich des Spins. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 29. Mai 2022 18:06 Titel: |
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Bei dem Atom-Katzenzustand:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom zerfallen ist und die Katze tot, gerade genau so groß wie die, dass das Atom nicht zerfallen ist und die Katze lebendig (1/2)
Dass die Wahrscheinlichkeit für das Zerfallen eines Atoms mit der Zeit zunimmt und für das intakte Atom ab, könnte man mit einer Zeitentwicklung beschreiben, die den Zustandsvektor mit der Zeit mehr in Richtung des reinen Zustands
dreht
Also mittels eines Operators, der die Komponente von dem Basisvektor
mit der Zeit verkleinert und die von dem Basisvektor
vergrößert.
Der Vektor, der den Zustand von Atom und Katze beschreibt, würde sich dann durch die Wirkung dieses Operators mit zunehmender Zeit von dem reinen Zustand eines intakten Atoms und einer lebenden Katze wegbewegen und auf den reinen Zustand eines zerfallenen Atoms und einer toten Katze zu. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 29. Mai 2022 21:56 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Ja, auf einer Kugel wie dem Globus ist das schon klar, nur habe ich hier ja ein Koordinatensystem, und mein "Pfeil" hat Komponenten (oder Länge und Richtung in Bezug zu einer Basis).
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Auf dem Globus hast du ein Koordinatensystem, auf der Erde nicht! Ich habe jedenfalls noch keines gefunden. Und der Mount Everest existierte bereits vor Martin Behaim.
Stell dir einen Pfeil vom Erdmittelpunkt zum Fuß des Berges vor.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 29. Mai 2022 22:03 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | wir drehen uns im Kreis, es macht keinen Sinn... |
Offensichtlich.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | … ich hatte anfangs auf konkrete Eigenschaften von konkreten Teilchen mit Hilfe eines konkreten komponentenartig aufgelisteten Basissystems gehofft … es ist nicht das, was ich zu verstehen gehofft hatte. |
Du kannst auch nicht das verstehen, was die Quantenmechanik sagt, wenn du dich lieber um das kümmerst, was du verstehen möchtest.
Ein Schuster, der Kochen lernen möchte, muss sie Ahle beiseite legen und zu Kochlöffel und Topf greifen.
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