FAQ - Dirac-Notation in der QM

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Ich möchte im folgenden einen kurzen Überblick über die formale Dirac-Notation in der QM geben und auf ein paar häufige Missverständnisse hinweisen.

Die Dirac-Notation bezieht sich auf einen abstrakten Zustandsraum, nicht auf Wellenfunktionen im Orts- oder Impulsraum. Das ist vergleichbar mit der basisfreien Darstellung eines Vektors.

Der abstrakte Zustand eines beliebigen Quantensystems lautet

Wenn man nun eine Basis einführen möchte, so geschieht dies wie in der linearen Algebra durch Angabe eines vollständigen Orthonormalsystems (n bezeichne irgendeinen Index)

Die erste Gleichung besagt, dass die Basiszustände orthonormiert sind. Die zweite Gleichung besagt, dass die Basiszustände vollständig sind, d.h. die Summe über alle eindimensionalen Projektoren entspricht der Eins.

Die Komponentendarstellung bzgl. dieser Basis erhält man durch Projektion, d.h.

Man erkennt dies durch Multiplikation mit der Eins

Dies entspricht exakt der Darstellung eines Vektors |psi> mittels Komponenten psi_n bzgl. einer Basis |n>.

Das Skalarprodukt zweier Zustände |phi> und |psi> erhält man durch Einschieben der Eins gemäß

Häufig werden Basen als Eigenzustände selbstadjungierter Operatoren A festgelegt. Jeder derartige Operator hat Eigenwerte a und Eigenzustände |a> der Form

wobei ein Theorem garantiert, dass diese |a> immer ein vollständiges Orthonormalsystems bilden.

Eine derartige Basis erlaubt eine Spektraldarstellung eines Operators A

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Komplizierter wird die Sache, wenn "verallgemeinerte" bzw. "kontinuierliche Basen" betrachtet werden sollen. Dabei liegt keine Entsprechung zur linearen Algebra mehr vor. Diese "kontinuierlichen Basen" sind nicht normierbar d.h. nicht Elemente des bisher betrachteten Hilbertraumes sondern seines Abschlusses; sie stellen somit auch keine Hilbertraum-Basen dar.

Sie liegen streng genommen auch außerhalb des notwendigen Formalismus der Quantenmechanik, denn eines der Grundaxiom besagt, dass die Quantenmechanik in einem separablen Hilbertraum formuliert wird, und ein solcher hat immer eine abzählbare Hilbertraum-Basis.

Trotzdem sind "kontinuierliche Basen" praktisch relevant, z.B. für ebene Wellen oder "Ortseigenzustände". Diese scheiden als physikalische Zustände zwar aus, da sie nicht normierbar d.h. nicht quadratintegrabel sind, werden jedoch als Grenzfall physikalischer Zustände aufgefasst - z.B. der "Ortseigenzustand" als Grenzfall eines Wellenpaketes mit infinitesimaler Breite.

Jedenfalls müssen im Falle einer "verallgemeinerten" bzw. "kontinuierlichen Basis" auch die o.g. Relationen für ein vollständiges Orthonormalsystems verallgemeinert werden:

So folgen dann z.B. die Orts- bzw. Impulsdarstellung eines allgemeines Zustandes |psi> wieder durch verallgemeinerte Projektion auf die verallgemeinerte "kontinuierliche Basis" |x> bzw. |p>

(p analog)

Dies entspricht der Wellenfunktion in x oder p.