Steiner: Kugel und Scheibe

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Hallo, hab folgende Aufgabe:
Eine Stange vernachlässigbarer Masse der Länge 6r verbindet eine Kugel mit einer Scheibe, beide mit Radius r und Masse m. Bestimmen Sie die Massenträgheitsmomente der Anordnung bei Rotation um die Drehachsen D1, D2 (senkrecht zur Zeichenebene9 und D3, D4 (in Zeichenebene)?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich kenne jetzt Deine Zeichnung nicht, deshalb kenne ich auch die Rotationsachsen nicht...

Aber trotzdem: Hast Du Formeln für die Trägheitsmomente der Körper selbst? Kennst Du den Steiner'schen Satz?
Dann mußt Du noch wissen, dass man Trägheitsmomente einfach addieren kann, wenn man mehrere Körper "gemeinsam" rotiert. Das folgt eigentlich direkt aus der Definition des Trägheitsmomentes.

Etwas eigene Arbeit mußt Du schon machen. Wink

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Also laut Zeichnung ist D1 links von der Stange und D2 rechts von der Stange. D1 ist die Kugel und D2 ist die Scheibe.
Als Formeln hab ich J1=m*s^2+Js=m*s^2+1/2*m*r^2 (für die Scheibe)
J2=m*s^2+2/5*m+r^2 (für die Kugel)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Das ist doch schon sehr gut!
Jetzt mußt Du nur noch J1 und J2 addieren, um das Gesamt-J raus zu bekommen. Und die jeweiligen s mußt Du noch bestimmen! Das ist einfach der Abstand Deiner neuen Drehachse zu den Schwerpunkten von Kugel bzw. Scheibe. Zum Glück ist der Schwerpunkt bei Kugel und Scheibe recht leicht zu finden, weil er einfach genau in der Mitte liegt.
Allerdings kann ich Dir ohne Zeichnung leider nicht dabei helfen, die Abstände zu finden. unglücklich

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Kann die Zeichnung leider nicht einscannen, da mein Scanner sich aufgeraucht hat. traurig

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Dann müßte mein s 3r sein, oder?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Wenn der Drehpunkt genau in der Mitte ist, vielleicht schon... Aber wenn die Stange 6r lang ist, dann ist der Mittelpunkt jeweils nochmal um ein r weiter entfernt, also 4r

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

So sieht aber das Bild aus, sprich es sind die Kugel und die Scheibe gegeben und über der Stange steht halt nur 6r. Klar, der Abstand ist 4r.

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Also ich hab jetzt 32,9 m*r^2 raus. Es soll aber 64,9 m*r^2 raus kommen

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Dann hast Du ja schon alles zusammen, oder?

Ich hab mir aber nochmal Deinen ersten Post durch gelesen: Wie genau ist die Drehachse? Soll das wirklich um die Mitte der Verbindungsstange sich drehen, oder um den Mittelpunkt jeweils eines der beiden Körper. Dann mußt Du nämlich anders rechnen und den Steiner'schen Satz nur auf den jeweils anderen Körper anwenden, dessen Schwerpunkt dann 8r von der Drehachse entfernt ist.
Dann noch eine Sache: Bei der Scheibe ist auch wichtig, ob die Drehachse senkrecht auf der Ebene steht, in der die Scheibe liegt, oder ob sie in der selben Ebene liegt. Da hast Du dann einmal 1/2mr² und einmal 1/4mr². Kannst Du da nochmal genau Deine Zeichnung anschauen?

Gruß
Marco

PS: Hast Du vielleicht ein Handy mit Kamera, dann könntest Du das vielleicht als "Ersatzscanner" verwenden. Meinen Uralt-Scanner hat's vor kurzem auch geschrottet. Da ist die Lampe kaputt gegangen! unglücklich

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Ok, hab es jetzt irgendwie gescannt
Nur wie bekomme ich das Bild eingefügt?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Wenn Du das als gif/jpeg/... hast, dann einfach unten auf "Durchsuchen...", die Datei suchen, dann auf "Attachment hinzufügen" und fertig.
Allerdings scheint das wirklich so gemeint zu sein mit 8r. 8² = 64 und dann kommt das doch ganz gut hin, oder?

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Ich versuche es mal.

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Ok, um D1 und D2 hab ich , aber die anderen beiden...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Das ist aber sehr groß geworden!

OK, Die D1 und D2 sollen jeweils mitten durch die beiden Körper gehen, dann ist das schon mal richtig!

Jetzt kommt D3. Wenn ich das richtig sehe, liegt diese Achse genau in der Verbindungsstange. Dann geht sie aber durch die beiden Schwerpunkte der Körper, also brauchst Du hier gar keinen Steiner'schen Satz.
Allerdings: Jetzt liegt die Achse genau in der Ebene der Scheibe. Wenn sie so liegt ist das Trägheitsmoment der Scheibe nicht mehr 1/2mr² sondern 1/4mr² (wie ich oben schon mal geschrieben hatte). Weißt Du warum?
Bei der vierten Achse mußt Du das Ergebnis von der dritten nehmen und mit dem Steiner'schen Satz das ganze nochmal um 1r verschieben. Das ist dann nicht mehr weiter schwer, oder?

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Ok, D3 hab ich. Bei D4 hab ich es nicht ganz verstanden. Lautet dann meine Gleichung:
J = 0,9*m*r^2 + ?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Wenn ich für die Scheibe 1/4mr² als J nehme komme ich aber nicht auf 0,9mr²...
Bei D4 mußt Du einfach den Steiner'schen Satz mit dem Ergebnis von D3 und einem s=1r anwenden.

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Habe jetzt für D4 folgendes:
J = 1/2*m*r^2 + m*r^2 + 2/5*m*r^2 + m*r^2

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Laut meiner Lösung wäre 0,9*m*r^2 richtig.
Ansonsten würde 0,65*m*r^2 raus kommen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Ich bin mir eigentlich mit den 0,65 ziemlich sicher... Aber der Rest stimmt, wenn ich es auch andersrum gemacht hätte: Ich hätte den Steinerschen Satz auf das Gesamte angewendet. Allerdings habe ich dann zweimal die Masse und so komme ich dann auf das selbe wie Du schon hast.
Woher stammt Deine Musterlösung?

Gruß
Marco

winkelmu · Anmeldungsdatum: 02.04.2006 Beiträge: 203 Wohnort: Uelzen

Von meinem Prof.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Das müßte ja dann so was sein:

//Edit: Wobei die Länger der Stange dabei egal ist. Die 8r kannst Du also streichen...