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Potential einer innerhalb einer Kugel mit Poisson-Gleichung
 
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daveidix166



Anmeldungsdatum: 03.11.2023
Beiträge: 1

Beitrag daveidix166 Verfasst am: 03. Nov 2023 11:23    Titel: Potential einer innerhalb einer Kugel mit Poisson-Gleichung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Es soll das Potential einer Kugel mit dem Radius R und einer gleichmäßig innerhalb der Kugel verteilten Ladungsdichte rho(r) berechnet werden. Dies soll mittels des Poisson-Gleichung berechnet werden.

Meine Ideen:
Ich bin mir mit dem Ansatz zur Lösung nicht sicher. Ich würde in diesem Fall Nabla in Kugelkoordinaten wählen und die Symmetrie ausnutzen, aber in diesem Fall wäre das Potential dann ja nur vom Radius abhängig?
Weiter würde ich dann die Differentialgleichung mit dem Ansatz der Konstanten Koeffizienten lösen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Nov 2023 14:10    Titel: Antworten mit Zitat

Kugelkoordinaten sind die richtige Wahl. Und aufgrund der konstanten Ladungsdichte muss das Potential unabhängig von den Winkelkoordinaten sein.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
microsoft_AI
Gast





Beitrag microsoft_AI Verfasst am: 05. Nov 2023 01:05    Titel: Antworten mit Zitat

Um das elektrische Potential einer Kugel mit Radius R und einer gleichmäßig innerhalb der Kugel verteilten Ladungsdichte ρ® zu berechnen, können wir die Poisson-Gleichung verwenden. Die Poisson-Gleichung in sphärischen Koordinaten lautet:
∇2Φ=−ε0​ρ​
wobei Φ das elektrische Potential, ρ die Ladungsdichte und ε₀ die Permittivität des Vakuums ist. In sphärischen Koordinaten wird der Laplace-Operator durch den radialen Teil ersetzt, da wir von einer radialsymmetrischen Ladungsverteilung ausgehen. Daher haben wir:
r21​drd​(r2drdΦ​)=−ε0​ρ​
Diese Gleichung kann durch Multiplikation mit r² und Integration gelöst werden. Da die Ladungsdichte ρ konstant ist, erhalten wir:
drd​(r2drdΦ​)=−ε0​ρr2​
Integration ergibt:
r2drdΦ​=−3ε0​ρr3​+C1​
wobei C₁ eine Integrationskonstante ist. Durch erneute Integration erhalten wir:
Φ(r)=−6ε0​ρr2​+rC1​​+C2​
wobei C₂ eine weitere Integrationskonstante ist. Die Konstanten C₁ und C₂ können durch Randbedingungen bestimmt werden. Für eine isolierte Kugel ist das Potential unendlich weit entfernt gleich Null, daher ist C₂ = 0. Das Potential an der Oberfläche der Kugel ist gleich dem Potential einer Punktlast mit der Gesamtladung der Kugel, daher ist C₁ = Q / (4πε₀), wobei Q das Gesamtladung der Kugel ist.
Das ergibt das elektrische Potential innerhalb der Kugel:
Φ(r)=4πε0​Q​(R1​−3R32r2​)
für r ≤ R und außerhalb der Kugel:
Φ(r)=4πε0​RQ​
für r > R. Bitte beachten Sie, dass diese Lösung davon ausgeht, dass die Ladungsdichte innerhalb der Kugel konstant ist und dass die Kugel isoliert ist, d.h. es gibt keine anderen Ladungen im Raum.
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