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Nachricht |
Clemens
Gast
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 Clemens Verfasst am: 07. Jan 2014 22:07 Titel: Wirkungsintegral, Integral über x Punkt Quadrat |
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Meine Frage:
Hallo zusammen, wir haben dieses Semester mit Pfadintegralen in QM begonnen und ich habe eine Frage zum Wirkungsintegral, das ja folgendermaßen definiert ist:
=\int_{t_a}^{t_b} \! L(\dot{x} ,x,t) \, \dd t )
Wie führe ich dieses Integral für eine freie Punktmasse aus?
=\frac{m}{2}\cdot\dot{x(t)}^2)
Also:
=\frac{m}{2} \cdot \int_{t_a}^{t_b} \! \dot{x(t)} \, \dd t = ?)
Meine Ideen:
Es muss rauskommen:
=\frac{m}{2}\cdot \frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}) |
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 07. Jan 2014 22:09 Titel: |
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der Punkt über x(t) ist ungeschickt, außerdem fehlt bei der 3. Formel das Quadrat, hoffe ihr versteht es.. :/ |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 07. Jan 2014 22:43 Titel: |
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Die Lösung erscheint mir falsch.
Eine freie Punktmasse verstehe ich als kräftefrei.
Dann ist die Geschwindigkeit aber unabhängig von der Zeit bzw. eben konstant. Dann aber ist das Wirkungsintegral trivial. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2014 08:19 Titel: |
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Du führst das Wirkungsintegral gar nicht aus!
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es sei denn, dich interessiert die Wirkung eines klassischen Pfades = die Lösung der klassischen Bewegungsgleichung; das hat aber nichts mit dem Pfadintegral zu tun
Dann wäre
 = v = \text{const})
und damit
 = v^2 \cdot (t_b - t_a))
]
Aber wie gesagt, in der QM führst du das Wirkungsintegral selbst nie aus, sondern das Pfadintegral, d.h. nicht ein Integral über einen Pfad, sondern über alle Pfade:
Das liefert dir den Propagator K, und der ist bis auf diverse Konstanten von der Form
 \sim \frac{ e^{i(x_b - x_a)^2 / (t_b - t_a)} }{ \sqrt{(t_b - t_a)} })
Explizit lösbar ist das Pfadintegral (also der Propagator) für das freie Teilchen, den harmonischen Oszillator, spezielle hochsymmetrische Mannigfaltigen wie die Kugelobefläche, SU(N) u.ä.
Im Falle des freien Teilchens läuft das Ganze auf ein unendliches Produkt Gaußscher Integrale hinaus.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Jan 2014 09:09, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2014 08:25 Titel: Re: Wirkungsintegral, Integral über x Punkt Quadrat |
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| Clemens hat Folgendes geschrieben: | | Hallo zusammen, wir haben dieses Semester mit Pfadintegralen in QM begonnen und ich habe eine Frage zum Wirkungsintegral ... |
Wenn das so ist, dann müssten die grundsätzlichen Ideen eigtl. in deinem Skript stehen. Ansonsten empfehle ich dir entweder die Feynman lectures oder natürlich ein frei verfügbares Skript; das hier sieht für den Einstieg recht gut aus
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/Pfadintegrale.pdf
(Du kannst - allerdings in einem englischsprachigen Forum - auch direkt mit van Hees diskutieren; siehe URL des PDFs)
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 08. Jan 2014 21:58 Titel: |
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Ok danke für eure Mühe, hat sich geklärt, man muss erst Euler-Lagrange lösen, dann die Lösung samt Anfangsbedingungen in das Wirkungsintegral einsetzten und dann kann man integrieren 
^2}{(t_a-t_b)^2} \, \dd t \\
<br />
= \frac{m}{2} \cdot \frac{(x_a-x_b)^2}{t_a-t_b}
<br />
)
doch wir brauchen diese Form zur expliziten Berechnung der Wellenfunktion |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2014 09:10 Titel: |
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| Clemens hat Folgendes geschrieben: | | Ok danke für eure Mühe, hat sich geklärt, man muss erst Euler-Lagrange lösen, dann die Lösung samt Anfangsbedingungen in das Wirkungsintegral einsetzten und dann kann man integrieren ;) |
Steht bei mir oben auch schon da
Nur ich versteh' ehrlich nicht, was das mit einem Pfadintegral zu tun hat.
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 09. Jan 2014 18:01 Titel: |
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Ich kann den Link nur so posten:
physik.uni-regensburg.de/forschung/richter/richter/media/teaching/AS-Zufallsmatrixtheorie/Dollinger_Tobias.pdf
Schon die erste Formel..
Wie die Wirkung mit der Phase des Propagators zusammenhängt steht auf Seite 33 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2014 18:22 Titel: |
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Ihr betrachtet da aber nur die semiklassische Näherung; da ist der Term niedrigster Ordnung natürlich gerade die klassische Wirkung; i.A. funktioniert das aber nicht
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 09. Jan 2014 18:40 Titel: |
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Wir hatten nicht genau diese Formel, wir hatten eine exakte Lösung eines harm. Oszillators mit van Vleck..
kenne mich noch nicht so gut aus, wir haben erst seit ca. einem Monat QM
Aber da sieht man dass die Wirkung eine Rolle spielt |
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 09. Jan 2014 19:18 Titel: |
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Der Propagator eines freien Teilchens ist bei uns:
 = \left( \sqrt{\frac{m}{i2\pi\hbar(t_b-t_a)}} \right)^3 \cdot exp\left(\frac{i}{\hbar}\cdot S(b,a)\right))
wobei S die Wirkung ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2014 19:51 Titel: |
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Ja, im gewissen Spezialfällen funktioniert das; und über die Sattelpunktsnäherung plus quadratische Terme kommt man auch schon recht weit.
Aber wie gesagt - i.A. hilft die integrierte Wirkung für eine klassische Trajektorie nicht viel weiter.
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 09. Jan 2014 20:13 Titel: |
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Ich will ja keine klassische Trajektorie beschreiben sondern die Wellenfunktion finden? Soweit ich das verstanden habe ist das keine Näherung sondern vollkommen exakt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2014 20:56 Titel: |
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Lass' uns mal deine Vorgehensweise zusammenfassen:
Gegeben ist
Du kennst einen klassischen Pfad (= die klassische Lösung)
)
Du berechnest
und hast somit eine Näherungslösung zum eigtl. Pfadintegral.
Nun überleg' dir mal folgendes: setze
Offensichtlich ist der lineare Term in xi identisch Null, denn so ist die klassische Lösung ja gerade definiert. Also können wir schreiben
wobei der zweite Term wiederum ein Integralausdruck ist, in dem (kleine) Fluktuationen um den klassischen Pfad betrachtet werden, die innerhalb des Integrals mindestens quadratisch auftreten.
Nun führen wir eine Variablensubstitution im Pfadintegral durch
Dann ist
Du siehst also, dass der von dir berechnete Term die nullte = klassische Näherung an das Pfadintegral ist. Man bezeichnet dies als Sattelpunktsnäherung oder auch Näherung der "stationären Phase". Der verbleibende Term beschreibt die Quantenfluktuationen um die klassische Lösung - und verschwindet i.A. nicht.
Schau mal hier
http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_phase_approximation
http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~lmi07/semi-classical-introduction.pdf - Seite 4
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jan 2014 23:51 Titel: |
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Eigtl. steht das in dem von dir geposteten Link auch - es geht um eine Näherung.
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 13. Jan 2014 20:42 Titel: |
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Also ich hab nochmal nachgefragt:
Wir hatten bis jetzt die quantenmechanische exakte (!) Lösung, das war keine Näherung, in der nächsten Vorlesung werden wir große Wirkungen betrachten und den semiklassischen Grenzfall betrachten.
Der Propagator des freien Teilchens war aber definitiv keine Näherung..
Der Link den ich gepostet habe hatte nichts mit unserer Vorlesung zu tun, er sollte nur zeigen dass die Wirkung durchaus eine Rolle spielt.
LG, Clemens |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 13. Jan 2014 21:38 Titel: |
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| Clemens hat Folgendes geschrieben: | | Der Propagator des freien Teilchens war aber definitiv keine Näherung. |
Ja.
Habt ihr geklärt, warum diese Berechnung im Falle des freien Teilchens exakt ist?
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Clemens
Gast
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| Clemens Verfasst am: 13. Jan 2014 22:54 Titel: |
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Ich habe etwas im Buch gefunden, und zwar haben wir die Phase mit der Wirkung verknüpft, was etwas willkürlich geschehen ist, Wir werden die Phase jedoch später eindeutig mit der Wirkung identifizieren.
Vermutlich steckt hier eine Näherung drin, ich dachte bis jetzt diese Stelle wäre exakt...
Danke,
Clemens |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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