Potential einer Kugelschale mit Poisson-Gleichung

daveidix1 · Anmeldungsdatum: 04.02.2024 Beiträge: 4

Meine Frage:
Es soll das Potential auf einer Kugelschale des Radius R mit homogener Ladungsdichte auf der Oberfläche mit Hilfe der Poisson Gleichung bestimmt werden.

Meine Ideen:
Ich kann die Ladunsgdichte mit Hilfe einer Delta Funktion vom Radius R darstellen, sodass die Gleichung außer für R gleich null ist. Wenn ich den Laplace operator, der nur von r abhängig ist, integriere und Randbedingungen ausnutze, dann erhalte ich innerhalb eine Konstante Phi=C1 und außerhalb Phi=-C2/R. Aber wie löse ich dies jetzt für die Kugeloberfläche selber?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Wenn du die Poissongleichung von R-epsilon bis R+epsilon integrierst, erhälst Du eine Bedingung für die Unstetigkeit der Ableitung von phi bei r=R. Damit verknüpfst du C1 und C2.

daveidix1 · Anmeldungsdatum: 04.02.2024 Beiträge: 4

Vielen Dank für die Antwort. Also ich verstehe zumindest erstmal die Idee hinter deinem Ansatz, aber bin mir nicht ganz sicher wie ich hier das Integral löse bzw. wie ich damit auch meine Konstanten verknüpfe. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du dies nochmal genauer ausführst

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

1. Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten hinschreiben.
Tipp: Die Version hier ist hilfreicher als andere.
2. Beides Seiten von R-eps bis R+eps integrieren.
Tipp: Vorher mit r^2 multiplizieren macht es etwas einfacher später.
3. Jetzt den Limes eps->0: Rechte Seite ist unabhängig davon, auf der linken tritt der Sprung der Ableitung auf.

daveidix1 · Anmeldungsdatum: 04.02.2024 Beiträge: 4

Das ergibt für mich noch nicht wirklich Sinn. Die rechte Seite ist doch nicht unabhängig von epsilon, denn wenn ich den Grenzwert bilde dann wird die ganze Rechte Seite null oder habe ich hier einen Denkfehler?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

daveidix1 · Anmeldungsdatum: 04.02.2024 Beiträge: 4

Wenn ich mit r^2 multipliziere bekomme ich schon eine Abhängigkeit von epsilon auf der rechten Seite und außerdem löse ich ja ein bestimmtes Integral also habe ich auch keine Integrationskontanten C1 oder C2.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583