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Bewegungsgleichung: Drallsatz ohne festen Punkt?
 
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01detlef



Anmeldungsdatum: 01.06.2008
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Beitrag 01detlef Verfasst am: 01. Jun 2008 22:32    Titel: Bewegungsgleichung: Drallsatz ohne festen Punkt? Antworten mit Zitat

Hallo,

ich bräuchte einen tipp, wie ich diese Aufgabe am besten lösen kann, weil ich hier kein festen Punkt habe, um den ich meine Momentensumme (Drallsatz) bilden kann?

mfg

detlef



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dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 02. Jun 2008 02:25    Titel: Antworten mit Zitat

Magst du mal etwas genauer dazusagen, in welchem Zusammenhang du diese Aufgabe bekommen hast, und was du bisher schon kennst und weißt?

Ist das vielleicht eine Aufgabe in technischer Mechanik; und hast du schon einmal etwas von Momentanpol und/oder von Trägheitskräften gehört?

Oder ist das eine Aufgabe in theoretischer Physik, zu der noch der Aufgabentext fehlt; und hast du zum Beispiel schon etwas von Lagrange I oder Lagrange II, etc. gehört?
01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 02. Jun 2008 08:17    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ja genau, dass ist eine Aufgabe aus der tech. Mechanik und Momentanpol und Trägheitskräfte sind mit ein Begriff! Ich weiss nicht, wo der Momentanpol hier ist und kann deshalb den Drallsatz nicht aufstellen!Die Bewegungsgleichung soll auch in Matrixform aufgestellt werden!

detlef
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 02. Jun 2008 11:33    Titel: Antworten mit Zitat

Magst du dann mal genau sagen, was deiner Kenntnis nach ein Momentanpol ist? Und kennst du aus anderen Übungsaufgaben und deinen Aufschrieben und Büchern Vorgehensweisen, wie man mit so einem Momentanpol anfängt zu rechnen?

Hat das zum Beispiel etwas mit einem Punkt zu tun, um den sich etwas dreht?

Siehst du einen solchen Punkt in der Skizze der Aufgabenstellung? Darf so ein Punkt auch bewegt sein, also eine zeitabhängige Position haben?


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 03. Jun 2008 13:02, insgesamt einmal bearbeitet
01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 02. Jun 2008 16:43    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also ich schildere jetzt mal meine Gedanken:
Wenn der Stab im unteren Punkt fest gelagert wäre, dann würde ich den Drallsatz um den festen Punkt bilden:
J*phi'' = -l*F_c1 -2l*F_c2 Nun ist das aber kein Festlager und es kommt noch ein Teil beim Drallsatz dazu, glaube ich! Vllt kann man das ja auch ganz anders lösen?


Ich habe den ganz allgemeinen Drallsatz mal im Anhang!

danke



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schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 02. Jun 2008 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

Warum zerlegst du die Geschwindigkeit die ein Punkt am beweglichen Stab im Abstand r vom Auflager hat nicht in eine Translation und eine Rotation?
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01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 02. Jun 2008 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

hallo,

ähm ja, also ich weiss nicht so recht, wie ich das anstellen muss!Kenne das eigentlich immer so, dass man den Drallsatz um einen Momentanpol bildet! Hier ist ja auch Matrizenschreibweise gefragt, dachte vllt das es da einen anderen Weg gibt!

detlef
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 02. Jun 2008 20:41    Titel: Antworten mit Zitat

sollst du das mit Lagrange machen?
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01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 03. Jun 2008 08:53    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also Lagrange sagt mir bisher noch nix! Das hatten wir nicht! Würde das die Sache vereinfachen oder gibt es noch nadere Wege?

detlef
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 03. Jun 2008 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn das eine Aufgabe für Physikstudenten in theoretischer Physik wäre, würde man da wohl mit Lagrange drangehen. Da du aber sagst,

01detlef hat Folgendes geschrieben:

also Lagrange sagt mir bisher noch nix!

scheint ihr das in Technischer Mechanik üblicherweise direkt mit Kräften und Beschleunigungen sowie Drehmomenten und Drehimpulsänderungen zu machen.

In der Sprache eines Physikers ausgedrückt: Dann kannst du deinen Drallsatz (resultierendes Drehmoment ergibt Drehimpulsänderung) im Bezugssystem des Momentanpols aufstellen, und das ganze dann durch entsprechende Behandlung deiner Variablen mit den Gleichungen für die ebenfalls zeitlich veränderliche Position dieses Momentanpols (resultierende Kraft ergibt Impulsänderung des beweglichen Wagens, auf dem sich der Momentanpols befindet) in Verbindung bringen.

Magst du mal versuchen, das so mit Drehmomenten und Kräften anzusetzen, und das hier zeigen? Auf welche Gleichungen kommst du damit?
01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 03. Jun 2008 18:49    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ja klar würde ich das gerne machen, aber ich weiss echt nicht, wie ich den nicht vorhandenen Momentanpol berücksichtige und den Drallsatz anwende, wenn es eine Relativgeschw. des Bezugdrehpunktes gibt!?

Kannst du mir da vllt nochmal helfen, weil das ganze ja auch noch in Matrixform dargestellt werden soll!

detlef
dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 07. Jun 2008 02:25    Titel: Antworten mit Zitat

Magst du mal zeigen, wie du das machen würdest, wenn du das verwendest, was du bisher schon kannst?

Ich weiß zwar nicht, nach welchem Standardschema ihr das in TM üblicherweise macht, aber "Matrixform" klingt mir nach "alle Gleichungen für Momente und Kräfte aufstellen und übersichtlich ordnen".

Und wenn du dann am Ende eine Anzahl von Gleichungen aufgestellt hast, dann kannst du dieses System von Gleichungen auch in Matrixform schreiben, um es zu lösen.

--------------------

Ich glaube, eine Relativgeschwindigkeit des Momentanpols dürfte für das Aufstellen deiner Gleichungen egal sein. Nur Beschleunigungen des Momentanpols dürften sich eventuell in Trägheitskräften, ... niederschlagen können.

-----------------

Und magst du am besten mal die vollständige Aufgabenstellung mit dem gesamten Text hier reinstellen? Mir scheint (nach dem, was du hier bisher angedeutet hast), die enthält Hinweise und Vorgaben für die Vorgehensweise, die du mit deinen bisherigen Kenntnissen wählen kannst und solltest.
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 07. Jun 2008 07:43    Titel: Antworten mit Zitat

Im Schwerpunkt eines Systems hat man jedenfalls einen einfachen Zusammenhang zwischen dem Gesamtdrehimpuls und den Einzeldrehimpulsen von Schwerpunkt und Rotation um den Schwerpunkt:



wobei

L0 ...Drehimpuls des Schwerpunkts
Ls ...Drehimpuls um den Schwerpunkt

Vielleicht hilft das.

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01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 08. Jun 2008 13:41    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also erstmal die komplette Aufgabenstellung:

Auf einer horizontalen Ebene bewegt sich reibungsfrei ein Quader (Masse m). Der Quader trägt einen Stab(Länge 2l,Masse 4m), der über zwei Federn mit der Wand verbunden ist. Für x=0 und phi=0 sind die Federn entspannt. Der Einfluss der Gewichtskraft ist zu vernachlässigen.

okay, wenn jetzt der Stab im unteren Punkt fest wäre, dann würde der Drallsatz so aluten:

J*phi'' = -cos phi * l*F_c1 - cos phi * 2l*F_c2

Aber das kann ja so nicht stimmen, weil ja im oben geposteten Formelausdruck noch ein Term dazu kommen muss, da der Drehpunkt kein Festlager ist!

Ich komme nicht so recht weiter!

detlef
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Beitrag 01detlef Verfasst am: 08. Jun 2008 13:52    Titel: Antworten mit Zitat

http://www.bilder-hochladen.net/files/4o18-7-jpg-nb.html

[Siehe auch dasselbe Bild direkt im Anhang dieses Beitrags, schönen Gruß, dermarkus]

Das ist die lösung. Ich dachte, dass es vllt hilft, weil ich gar nicht weiss, wie man auf die zwei Gleichungen kommen kann?

detlef



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schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 08. Jun 2008 13:55    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn die Position des Drehpunktes mit R und ein Massepunkt am drehbaren Stab, welcher im Abstand r vom Drehpunkt liegt mit r bezeichnet wird, dann ist der Drehimpuls dieses Punktes dm



Kommst du damit weiter, indem du es ausmultiplizierst?

Du wirst darin den Drehimpuls des Schwerpunks, den Drehimpuls des Stabes in Bezug auf das drehbare Lager wie auch gemischte Glieder finden. Letzteres, weil eben der Drehpunkt nicht der Schwerpunkt ist.

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 09. Jun 2008 18:54, insgesamt einmal bearbeitet
01detlef



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 09. Jun 2008 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

hallo,

nee ich verstehe nicht, was ich mit dem Kreuzprodukt machen soll, da muss ich ja irgendwelche Vektoren aufstellen? Was sollen denn hier R und r sein?

Mir ist die Form nicht klar!

detlef
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Beitrag schnudl Verfasst am: 09. Jun 2008 18:46    Titel: Antworten mit Zitat

so wie im Bild meinte ich es.

Da ich nicht wusste, wie man die Drehimpulse zerlegen kann, habe ich alles zunächst von Grund auf betrachtet:

Drehimpuls ist immer



Wenn du das durchziehst, dann siehst du, welche Komponenten zum Drehimpuls dazu kommen, wenn . Über den Stab muss man nur noch integrieren.

Also (ich verwende als Ursprung den Beginn des roten R):



Betrag:



Summe (mit M=4m, D=2l, ):



Somit hast du mal den Drehimpuls des Systems in Abhängigkeit der freien Variablen R und



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Beitrag 01detlef Verfasst am: 10. Jun 2008 08:26    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

welcher Zusammenhang besteht denn zwischen der Drehimpuls-Formel und dem von mir allgemeinen Drallsatz? Weil momentan verstehe ich nicht so ganz, was ich jetzt weiter machen muss, um auf die gesuchte Lsg zu kommen?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 10. Jun 2008 14:30    Titel: Antworten mit Zitat

01detlef hat Folgendes geschrieben:
Hallo,

welcher Zusammenhang besteht denn zwischen der Drehimpuls-Formel und dem von mir allgemeinen Drallsatz? Weil momentan verstehe ich nicht so ganz, was ich jetzt weiter machen muss, um auf die gesuchte Lsg zu kommen?


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Beitrag 01detlef Verfasst am: 10. Jun 2008 15:04    Titel: Antworten mit Zitat

Also muss ich die Gleichung noch einmal integrieren oder wie? nach der Zeit?Mir ist das nicht wirklich klar, wie du dann zu dem Ergebnis kommen sollst?

detlef
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Beitrag schnudl Verfasst am: 10. Jun 2008 15:12    Titel: Antworten mit Zitat

Du musst den Ausdruck für L nach t differenzieren und mit der Summe der Momente gleichsetzen. Letztere sind durch die rücktreibenden Federkräfte bestimmt. Daraus erhälts du eine Differenzialgleichung, welche das System beschreibt. Die zweite Gleichung bekommst du aus der Kraftbilanz, ...

weitergerechnet habe ich selbst noch nicht. Probier mal, was rauskommt.

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 10. Jun 2008 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Wird aus dem R' dann nur ein R'' oder gibt es auch eine innere Ableitung?

Mal eine Frage nebenbei, wäre es mit Lagrange einfacher gewesen?

detlef
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 11. Jun 2008 05:22    Titel: Antworten mit Zitat

R hängt nur von t ab - somit gibt es keine inner Ableitung.

Ich denke, mit Lagrange wäre es einfacher gewesen.

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 11. Jun 2008 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

dann muss ich doch über alle R's nur noch ein Punkt mehr machen oder nicht? Und das soll das Ergebnis sein, ich blicke da nicht so wirklich durch, was du gemacht hast!


Wie würdest du denn mit Lagrange anfangen, ich bin gerade dabei mich da einzulesen!

detlef
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 11. Jun 2008 20:48    Titel: Antworten mit Zitat




Ja, so in etwa. Allerdings gibt es neben R auch den Winkel, welcher von t abhängt:







Für kleine Winkel haben wir dann als Näherung:



u.U. auch




Rechen- und LaTeX-Fehler sin hier sehr wahrscheinlich!

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 12. Jun 2008 08:29    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

und mit welcher Momentensumme muss das gleichgesetzt werden? Mit dem Drallsatz, den ich oben mal gepostet hatte? Aber wieso sollte man das gleichsetzen?

detlef
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Beitrag schnudl Verfasst am: 12. Jun 2008 12:25    Titel: Antworten mit Zitat

01detlef hat Folgendes geschrieben:
Hallo,

und mit welcher Momentensumme muss das gleichgesetzt werden? Mit dem Drallsatz, den ich oben mal gepostet hatte? Aber wieso sollte man das gleichsetzen?

detlef


Weil eben gilt



genauso wie



Du musst es mit der Momentensumme gleichsetzen, die für das verwendete Bezugssystem gilt. In diesem Fall war mein Ursprung links unten am Lager.

EDIT: Mittlerweise hab ich damit auch deine angegebene Lösung verifizieren können. Diese ist halt eine lineare Näherung, vor allem die Vernachlässigung des Quadrats der Winkelgeschwindigkeit...

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 16. Jun 2008 09:31    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also die Momentensumme soll ich vom Ursprung aus bilden und da wird die Bewegung (translatorische) nicht beachtet? Also nur die Federkräfte?

detlef
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Beitrag schnudl Verfasst am: 16. Jun 2008 10:59    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, wo entsteht bezüglich des gewählten Ursprungs noch ein Moment, ausser jenes der Federkräfte?
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Beitrag 01detlef Verfasst am: 17. Jun 2008 12:49    Titel: Antworten mit Zitat

hallo,

also

J*phi'' = -l^2*phi*cos - (2l)^2*phi*cos

Das soll ich damit gleich setzen und komme dann zum gesuchten Ergebnis?

detlef
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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Jun 2008 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

wie kommst du auf deine Beziehung? Wo geht x in das Drehmoment ein ? Und cos ?
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Beitrag 01detlef Verfasst am: 17. Jun 2008 16:20    Titel: Antworten mit Zitat

hallo,

wenn ich um den Drehpkt des Stabes drehe, an dem die Federn befestigt sind! cos kommt mit dem Hebelarm da rein!

detlef
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Jun 2008 17:02    Titel: Antworten mit Zitat

Auslenkung der Feder1:



Auslenkung der Feder2:




Drehmoment, Feder-1:



Drehmoment, Feder-2:



Gesamt:




so stehts auch in deiner Musterlösung!

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 17. Jun 2008 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

hmm okay, wenn ich das sehe, okay, aber mir ist der Weg noch nicht ganz klar!

Kannst du mir in Worten vllt nochmal erklären, wie du daran gegangen bist?

danke
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Jun 2008 18:02    Titel: Antworten mit Zitat

Drehmoment = Kraft * Kraftarm

Die Kraft ist bei kleinen Winkel-Auslenkungen nur in x-Richtung, der Hebelarm ist l bzw. 2l.

Kraft1:



Hebelarm: l

Also

M1:



Ebenso:


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Beitrag 01detlef Verfasst am: 17. Jun 2008 18:44    Titel: Antworten mit Zitat

Der Teil ist mir klar, aber der Teil mit dem L' ist mir nicht so ganz klar, was du da rein theoretisch gemacht hast! Also so in Worten!

detlef
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Jun 2008 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

ich habe den Ausdruck für L nach der Zeit (unter Berücksichtigung der Kettenregel) differenziert. Für kleine Winkel kann man dann sin x = x setzen, was auf die letzte Gleichung für L' führt.

Hier kann man nicht viel in Worte kleiden - man muss es einfach tun...

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Beitrag 01detlef Verfasst am: 18. Jun 2008 19:11    Titel: Antworten mit Zitat

okay vielen dank!

werde das alles in Ruhe nochmal durchrechnen!

detlef
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