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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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 izzy Verfasst am: 15. Dez 2023 20:39 Titel: Trägheitsmoment eines Sterns |
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Meine Frage:
Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente l^{2}dV ) (mit Abstand l des Volumenelements dV von der Rotationsachse) fur einen Stern der Masse M und des Radius R. Die sphärisch symmetrische Dichteverteilung des Sterns werde beschrieben durch:
p(r) = (p0 (1 - r/R) r < R,0 r ? R.
Meine Ideen:
Einerseits hätte ich den Ansatz:
Aus Symmetriegründen sind die Trägheitsmomente alle gleich,
 d^{3}r =\frac{M}{\frac{3}{4}\pi R^{3} } \int_0^{2\pi} \! d\varphi \int_0^{p(1-\frac{r}{R}) } \! )
Ist das Falsch gedacht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 15. Dez 2023 20:45 Titel: |
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Die Dichte lautet doch
 = \rho_0 \cdot \left(1 - \frac{r}{R} \right))
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 15. Dez 2023 21:09 Titel: |
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 d^{3}r =\frac{M}{\frac{3}{4}\pi R^{3} } \int_0^{2\pi} \! d\varphi \int_0^{p(1-\frac{r}{R}) } \! )
Also so ?... |
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 09:57 Titel: |
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Ist das jetzt richtig oder wie würde es weitergehen |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 16. Dez 2023 10:16 Titel: |
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Du musst über das ganze Volumen der Kugel integrieren. Berechnet man das Trägheitsmoment bez. der z-Achse und verwendet Kugelkoordinaten, wäre der Abstand l aus Deinem ersten Beitrag
Aufgrund der radialen Symmetrie von rho ist das Trägheitsmoment nicht abhängig von der gewählten Drehachse, der Trägheitstensor ist das Trägheitsmoment multipliziert mit der Einheitsmatrix. |
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 11:12 Titel: |
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l^{2} d^{3}r =\int_V \! p(1-\frac{r}{R})l^{2} r^{2} dr \sin(\vartheta) d\vartheta d\varphi )
Also ist das das Integral, das ich berechnen muss?
Meine Vermutung vom Anfang war also richtig, dass die Trägheitsmomente alle gleich sind.
Ist das jetzt der richtige Ansatz? wenn ja welcher Integralgrenzen müsste ich nehmen ?
 d\vartheta d\varphi )
das müsste doch für Kugelkoordinaten stimmen oder? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 16. Dez 2023 12:49 Titel: |
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Nur kurz: Der Faktor l^2=r^2*sin(theta)^2 und dann noch die Integration über Kugelkoordinaten ergibt
\cdot r^2\sin^2\theta\cdot r^2\sin\theta\,\dd \varphi \,\dd\vartheta\,\dd r) .
Ich hoffe, ich vertue mich gerade nicht, aber ein r^5 im Ergebnis sollte von den Einheiten her stimmen.
Ich komme erst gegen Abend oder am Abend wieder dazu, hier reinzuschauen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 13:00 Titel: |
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Nochmal im Einzelnen.
Zu berechnen ist
 = \rho_0 \cdot \left( 1 - \frac{r}{R} \right))
 = r \, \cos\vartheta)
Das r-Integral reicht bis zum Radius R des Sterns. phi bzw. theta bezeichnen die Winkel um die z-Achse bzw. gegen die xy-Ebene (andere Konvention als oben). Der Integrand ist unabhängig von phi.
Die multiplikative Konstante in der Dichte hängt mit der Masse M wie folgt zusammen:
I bezeichnet das Trägheitsmoment bzgl. einer Rotationsachse durch den Mittelpunkt des Sterns. Es ist unabhängig von der Wahl dieser Achse.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Dez 2023 21:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 15:35 Titel: |
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Also jetzt mal eins nach dem anderen damit ich hier möglichst viel verstehe :
[quote=".[/quote]
In diesem Integral wäre es so, dass der Winkel  gar nciht hinten vorkommt, ist das ein Tippfehler oder ein Denkfehler meinerseits,
sowohl  wären dann ja nur 
also :
Würde ich das jetzt so ausrechnen würde ich auf :
*p_{0} }{30} \cdot 2 \pi ^{2} ) Kommen |
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 15:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nochmal im Einzelnen.
Zu berechnen ist
Das r-Integral reicht bis zum Radius R des Sterns. phi bzw. theta bezeichnen die Winkel um die z-Achse bzw. gegen die xy-Ebene. Der Integrand ist unabhängig von phi.
Die multiplikative Konstante in der Dichte hängt mit der Masse M wie folgt zusammen:
I bezeichnet das Trägheitsmoment bzgl. einer Rotationsachse durch den Mittelpunkt des Sterns. Es ist unabhängig von der Wahl dieser Achse. |
Danke, dass du das mit der Masse mal aufbringst, dass wollte ich auch noch wissen die ist mir irgendwie die ganze zeit sehr untergegangen gewesen. Wie würde das bei dir im nächsten schritt aussehen ?
So?:
\cdot r sin\varphi \cdot \int_0^R \! r^{2} dr )
(TomS: Bei mir andere Konvention mit theta)
Deine Integralgrenzen sind auch ganz anders, warum |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 18:05 Titel: |
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Über phi wurde schon entlang des Äquators integriert, daher das 2*pi (entspricht 360°). Über theta (nicht phi!) wird von Pol zu Pol integriert, daher von -pi/2 bis +pi/2 (entspricht -90° bis +90°). Und der Abstand l kommt quadratisch vor.
Dann: die von r abhängigen Funktionen müssen auch unter dem r-Integral stehen.
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 18:39 Titel: |
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\cdot r ^{2} r ^{2}sin^{2}\vartheta \cdot dr )
Passt das jetzt so?
Zuletzt bearbeitet von izzy am 16. Dez 2023 18:53, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 18:51 Titel: |
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Die Sortierung deiner Terme ist seltsam. Und die Grenzen des theta-Integrals sind noch falsch.
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 18:54 Titel: |
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Ja hab ich vor ner sekunde geändert, passt es jetzt ( das sortieren jetzt mal weg gelassen) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 20:41 Titel: |
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Ja.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 16. Dez 2023 21:11 Titel: |
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Hmm, ich glaube, da stimmt etwas mit theta nicht. Wenn theta der Winkkel zur xy-Ebene ist und von -pi/2 bis pi/2 integriert wird, müsste dann nicht noch ein Faktor cos(theta) hin, und der Abstand von der z-Achse wäre
Ist vielleicht meine Schuld, da ich oben reingequatscht habe. Bei mir war oben theta der Winkel zur z-Achse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 21:20 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Hmm, ich glaube, da stimmt etwas mit theta nicht. Wenn theta der Winkkel zur xy-Ebene ist und von -pi/2 bis pi/2 integriert wird, müsste dann nicht noch ein Faktor cos(theta) hin, und der Abstand von der z-Achse wäre
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Du hast recht.
Ich korrigiere bzw. kommentiere.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Dez 2023 21:36, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 21:26 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Ist vielleicht meine Schuld, da ich oben reingequatscht habe. Bei mir war oben theta der Winkel zur z-Achse. |
Nee, ich hab' nicht aufgepasst.
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 21:49 Titel: |
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Oh also was jetzt ? Ein Cosinus anstelle vom sinus?
also ?  \cos(\theta) ) ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 16. Dez 2023 22:06 Titel: |
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 \, r^2 \cos^2\vartheta )
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izzy
Anmeldungsdatum: 28.10.2023
Beiträge: 18
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| izzy Verfasst am: 16. Dez 2023 22:12 Titel: |
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Könnte mir jetzt noch einer von euch erklären warum eure Ansätze so unterschiedlich sind ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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