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Dirac-Notation und Messprozess (Aufgabe 17 und 19)
 
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Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 28. Mai 2015 14:09    Titel: Dirac-Notation und Messprozess (Aufgabe 17 und 19) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich habe zwei Probleme. Dazu habe ich den folgednen Link angefügt. Ich muss die Aufgaben 17 und 19 erledigen. Aufgabe 18 war kein Problem. ;)

http://www.physik.uni-bielefeld.de/~dahm/Files/theorie2/tp2-ss15-07.pdf



Meine Ideen:
Zu Aufgabe 17:

Für den ersten Erwartungswert erhalte ich soweit durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators:



Kommutieren der Zeitentwicklungsoperator und A miteinander?? Dann würden beide Zeitentwicklungsoperatoren wegfallen und das Skalarprodukt würde sich ggf. vereinfachen. Allerdings wüsste ich nicht weiter, falls beide Operatoren nicht miteinander kommutieren würden.

Zu Aufgabe 19):

a) Hier weiß ich nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeiten für die Messergebnisse ermitteln soll. Hängt das irgendwie mit dem Betragsquadrat der Koeffizienten von zusammen??? Erwartungswerrt und Standardabweichung sollte ich berechnen können.

zu b) Wie finde ich heraus, in welchem Zustand sich das System nach der Messung von A befindet??

zu c): Muss ich hier den Zeitentwicklungsoperator auf anwenden? Aber welcher Operator befindet sich dann im Exponenten des Exponentialoperators, A , B oder H ???

Zu den restlichen Aufgabenteilen fällt mir leider überhaupt nichts ein!!

Ich benötige dringend Hilfe!

Viele Grüße
Widderchen
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 29. Mai 2015 18:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

kann mir niemand behilflich sein? Ich komme bei den ersten Aufgabenteilen nicht weiter! grübelnd

Viele Grüße
Widderchen
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14422

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Mai 2015 18:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ob A und H kommutieren, kannst du doch selbst berechnen. Des Produkt der drei Operatoren kannst du durch Entwicklung der e-Funktion sowie Zusammenfassung zu iterierten Kommutatoren bestimmen. Ein Tip hierzu ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ich hatte den Kommutator bereits ermittelt. Ich bin mir nur nicht sicher, ob das Resultat korrekt ist. Ich erhalte:



Dieser Audruck ist nicht Null, also kommutieren die beiden Operatoren nicht. Um die Baker-Hausdorff-Formel verwenden zu können, muss [H,A] mit A und mit H kommutieren. Ich vermute mal, dass [H,A] mit A kommutiert, da man dies hier geschickt über die Bra-Ket-Notation und mittels Orthogonalität der Eigenfunktionen nachweisen könnte. Dass nun [H,A] mit H selbst kommutiert, muss wohl auch gelten, da ich sonst nicht den Hinweis mit der Baker-Hausdorff erhalten hätte. Big Laugh

Was bedeutet der Ausdruck in der Lieschen Entwicklungsformel, die ich auf der Wikipedia-Seite gefunden habe?

Ok, ich habe einfach die Definition des Entwicklungsoperators angewandt. Dann erhalte ich:

.

Nun habe ich die folgende Komutatorrelation für H^n A eingesetzt:
. Ist das soweit korrekt?

Dann erhalte ich nämlich:

(???) . Dazu habe ich nicht einmal die Hausdorff-formel benötigt.

Viele Grüße
Widderchen
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 15:50    Titel: Antworten mit Zitat

Deine Ansätze sehen zwar korrekt aus. Ich finde deine Heransgehensweise allerdings unnötig kompliziert. Du kannst doch einfach den Zeitentwicklungsoperator direkt auf deine Wellenfunktion wirken lassen, da sie ja bereits in Hamilton-Eigenfunktionen zerlegt ist. D.h.:

Dann sollte es ein leichtes sein zu berechenen.
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 16:13    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo ,

den Zeitentwicklungsoperator hatte ich doch schon bei der Berechnung des Skalarproduktes berücksichtigt, also macht das doch keinen wirklichen Unterschied, ob ich zuerst den Entwicklungsoperator auf Psi(0) anwende und dann den Erwartungswert berechne oder beide Operationen direkt in einem Zug ausführe, oder??

Ok, ich befolge deinen Ansatz: Dann stoße ich unter Verwendung der Exponentialoperator-Definition auf die Gleichungen bzw. . Ist das dann einfach das Produkt aus n-ter Potenz der Energieeigenwerte E_1 bzw. E_2 und der Eigenfunktionen Phi ???

Wenn das so einfach ist, dann habe ich tatsächlich unnötig kompliziert gedacht!! Big Laugh

Frage: Gilt dies dann auch für den Ket-Vektor von Psi(t) ???

Viele Grüße
Widderchen
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ich gaube diese Frage kannst du selbst beantworten. Du weißt doch dass gilt:

und

Dann kannst du doch schreiben
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 16:53    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ich erhalte den Erwartunswert: .

Und für den zweiten Erwartungswert erhalte ich:
.



Viele Grüße
Widderchen
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Das stimmt leider nicht ganz ist aber nahe dran. Erstens sollte dein Ergebnis eine Observable darstellen und muss somit reell sein. Zweitens sollte im Exponenten eine Energiedifferenz auftauchen. Hast du dich vielleicht beim Berechnen von vertan? Es sollte gelten

Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 17:32    Titel: Antworten mit Zitat

Genau diese Funktionen habe ich eingesetzt. Das Skalarprodukt ist doch antilinear bzgl. des ersten Argumentes und linear bzgl. des zweiten Argumentes, oder?? Das heißt, ich muss doch das komplex Konjugierte aller e-Funktionsterme im ersten Argument bilden, um diese aus dem Skalarprodukt herausziehen zu können??
Genau deswegen komme ich nämlich nicht auf ein reellwertiges Ergebnis! grübelnd
Oder ist dieses Skalarprodukt doch bilinear??
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Das Standardskalarprodukt der QM ist eine Sesquilinearform d.h. linear im reellen Anteil und semilinear im Komplexen. Das Braket sollte sich wie folgt berechnen



A^2 sollte noch einfacher zu berechnen sein und nicht von der Zeit abhängen, da
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 19:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, jetzt habe ich meine Fehler erkannt, den Teil habe ich nun verstanden!

Dass A^2 = a^2 * 1 ist, folgt doch aus der Vollständigkeitsrelation, oder bin ich wieder auf dem Holzweg??
Ich habe A^2 gebildet und erhalte nämlich:



Was mache ich bloß falsch? grübelnd

Der Erwartungswert sollte a^2 lauten.
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 20:07    Titel: Antworten mit Zitat

Entschuldige das stimmt auch nicht. Das würde nur stimmen, wenn wie man wie du sagst die Vollständigkeitsrelation benutzen könnte. Das geht allerdings nicht, da nur N und N+1 vorkommen und nicht alle anderen Zustände. Es ist allerdings in dieser Aufgabe so, dass nur N und N+1 eine Rolle spielen und alle anderen unwichtig sind. Deswegen kann man diese Aufgabe im Unterhilbertraum von nur N und N+1 lösen, wo dann die Vollstänigleitsrelation

gelten würde. Im Hilbertraum der Aufgabe gilt allerdings nur
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 20:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das habe ich mir auch gedacht. Aber der Erwartungswert lautet trotzdem a^2, das habe ich eben nachgerechnet!

Ich habe eine Frage zu aufgabe 19) d):

Was ist ???

Ich weiß, dass A den zweiten und den dritten Eintrag eines Vektors permutiert. Oder ist das wieder eine Eigenwertgleichung???
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 21:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube du hast die Äquivalenz von Matrix und Operatordarstellung noch nicht verstanden. Du kannst entweder alles als Matrizen (für Operatoren) und Vektoren (Zustände) schreiben oder du lässt es halt einfach so stehen wie in Aufgabe 1. Hier kannst du entweden die Zustände als Vektoren schreiben. Dann folgt



Das führt zu

analog



Oder du liest aus der Matrix A wieder die Darstellung wie in Aufgabe 1 aus. Das wäre dann

Beide Wege führen natürlich zum Ziel
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 30. Mai 2015 22:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also wenn ich alles richtig gemacht habe, dann sollten die Erwartungswerte für A und B

lauten.

Ich hoffe, dass stimmt soweit! grübelnd

Warum ist der erste Erwartungswert unabhängig von t, der zweite allerdings doch?? Offenbar ist dies von der Permutation der orthonormierten Basis durch die Operatoren abhängig!

Zu Aufgabe e): Um die Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen zu erhalten, muss ich doch die Betragsquadrate der Koeffizienten von A Psi(t) und B Psi(t) ermitteln, oder irre ich mich??

Und nochmals vielen Dank für deine Hilfe!! Thumbs up!
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 30. Mai 2015 22:51    Titel: Antworten mit Zitat

Widderchen hat Folgendes geschrieben:
Hallo,

also wenn ich alles richtig gemacht habe, dann sollten die Erwartungswerte für A und B

lauten.

Ich hoffe, dass stimmt soweit! grübelnd


Ja das stimmt! Thumbs up!

Widderchen hat Folgendes geschrieben:


Warum ist der erste Erwartungswert unabhängig von t, der zweite allerdings doch?? Offenbar ist dies von der Permutation der orthonormierten Basis durch die Operatoren abhängig!

Das liegt daran, dass



Observablen, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren, sind zeitunabhängig.

Widderchen hat Folgendes geschrieben:

Zu Aufgabe e): Um die Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen zu erhalten, muss ich doch die Betragsquadrate der Koeffizienten von A Psi(t) und B Psi(t) ermitteln, oder irre ich mich??

Du irrst dich leider. Um die Wahrscheinlickeiten zu erhalten musst du

bilden. Hierbei ist die Eigenfunktion des Operators A zum Eigenwert
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14422

Beitrag TomS Verfasst am: 31. Mai 2015 00:14    Titel: Antworten mit Zitat

Widderchen hat Folgendes geschrieben:
Um die Baker-Hausdorff-Formel verwenden zu können, muss [H,A] mit A und mit H kommutieren.

Nein, das ist nicht richtig, das Theorem gilt auch für nicht-kommutierende Operatoren. Aus der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel folgt für Ausdrücke der o.g. Form das Hadamard-Lemma; hier speziell


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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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