Seminararbeit - gravitationsfreier Punkt

physicsfirst · Anmeldungsdatum: 19.06.2018 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll für meine Seminararbeit, für die 13te Klasse, einen mathematischen Beweis für einen gravitationsfreien Punkt zwischen 3 Massepunkten führen. Hierzu benötige ich ein Tool mit dem ich die Fläche zwischen den 3 Punkten (Dreiecksfläche) abscannen kann und somit an jedem beliebigen Punkt, in diesem Koordinatensystem, die dort wirkende Kraft auf den Körper zwischen den 3 Punkten bestimmen kann. Mit Geogebra komm ich da leider nicht weit, da ich mit Geogebra keine Kräfte berechnen kann.
Falls zu diesem Problem jemand eine Lösung bzw. Idee hat würde ich mich über Hilfe freuen, Danke!

Meine Ideen:
Bisher verwendet: Geogebra, mathematischer Ansatz FG = FG zwischen allen Punkten und der Versuch das ganze mit dem Taschenrechner zu lösen, würde zwar funktionieren, jedoch würde das viel zu viel Zeit in Anspruch nehmen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

physicsfirst.1 · Gast

Wir haben 3 Massen, die alle in einer Ebene liegen und somit ein Dreieck bilden. Nun müssen, um einen gravitationsfreien Punkt zwischen diesen 3 unterschiedlich großen Massen zu bestimmen, die Gravitationskräfte aller 3 Massen zusammen 0 ergeben. Heißt FG1 + FG2 + FG3 = 0 = FG4.
Und dieser Punkt null, muss an einem bestimmten Punkt im Koordinatensystem zu finden sein. Jedoch weiß ich nicht wie ich mit einem normalen Rechenprogramm wie Geogebra, diesen Punkt finden soll, da Geogebra nur x,y Koordinaten angibt und keine Kraftpunkte bzw. keine Kräfte an einem bestimmten Punkt.

Mit freundlichen Grüßen. Domi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Physicsfirst2 · Gast

Naja, ganz genau kann man diesen Punkt natürlich nicht nachweisen bzw. berechnen. Aber ich soll ihn halt so nahe wie möglich bestimmen und auch grafisch belegen, wo dieser Punkt in etwa liegt. Ist nicht ganz einfach aber deswegen ist es ja auch eine Seminararbeit 😉😅

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Im folgenden eine kurze Beweisskizze für die Existenz eines Gleichgewichtspunktes. Daraus ergibt sich auch sofort die Idee zu einer (numerischen) Lösung.

1) Die Gravitationskraft ist der Gradient eines skalaren Potentials. Die Existenz eines Punktes mit verschwindender Kraft ist äquivalent zur Existenz eines Extremums (oder eines Sattelpunktes) des Potentials.

2) Die Potentialfunktion ist die Summe dreier -1/r Terme. Das Potential ist also sicher überall negativ und hat demnach sicher (mindestens) ein Maximum < 0. Außerdem ist die Potentialfunktion überall stetig und differenzierbar, außer an den drei Polen.

Aus (2) folgt die Existenz eines Maximums, demnach folgt mir (1) die Existenz eines Gleichgewichtspunktes mit verschwindender Kraft; q.e.d.

Das explizite Finden des Gleichgewichtspunktes ist demnach äquivalent zum Finden eines Maximums von

wobei r und r_i jeweils Vektoren bezeichnen.

Die Beweisskizze hat noch eine Lücke; sie lässt zu, dass ein Maximum im Unendlichen liegt - was natürlich der Fall ist - und dass kein weiteres Maximum existiert. Letzteres muss noch ausgeschlossen werden.

EDIT - dazu folgende Beiwesidee: für eine symmetrische Situation mit identischen Massen an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks liegt das Maximum im Mittelpunkt; das ist sehr einfach beweisbar. Nun ist zu zeigen, dass bei einer stetigen Variation der Parameter (r_i, M_i) der Ort des Maximums eine stetige Kurve beschreibt, d.h. dass dieses Maximum nicht verschwindet. Dazu fällt mir sicher auch nich was ein.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Ich habe zu meiner Idee auch eine Frage im Matheboard formuliert:

Gegeben sei eine Funktion phi(r,a)

Außerdem sei vorausgesetzt, dass für bestimmte Werte von a die Menge E der Extrema und Sattelpunkte von phi exakt bekannt ist:

Bei infinitesimaler Variation der Paramater a beschreibt der N-te Wert in E eine infinitesimale Kurve

Für eine infinitesimale Variation kann die Gleichung

um die bekannte Lösung linearisiert werden.

Frage: welche Eigenschaften muss phi(r,a) haben, so dass man argumentieren kann, dass ein derartiger Punkt N aus E nicht verschwindet, d.h. dass die Kurve C_N keinen Endpunkt hat.

M.E. folgt dies aus Stetigkeit und Regularität; d.h. dass wenn die Orte der Massen sich stetig ändern und z.B. nicht zusammenfallen, die Anzahl der Punkte in E konstant bleibt.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Könnte man das nicht vielleicht irgendwie so zeigen (meine Mathematik-Vorlesungen liegen schon längere Zeit zurück, ist nur ein Gedankengang..):

Man betrachtet das Dreieck, auf dessen Eckpunkten die drei Massen liegen. Dies ist eine abgeschlossene Menge. Das Potential muss darauf, da es wie oben gezeigt durch 0 nach oben beschränkt ist, ein Maximum annehmen.

Nun muss man noch zeigen, dass das Maximum nicht auf dem Rand, also auf einer Verbindungsstrecke zwischen zwei Massen, liegen kann. Zumindest anschaulich gesehen kann ein Punkt auf dem Rand aber kein Maximum sein, da dort durch die dritte Masse der Gradientenvektor/Kraftvektor auf jeden Fall ins Innere zeigt. Liegt anderseits das Maximum im Innern, so muss dort der Gradient verschwinden.

PS: OK, da besteht noch das Problem der drei Eckpunkte, da dort das Potential nicht definiert ist...
PPS: Bitte um Entschuldigung, auch das obige Argument, dass das Maximum nicht auf dem Rand liegen kann, stimmt nicht, da der Gradient des Felds der dritten Masse nach aussen, nicht nach innen zeigt.

gnt · Gast

Numerisch ist das doch nicht schwer: Man nimmt das Kraftfeld, also das Vektorfeld f(x,y); davon bildet man die Norm, also norm(f(x,y)). Diese Funktion minimiert man für alle drei Mittelpunkte der Kanten des Dreiecks.
Plotten und berechnen sollte man das alles auf wolframalpha.com können.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

gnt · Gast

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Das funktioniert mit deinem Ansatz nicht, weil die Gleichgewichtspunkte nicht auf den Verbindungslinien der Massen liegen und schon gar nicht in deren Mitte. Man muss schon das gesamte Innere des Dreiecks betrachten. Und dann ist eine Nullstellensuche wesentlich effektiver als ein reines Abscannen des Gebiets.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

Ich arbeite auch nicht soviel mit Geogebra, aber wenn man etwas in die 3D-Grafik reinzoomt, beantwortet das meine Unklarheit: die beiden von Dir genannten Gleichgewichtspunkte sind Sattelpunkte, auf denen man sozusagen sitzen kann, ohne abzurutschen. Zwischen m1 und m2 dagegen ist es immer "abschüssig".

Mit einem anderen Programm lässt sich das Ganze von oben mit Höhenlinien noch klarer darstellen. Ob Geogebra das kann, weiß ich nicht.

Nun müsste man eben nur noch beweisen, dass es immer mindestens einen Sattelpunkt gibt.

gnt · Gast

Physicsfirst2 · Gast

Schon mal danke für die vielen Antworten und Lösungsvorschläge! Analytisch lässt sich dieses Problem zwar lösen, jedoch würde dass ewig dauern da man jeden möglichen Punkt x innerhalb zwischen den 3 Massen berechnen müsste und schauen müsste an welchem Punkt man am nächsten dem Wert Null ist. Das wäre irrsinnig viel Rechenarbeit, von daher meine Idee das womöglich mit einem Programm lösen zu können, welches mir die Kraft, an jedem beliebigen Punkt zwischen diesen 3 Massen, die auf meine Probemasse wirkt anzeigt.

Weiß leider nicht in wiefern das noch verständlich ist. Aber mein Seminarbetreuer hat gemeint es wäre schön wenn man eine Animation hätte, bei der es mir an jedem beliebigen Punkt an den ich klicke, die dort auf meine Probemasse wirkende Kraft sofort anzeigt.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

Dann passt ja doch Geogebra! Da kannst Du beliebig viele Punkte in die Grafik setzen oder nur einen Punkt mit der Maus hin- und herschieben, die Koordinaten werden gleich angezeigt.

Physicsfirst1.2 · Gast

Alles klar, dann werde ich es nochmal mit Geogebra versuchen, Danke! 😉
Nur die Frage: was muss ich da auswählen um es grafisch so darzustellen wie du es gemacht hast? Also mit den „Hügeln“? Geht das mit Geometrie, 3D Grafikrechner oder welchen?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

Ich hab hier "GeoGebra Classic 5.0.473.0-d (07 June 2018)" und dort die abgebildete Formel eingegeben sowie "Ansicht/3D Grafik" eingeschaltet.

Ich weiß nicht, was Du genau hast, ich hab's auch nur damit versucht, weil Du es offenbar kennst. Jedenfalls kann man damit durchaus weiterkommen.

Die Formel müsste wahrscheinlich noch verbessert werden, ich habe ja nur die Beträge der drei Kräfte addiert. Korrekt wäre es vektoriell, aber das ist ja nicht so schwierig.

Viele Grüße
Steffen

Physicsfirst1. · Gast

Super, funktioniert alles! Danke dir! Absolut hilfreich! 👍🏼😊

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

M.E. wäre es aussagekräftiger, das Potential zu plotten. Bei einem lokalen Minimum des Kraftbetrags muss die Kraft nicht notwendigerweise =0 sein, im Gegensatz zu einem Extremum des Potentials.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Ich würde das Potential in 2D mit Höhenlinien oder Farbe plotten.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Die einzige Stelle, bei der ich bei Steffen Bühler eine Formel sehe, ist sein erstes Bild. Und da steht, mal vom Vorzeichen abgesehen, das Potential.

Bei einer Seminararbeit würde ich mich nicht auf nur eine Darstellung beschränken. Eine Darstellung des Potentials und eine Darstellung der Kraft (oder der Feldlinien) erhöht sicher das Verständnis.

Hier eine Darstellung des Potentials im Sinne von TomS, bei der ich versucht habe, den rechten Gleichgewichtspunkt zu verdeutlichen. Das ist sicher noch verbesserungsfähig.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Stimmt!

Das hatte ich übersehen!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Schöne Darstellung.

Drei generelle Anmerkungen:

Ich weiß, der allgemeine Beweisansatz ist noch unfertig, aber den würde nicht aus den Augen verlieren.

Evt. sollte man diskutieren, dass eine statische Anordnung dreier Massen natürlich instabil ist, dass jedoch eine realistische stabile Lösung für drei Massen nicht allgemein berechenbar ist.

Außerdem stellt sich die Situation aufgrund der Bewegung der Massen für eine stabile Lösung nochmals anders dar.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

Solch ein Beweis dürfte auch den Rahmen einer Oberstufen-Seminararbeit sprengen. Eventuell soll der "Beweis" daher nur heuristisch mit einer Mathematiksoftware und verschiedenen Anordnungen dreier Massen geführt werden. Wäre natürlich interessant, die genaue Aufgabenstellung zu kennen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Der formale Beweis ist sicher nicht einfach, aber die Argumentation ist generell nachvollziehbar: für eine symmetrische Anordnung existiert ein Gleichgewichtspunkt; für eine sehr kleine Abweichung von der Symmetrie kann jedoch keine große Abweichung vom Potentialverlauf folgen; eine solche wäre jedoch notwendig, um den Gleichgewichtspunkt verschwinden zu lassen; damit ist zumindest klar, dass für nicht zu große Abweichungen von der Symmetrie die Existenz des Gleichgewichtspunktes zwingend gegeben ist (es bleibt zu klären, was “nicht zu groß” quantitativ bedeutet)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Unabhängig von der Aufgabenstellung würde mich ein Beweis auch sehr interessieren. Die Idee von TomS mit der stetigen Kurve, die bei der Variation der Massenverhältnisse und Positionen entsteht, finde ich schön. Leider kann ich nichts dazu beitragen... Ich halte es auch für denkbar, dass eine solche Kurve plötzlich endet und ein oder mehrere Gleichgewichtspunkte an anderen Orten entstehen.

Über das Problem müsste es aber doch sicher schon Literatur geben? Wahrscheinlich suche ich nach den falschen Begriffen, aber bisher fand ich nichts dazu.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Ich bin ein bisschen weiter gekommen.

Ich verkürze die Notation.

Es geht um

und Lösungen

Zunächst führe ich eine (mehrdimensionale) Taylorentwicklung um diese Lösung durch.

Die zweiten Ableitungen stecken in der Hesse-Matrix

mit

sowie

analog.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix

Im folgenden verschwinden einige Terme:

Es bleibt

Nun geht man wieder zurück zu

und setzt die Taylorentwicklung ein:

Unter der Voraussetzung, dass die rr-Hesse-Matrix im Minimum invertierbar ist, folgt aufgrund der Symmetrie in rr:

Dies bedeutet, dass die infinitesimale Änderung der Lösung für r als Funktion der infinitesimalen Änderung für a in der Hesse-Matrix kodiert ist.

Aus dem o.g. Ausdruck geht hervor, wann eine Parameteränderung am Punkt der Lösung kritisch ist:
1) wenn die rr-Hesse-Matrix dort nicht invertierbar ist.
2) wenn die ar-Hesse-Matrix dort Eigenvektoren zu Eigenwert Null hat

Bisher ist das nur eine grobe Idee. M.E. ist die Problematik komplizierter, z.B. wenn die erste Ableitung bereit singulär wird.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Critical_point_(mathematics)

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich habe mich auch mal kurz damit beschäftigt.

Angenommen es gibt einen Punkt 0 innerhalb eines Dreiecks mit den Punkten P1, P2,P3.

Dann entsprechen die Linien von O zu P1, P2, P3 den Radienlinien r1,r2,r3.

Dann könnte ich immer mein Koordinatensystem so ausrichten das die y Achse auf einer der Radienlinie liegt.
Ich habe in der Skizze r3 gewählt.

Siehe Skizze.

Ich erhalte aus

Die Massen sind stehts positiv und seien >0
Die Radien r1,r2 (positiv oder negativ angenommen) ist für die Gleichung irrelevant und deren quadrat ist sowieso stehts positiv.

Nun nehme ich den Winkel

im Quadrant 1 an .

daraus folgt das der cosinus von phi positiv ist.

und durch die Gleichung folgt. das der cosinus des Winkel phi,2 negativ sein muß und daher kann er im Quadrant 2 liegen.

alle zwei Winkel können im positiven sinus Bereich liegen.

stellt man die Gleichung für Summe aller Kräfte in y auf, zeigt sich das es immer einen radius r3 gibt, der nach unten auf den Punkt P3 hinführt und dessen Gravitationskraft die Anteile der yKräfte auf r1 und r2 aufhebt.

Damit hätte ich doch mal einen Beweis das es unendliche viele Dreiecke gibt wo es einen Punkt gibt.

Jetzt müsste ich noch beweisen das er in allen Dreiecken existiert.

werd ich mich noch weiter beschäftigen, oder sieht jemand jetzt schon einen Fehler.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Sorry angenommen es gibt einen Punkt O im Dreieck bei dem sich alle drei gravitationskräfte aufheben.

Ich muss auch noch überlegen was es bedeutet wenn der cosinus phi 2 grösser als 1 nach der formel ist.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich dachte ich soll zeigen das der Punkt O innerhalb eines Dreieck liegen kann. Die Existenz eines Punktes O ausserhalb des Dreieck ist doch wohl in der Unendlichkeit gegeben.