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FAQ - Dirac-Notation in der QM
 
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14654

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 21:04    Titel: FAQ - Dirac-Notation in der QM Antworten mit Zitat

Ich möchte im folgenden einen kurzen Überblick über die formale Dirac-Notation in der QM geben und auf ein paar häufige Missverständnisse hinweisen.

Die Dirac-Notation bezieht sich auf einen abstrakten Zustandsraum, nicht auf Wellenfunktionen im Orts- oder Impulsraum. Das ist vergleichbar mit der basisfreien Darstellung eines Vektors.

Der abstrakte Zustand eines beliebigen Quantensystems lautet



Wenn man nun eine Basis einführen möchte, so geschieht dies wie in der linearen Algebra durch Angabe eines vollständigen Orthonormalsystems (n bezeichne irgendeinen Index)







Die erste Gleichung besagt, dass die Basiszustände orthonormiert sind. Die zweite Gleichung besagt, dass die Basiszustände vollständig sind, d.h. die Summe über alle eindimensionalen Projektoren entspricht der Eins.

Die Komponentendarstellung bzgl. dieser Basis erhält man durch Projektion, d.h.



Man erkennt dies durch Multiplikation mit der Eins



Dies entspricht exakt der Darstellung eines Vektors |psi> mittels Komponenten psi_n bzgl. einer Basis |n>.

Das Skalarprodukt zweier Zustände |phi> und |psi> erhält man durch Einschieben der Eins gemäß





Etwas kompliziert wird die Sache, wenn "kontinuierliche Basen" betrachtet werden sollen. Dies liegt streng genommen außerhalb des notwendigen Formalismus, denn ein Grundaxiom der QM besagt, dass sie in einem separablen Hilbertraum formuliert wird, und ein solcher hat immer eine abzählbare Hilbert-Basis. Trotzdem sind solche verallgemeinerten Basen praktisch relevant, z.B. für ebene Wellen im Orts- oder Impulsraum (wobei auch diese streng genommen als physikalische Zustände ausscheiden, da sie nicht quadratintegrabel sind).

Jedenfalls muss für eine kontinuierliche Basis die VONS-Relation verallgemeinert werden, im einfachsten Fall wie folgt







So folgen dann z.B. die Orts- bzw. Impulsdarstellung eines allgemeines Zustandes |psi> wieder durch "Projektion" auf die "Basis" |x> bzw. |p>



(p analog)

Dies entspricht der Wellenfunktion in x oder p.



Häufig werden Basen als Eigenzustände selbstadjungierter Operatoren A festgelegt. Jeder derartige Operator hat Eigenwerte a und Eigenzustände |a> der Form



wobei ein Theorem garantiert, dass diese |a> immer ein VONS bilden.

Eine derartige Basis erlaubt eine Spektraldarstellung eines Operators A




t. b. cont'd

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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