Kugel rollt in Mulde als harmonische Schwingung

Tom_ph19 · Anmeldungsdatum: 10.04.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich habe in Physik folgende Aufgabenstellung bekommen:

"Eine Vollkugel mit konstanter Dichte und Radius R rollt (ohne zu rutschen) in einer zylinderförmigen Mulde (Radius 5R).
Zeigen Sie, daß die Kugel für kleine Auslenkungen senkrecht zur Zylinderachse um die Gleichgewichtslage eine harmonische Bewegung mit einer Periode von T = 2*pi*sqrt(28R/(5g)) ausführt.

Meine Ideen:
Ich habe erst überlegt die Sache wie ein Fadenpendel zu betrachten, doch das stimmt mit meiner gefundenen Formel leider nicht überein.
Ich habe leider nicht einmal eine Idee wie man daran geht.

Die Worte tollt und Vollkugel und konstante Dichte klingen sehr nach Trägheotsmoment, aber wie bringt man das in Schwingungen mit rein?

Ich bin leider gerade ziemlich ratlos, wir haben das Thema Schwingungen erst seit 2 Vorlesungen und komme noch nicht so klar.

Könnte mir bitte jemand helfen?

Vielen Dank für alle Antworten

LG Tom

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5913

Um die Frequenz bzw. die Periode der Schwingung zu erhalten, wird ja irgendwie eine Gleichung der Form

benötigt. Aus der Konstanten k erhält man dann analog wie z.B. beim Federschwinger die Kreisfrequenz der Schwingung.

Ich würde mal annehmen, dass die Kugel in der Mulde um den Winkel

ausgelenkt ist. Dabei ist

der Winkel der Auslenkung aus der Senkrechten, betrachtet von der Muldenmitte aus. Die Situation ist dann vergleichbar zu der, wo sich die Kugel auf einer im Winkel

geneigten Ebene befindet. Nun kann man eine Bewegungsgleichung für die Kugel aufstellen. Betrachtet man z.B. eine Drehung um den Momentanpol der Kugel, so wirkt bezüglich diesem durch die Gewichtskraft ein Drehmoment

Tipp dazu: aufgrund des 5 mal grösseren Radius der Mulde im Vergleich zur Kugel könnte man denken, dass die Winkelbeschleunigung der Kugel gleich

sei. Dies ist aber nicht der Fall, die Winkelbeschleunigung ist gleich

. Dreht sich die Kugel einmal in der Mulde herum, hat sie sich nur 4 mal um die eigene Achse gedreht. Dies ist wichtig, um auf den korrekten Faktor 28/5 zu kommen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo Tom_ph19 und willkommen im Forum!

Eine Möglichkeit wäre auch, wenn das Konzept bekannt ist, die Erstellung der Lagrangefunktion der Rollkugel (Trägheitsmoment, Abrollbedingung) und damit der entsprechenden Schwingungsgleichung / Frequenz. (Wobei ich, vermutlich durch Rechenfehler, zu einem anderen Wert gelangt bin.)