Trägheitsmoment einer Kugel auf einer Kreisbahn

Mineralw2345 · Anmeldungsdatum: 01.02.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

ich bin beim Nachdenken über eine starre Kugel mit Radius R und Masse m, die im Abstand r um ein Zentrum kreist, auf 2 Fragen gestoßen:
1. Ist das Trägheitsmoment wirklich anders, als das einer rotierenden Punktmasse?
2. Besteht die kinetische Energie aus einem reinem Rotationsteil (Satz von Steiner benutzen) oder kann man auch den translatorischen Teil des Schwerpunkts betrachten?

Meine Ideen:
Zu 1:
Mit dem Satz von Steiner habe ich ein Trägheitsmoment berechnet:

Das hängt ja nun vom Radius der Kugel, aber sollte doch im Prinzip so stimmen?

Zu 2:
Es gilt ja E_kin=E_trans+E_rot. Mein erster Ansatz war jetzt einen reinen Rotationsteil zu benutzen:

Wobei I ich I aus 1. genommen habe.
Andererseits ist ja E_trans eigentlich auch relevant weil der Schwerpunkt ja auch eine Geschwindigkeit v=w*r hat, damit wäre E_kin dann:

Wobei I wieder genauso gewählt wurde wie oben, da es ja immernoch dieselbe Drehachse ist.
Diese beiden Werte sind offensichtlich unterschiedlich, wo ist der Denkfehler?

Viele Grüße

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5358

Zu 1: Ja, das Trägheitsmoment entspricht nicht demjenigen einer rotierenden Punktmasse.

Zu 2: Du kannst die Bewegung entweder auffassen als

-eine reine Rotationsbewegung um das raumfeste Zentrum (dann mit dem Trägheitsmoment 7/5*m*R^2)
-oder dann als eine Translationsbewegung des Schwerpunkts plus eine Rotationsbewegung um den Schwerpunkt/Kugelmittelpunkt (dann mit dem Trägheitsmoment 2/5*m*R^2)

In beiden Fällen ergibt sich die gleiche kinetische Energie.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 1931

Hallo,

hier muss man sauber arauf achten, welches Bezugssystem man zugrunde legt. Die allgemeine Formel für die kinetische Energie eines starren Körpers lautet:

hierin bedeuten:

: die Winkelgeschwindigkeit des Körpers im Inertialsystem

: der Ursprung des körperfesten Koordinatensystem bezüglich des Inertialsystems

: der Schwerpunkt des Körpers bezüglich des körperfesten Systems

: Die Orte der Massepunkte bezüglich des körperfesten Systems, I ist also das Trägheitsmoment und E_rot die Rotationsenergie bezüglich der Achse, die durch den Ursprung des körperfesten Systems geht

Nehmen wir an, die Kugel dreht sich um den Ursprung des Inertialsystems und betrachten wir nun zwei Fälle:

1.

In diesem Fall ist

,

und es folgt:

wobei v die Geschwindigkeit des Kugelmittelpunkts im Inertialsystem ist

2.

= Kugelmittelpunkt
In diesem Fall ist

,

und

. Nun folgt:

Offensichtlich stimmen die beiden Ausdrücke überein.

Viele Grüße,
Nils

P.S.: zur Übung kannst du ja mal

auf den inneren Pol der Kugel setzen. Der 3. Term liefert nun ebenfalls einen Beitrag!