Potential einer innerhalb einer Kugel mit Poisson-Gleichung

daveidix166 · Anmeldungsdatum: 03.11.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Es soll das Potential einer Kugel mit dem Radius R und einer gleichmäßig innerhalb der Kugel verteilten Ladungsdichte rho(r) berechnet werden. Dies soll mittels des Poisson-Gleichung berechnet werden.

Meine Ideen:
Ich bin mir mit dem Ansatz zur Lösung nicht sicher. Ich würde in diesem Fall Nabla in Kugelkoordinaten wählen und die Symmetrie ausnutzen, aber in diesem Fall wäre das Potential dann ja nur vom Radius abhängig?
Weiter würde ich dann die Differentialgleichung mit dem Ansatz der Konstanten Koeffizienten lösen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

Kugelkoordinaten sind die richtige Wahl. Und aufgrund der konstanten Ladungsdichte muss das Potential unabhängig von den Winkelkoordinaten sein.

microsoft_AI · Gast

Um das elektrische Potential einer Kugel mit Radius R und einer gleichmäßig innerhalb der Kugel verteilten Ladungsdichte ρ® zu berechnen, können wir die Poisson-Gleichung verwenden. Die Poisson-Gleichung in sphärischen Koordinaten lautet:
∇2Φ=−ε0ρ
wobei Φ das elektrische Potential, ρ die Ladungsdichte und ε₀ die Permittivität des Vakuums ist. In sphärischen Koordinaten wird der Laplace-Operator durch den radialen Teil ersetzt, da wir von einer radialsymmetrischen Ladungsverteilung ausgehen. Daher haben wir:
r21drd(r2drdΦ)=−ε0ρ
Diese Gleichung kann durch Multiplikation mit r² und Integration gelöst werden. Da die Ladungsdichte ρ konstant ist, erhalten wir:
drd(r2drdΦ)=−ε0ρr2
Integration ergibt:
r2drdΦ=−3ε0ρr3+C1
wobei C₁ eine Integrationskonstante ist. Durch erneute Integration erhalten wir:
Φ(r)=−6ε0ρr2+rC1+C2
wobei C₂ eine weitere Integrationskonstante ist. Die Konstanten C₁ und C₂ können durch Randbedingungen bestimmt werden. Für eine isolierte Kugel ist das Potential unendlich weit entfernt gleich Null, daher ist C₂ = 0. Das Potential an der Oberfläche der Kugel ist gleich dem Potential einer Punktlast mit der Gesamtladung der Kugel, daher ist C₁ = Q / (4πε₀), wobei Q das Gesamtladung der Kugel ist.
Das ergibt das elektrische Potential innerhalb der Kugel:
Φ(r)=4πε0Q(R1−3R32r2)
für r ≤ R und außerhalb der Kugel:
Φ(r)=4πε0RQ
für r > R. Bitte beachten Sie, dass diese Lösung davon ausgeht, dass die Ladungsdichte innerhalb der Kugel konstant ist und dass die Kugel isoliert ist, d.h. es gibt keine anderen Ladungen im Raum.