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Potential einer Kugelschale mit Poisson-Gleichung
 
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daveidix1



Anmeldungsdatum: 04.02.2024
Beiträge: 4

Beitrag daveidix1 Verfasst am: 04. Feb 2024 18:58    Titel: Potential einer Kugelschale mit Poisson-Gleichung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Es soll das Potential auf einer Kugelschale des Radius R mit homogener Ladungsdichte auf der Oberfläche mit Hilfe der Poisson Gleichung bestimmt werden.

Meine Ideen:
Ich kann die Ladunsgdichte mit Hilfe einer Delta Funktion vom Radius R darstellen, sodass die Gleichung außer für R gleich null ist. Wenn ich den Laplace operator, der nur von r abhängig ist, integriere und Randbedingungen ausnutze, dann erhalte ich innerhalb eine Konstante Phi=C1 und außerhalb Phi=-C2/R. Aber wie löse ich dies jetzt für die Kugeloberfläche selber?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2024 19:35    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du die Poissongleichung von R-epsilon bis R+epsilon integrierst, erhälst Du eine Bedingung für die Unstetigkeit der Ableitung von phi bei r=R. Damit verknüpfst du C1 und C2.
daveidix1



Anmeldungsdatum: 04.02.2024
Beiträge: 4

Beitrag daveidix1 Verfasst am: 04. Feb 2024 19:58    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die Antwort. Also ich verstehe zumindest erstmal die Idee hinter deinem Ansatz, aber bin mir nicht ganz sicher wie ich hier das Integral löse bzw. wie ich damit auch meine Konstanten verknüpfe. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du dies nochmal genauer ausführst
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2024 21:07    Titel: Antworten mit Zitat

1. Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten hinschreiben.
Tipp: Die Version hier ist hilfreicher als andere.
2. Beides Seiten von R-eps bis R+eps integrieren.
Tipp: Vorher mit r^2 multiplizieren macht es etwas einfacher später.
3. Jetzt den Limes eps->0: Rechte Seite ist unabhängig davon, auf der linken tritt der Sprung der Ableitung auf.
daveidix1



Anmeldungsdatum: 04.02.2024
Beiträge: 4

Beitrag daveidix1 Verfasst am: 04. Feb 2024 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Das ergibt für mich noch nicht wirklich Sinn. Die rechte Seite ist doch nicht unabhängig von epsilon, denn wenn ich den Grenzwert bilde dann wird die ganze Rechte Seite null oder habe ich hier einen Denkfehler?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Feb 2024 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

daveidix1 hat Folgendes geschrieben:
Das ergibt für mich noch nicht wirklich Sinn. Die rechte Seite ist doch nicht unabhängig von epsilon, denn wenn ich den Grenzwert bilde dann wird die ganze Rechte Seite null oder habe ich hier einen Denkfehler?

Wenn auf der rechten Seite die Delta-Funktion steht ist das Ergebnis unabhängig von epsilon (solange eps>0). Da steht dann irgdendwas wie Q*R oder 4*pi*Q*R oder so. Um die korrekte Normierung hab ich mich ehrlich gesagt nicht gekümmert.
daveidix1



Anmeldungsdatum: 04.02.2024
Beiträge: 4

Beitrag daveidix1 Verfasst am: 05. Feb 2024 13:40    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich mit r^2 multipliziere bekomme ich schon eine Abhängigkeit von epsilon auf der rechten Seite und außerdem löse ich ja ein bestimmtes Integral also habe ich auch keine Integrationskontanten C1 oder C2.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Feb 2024 14:43    Titel: Antworten mit Zitat

daveidix1 hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich mit r^2 multipliziere bekomme ich schon eine Abhängigkeit von epsilon auf der rechten Seite und außerdem löse ich ja ein bestimmtes Integral also habe ich auch keine Integrationskontanten C1 oder C2.

Auf der Seite mit der delta-Distribution, trägt nur r=R bei. Da ist kein epsilon.

C1 und C2 hast Du doch schon vorer definiert für den Bereich innen und außen.
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