Kraft auf Schwerpunkt und Drehmoment aus Kraft auf beliebige

manuel · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe einen beliebigen Körper mit Masse m und Trägheitsmoment J gegeben. Die Position vom Schwerpunkt ist der Vektor S. Auf diesen Körper wirkt in einen bestimmten Punkt P (Der Vektor von S nach P sei r) die Kraft F.
*Kann man daraus direkt die auf den Schwerpunkt wirkende Kraft und das Drehmoment um den Schwerpunkt berechnen?

Meine Ideen:
*Wenn dafür die Form des Körpers genauer bekannt sein muss, wie funktioniert es dann bei einer Kreisscheibe?
*Wenn auf den Körper nun mehrere Kräfte F1, F2, ... jeweils auf die Punkte P mit Lage r1, r2, ... zum Schwepunkt wirken, kann ich dann die jeweils auf den Schwerpunkt wirkenden Kräfte und die Drehmomente direkt addieren?
*Ist evtl Energieerhaltung ("F*s", 1/2m*v^2+1/2*J*t^2) hilfreich?
Sonst habe ich leider keine konkreten Ideen...

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Die Form ist egal, das Drehmoment ist Kraft mal Normalabstand zum Schwerpunkt.
Die Kraft im Schwerpunkt ist die gleiche wie im Punkt Px nur parallel verschoben hinzu kommt das Drehmoment.
Wenn auf den Körper mehrere Kräfte wirken kannsd du die Drehmomente skalar addieren aber die Kräfte vektoriell.

Siehe dazu Physikerboard Parallelverschiebungssatz
http://www.physikerboard.de/files/parallelverschiebungssatz_117.jpg

manuel · Gast

vielen dank für die antwort, das ist natürlich perfekt!

mich würde noch interessieren wie es sich dann mit den energien verhält.
wenn der körper von der kraft eine bestimmte strecke gezogen wird hat er ja kinetische energie und energie in der drehung. ist die kinetische energie dann die gleiche wie wenn die kraft die strecke lang immer in der mitte wirken würde? aber dann wäre die gesamtenergie hinterher ja größer wenn die kraft außen wirkt? wie kann man das erklären?

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Ich stehe schon seit einiger Zeit vor dem gleichen Problem.

Die Sache mit der Rotation ist soweit klar. Ich erreichne einfach den Trägheitstensor und bei den Kräften jeweils die Anteile, die in Richtung Rotationsachse wirken und errechne daraus dann per Kreuzprodukt mit dem Richtungsvektor zum Schwerpunkt das Drehmoment, welches dann geteilt durch den Tensor die Winkelbeschleunigung ergibt...

Nur die resultierende Translationskraft bereitet mir Kopfschmerzen.

Ich habe zwei Varianten betrachtet, für die ich jeweils ein Gegenbeispiel aufbringen kann, welches nach meinem physikalischen Empfinden nicht so recht hinhaut. Ich werde mal beide erläutern:

Variante 1:
Wie hier bereits gesagt wurde, kann man einfach die Kraft parallelverschieben und auf den Schwerpunkt anwenden. Hat man mehere Kräfte, addiert man diese einfach.

Nun habe ich mir aber folgendes Gegenbeispiel überlegt:

http://baldurius.ba.funpic.de/physik1.png

Die grünen Punkte sind hierbei die Massepunkte, die den Körper bilden. Das Kreuz in der Mitte ist der Schwerpunkt.
Der blaue Pfeil ist die einwirkende Kraft.

Mit dieser Variante würde einfach die Kraft in den Masseschwerpunkt verschoben werden und würde im roten Pfeil resultieren. Allerdings erscheint mir dies äußerst unlogisch. Ich denke, dass das Prinzip von Billardkugeln auch in der Schwerelosigkeit (in der wir ja hier gewissermaßen agieren) funktionieren müsste, wodurch rein logisch betrachtet der grüne Pfeil die resultierende Translation sein sollte.

Dies bringt mich zu dem Schluss, dass man vielleicht nur die Kraft in Richtung des Schwerpunktes nehmen sollte (mit Skalarprodukt leicht zu errechnen). Diesen Ansatz habe ich auch schon in diversen anderen Quellen gelesen.

Variante 2:
Betrachte ich nun den Ansatz, nur den Teil der Kraft zu nehmen, der in Richtung Schwerpunkt wirkt, so kann ich wieder ein Gegenbeispiel konstruieren, welches folgendermaßen aussieht:

http://baldurius.ba.funpic.de/physik2.png

Ich habe drei Massepunkte und auf die unteren Beiden wirkt eine Kraft nach oben und auf den einen oberen eine nach unten. Die Beträge der Kräfte sind gleich.

Nach diesem Ansatz müsste man die Kräfte auf die Achsen in Richtung Schwerpunkt projizieren und anschließend addieren, wodurch sich der rote Pfeil ergeben würde. Rein von der Logik her müsste aber eher so etwas herauskommen, wie der grüne Pfeil zeigt, was wieder eher für Variante 1 sprechen würde.

Wie man hier gut sehen kann, hänge ich ein wenig in einem Teufelskreis. Ich möchte nochmal betonen, dass ich die Rotation jetzt hier gar nicht betrachtet habe, da ch damit nicht so das Problem hab.

So... und als abschließender Gesichtsausdruck: grübelnd

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Zum Thema Energie.
Als Bezugssystem benötigen wir ein Inertialsystem.
Die zugeführte Schwerpunktsenergie ist die wirkende Kraft mal Schwerpunktsweg in Kraftrichtung.
Die zugeführte Rotationsenergie ist Kraft mal Rotationsweg in Kraftrichtung.
Du kannsd also das ganze aufsplitten du hast einen Weg aufgrund Rotation und einen Weg aufgrund Translation.

Oder die zugeführte gesamte kinetische Energie ist Kraft mal Gesamtweg (Rotation+Translation) in Kraftrichtung.

Energien werden skalar addiert.
Im Prinzip steck da nicht viel dahinter, häst du auch selbst draufkommen können wenn du einfach mal ein Körper betrachtest der Translaiert und zusätzlich noch um den Schwerpunkt rotiert und mit eine Kraft beschleunigt wird.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

@Baldarius

In deinen Varianten benutzt du Elemente die nicht starr miteinander verbunden sind.
die nicht im gegenseitigen Kraftaustausch sind.
Aber auch hier funktioniert die Parallelverschiebung, dabei muß du immer den Gesamtschwerpunkt aller Kugel betrachten, denn deine angewendete Parallelverschiebung handelt immer von Gesamtsystem der Kugelanordnung.

Die Parallverschiebung in Variante 1 und 2 ergibt dir direk Auskunft wie sich der Gesamtschwerpunkt bewegt auch wenn sich nur eine Kugel bewegt ändert sich der Schwerpunkt in der Gesamtbetrachtung genau nach der Parallelverschiebung.

Wenn der Körper starr ist gibt es keine Einzelbewegung und du nimmst sowieso automatisch die Gesamtbetrachtung her, lässt also deine Variantenbetrachtung gar nicht zu.

Es ist aber ein und dasselbe egal ob etwas aus beweglichen einzel Teilen besteht oder nicht. Es geht beim Schwerpunkt um die Gesamtbetrachtung.

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Ich habe vielleicht vergessen, dazuzuschreiben, dass das gesamte System als starrer Körper zu betrachten ist... d.h. auch wenn ich die einzelnen Massepunkte getrennt gezeichnet habe, sollen sie starr zusammenhängen.

Ich verstehe deine Aussage nicht ganz... beide Varianten basieren auf einer Gesamtbetrachtung des Systems mit dem Unterschied, dass ich einmal die gesamten Kräfte für die Translation nehme und das andere mal nur die in Richtung Masseschwerpunkt.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

okay also keine einzel elemente

zur Variante 1 willsd du die gesamte Kugelanordnung mit einer Billardkugel vergleichen?
dann sieht das so aus.

du kannsd nicht auf ein einzels Atom eine Kraft übertragen mit deinem makroskopischen Coe.

dann ergibt auch die Parallelsverschiebung das was du meinst und nicht den roten Pfeil, weil ein Teil der Kraft an der Kugel vorbeiwirkt, Nur Normalkräfte landen in der Kugel

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Wenn du aber einzelne Kugeln hast und übst eine Kraft auf die einzelne Kugel aus wie im Variante 1 dann wird sie auch nach oben fliegen und nicht in Richtung Schwerpunkt, genauso wird auch der Gesamtschwerpunkt nach oben beschleunigt wenn die Kugel in Variante 1 starr verbunden sind.
Plus Drehmoment das die Kugeln um den Schwerpunkt kreisen lässt.

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Du verstehst noch nicht genau, was ich mit den beiden Varianten ausdrücken will...

Beide Fälle behandeln einen starren Körper... nichts mit Einzelkugeln oder so... davon war nie die Rede.

Ich fasse meine Gedanken nochmal präzise zusammen:

Gegeben: Starrer Körper bestehend aus zusammenhängenden Massepunkten, auf die beliebige Kräfte einwirken können.

Gesucht: Translationsänderun des Gesamtkörpers

Variante 1: Ich nehme alle Kräfte, addiere diese und habe meine resultierende Kraft. Das ist das mit der Parallelverschiebung, was hier zuerst geschrieben wurde...
Gegenbeispiel:

http://baldurius.ba.funpic.de/physik1.png, da nach diesem Verfahren die rote Kraft entstehen würde, was unlogisch erscheint.
Folgerung: Nimm nur die Teile der Kräfte in Richtung Schwerpunkt (grüner Pfeil)... das führt zu Variante 2.

Variante 2: Ich nehme die Teile der Kräfte in Richtung Schwerpunkt (Projektion mittels Skalarprodukt) und addiere diese dann. Das ist genau das, was du in deinem letzten Beitrag nochmal geschrieben hast.
Gegenbeispiel:

http://baldurius.ba.funpic.de/physik2.png, da nach Variante 2 hier die rote Kraft resultieren würde, was wieder unlogisch erscheint.
Folgerung: Nimm Variante 1...

Fazit: Man dreht sich im Kreis.

Auf der einen Seite redest du von Parallelverschiebung und auf der anderen von Normalkräften in Richtung Schwerpunkt... das widerspricht sich meiner Meinung nach aber.

Trotzdem bisher schonmal danke für deine Mühe smile

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Ah okay...

Naja das war wohl genau der Punkt, der zu dem Widerspruch geführt hat.

Das mit der verlorenen Kraft ist ja nicht direkt so der Fall... die Kraft, die in nicht in Richtung Schwerpunkt zeigt, hätte ja z.B. die der Teil der Kraft sein können, die dann für die Rotation sorgt. Aber offenbar ist es nicht so...

Vielen Dank für deine Hilfe.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Ich habe nun endgültig verstanden wo dein Problem liegt. Du kannsd dir nicht vorstellen das die Kraft die nicht in den Schwerpuntk zeigt gleichzeitig Rotation um den Gesamtschwerpunkt und auch Translation des Gesamtschwerpunktes bewirkt.

Ich habe dir eine Skizze angefertigt, damit du mit dem Problem jetzt nicht auf weiter Flur alleine stehst.

Du siehst hier 2 Masse Kugeln mit der selben Masse gekoppelt durch eine masselose Stange.
Auf die untere Masse wirkt eine Kraft genau in der Richtung wie du es in Variante 1 haben willsd.
Siehe was passiert.
Wenn dich das interessiert dann wäre es nun deine Aufgabe mathematisch aufzuzeigen das der Parallelverschiebungssatz in dem Fall recht hat.
Denn er behauptet das das Gesamtsystem mit der Beschleunigung a= Kraft F durch 2m nach oben beschleunigt wird und gleichzeitg mit dem Drehmoment von F*r um den Schwerpunkt gedreht wird.
Das Trägheitsmoment um den Schwerpunkt der 2 Massen ist 2 m*r²

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Insgesamt bewegt sich der Schwerpunkt aber genau wie es der Parallelverschiebungsatz vorhersagt mit Fr und FT =F nach oben.

Du kannsd das auf beliebig viele Kugel erweitern, du wirsd aber nichts anderes erhalten, du hast nur einen Haufen mehr an Arbeit.

MFG

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Ah... ja das macht Sinn...

Es wäre nur noch eine kleine Frage dazu:
Es scheint auf den Bildern so, als würde die Kraft Ft nur zur Hälfte (0,5ds) auf die Translationsbeschleunigung einwirken. Oder lese ich das falsch?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

ds ist in eine Wegangabe und lässt somit Rückschlüsse auf die Beschleunigung zu.
Was du hier herauslesen kannsd ist das der Schwerpunkt nur 0.5 ds zurücklegt über dt, er beschleunigt also mit der halben Beschleunigung der unteren Masse.

die Beschleunigung der unteren Masse wäre.

wie wir in der Skizze erkennen können beschleunigt der Schwerpunkt mit
0.5 a

sprich

Der Parallelverschiebungssatz behauptet nun folgendes.
Ich kann die Kraft Ft in den Gesamtschwerpunkt parallelverschieben. Dabei entsteht zusätzlich ein Drehmoment. Die Kraft wirkt im Gesamtschwerpunkt und bezieht sich daher auf das Gesamtsystem.
Das Gesamtsystem besteht aus 2 Massen. er macht die Aussage das Gesamtsystem wird mit Ft beschleunigt. Die Beschleunigung ist daher

Gesamtmasse=2m

und genau das haben wir oben auch ermittelt.

Er macht weiters die Aussage das auf das Gesamtsystem zusätzlich eine Drehung um den Gesamtschwerpunkt erfolgt mit dem Drehmoment Ft*r gegen den Uhrzeigerinn.
das Tägheitsmoment des Gesamtsystems ist 2m*r² daher erhalten wir eine Winkelbeschleunigung von

und somit eine zusätzliche Beschleunigung der unteren Masse aufgrund Rotation von

aRotation=alpha*R=

Die obere Masse beschleunigt also

asges+aRotation=FT/m

auf die obere Masse wirkt die Rotationsbeschleunigung durch alpha gegen die Schwerpunktsbeschleunigung.

die untere Masse beschleunigt also mit.
asges-aRotation=null.

Du siehst also der Parallelverschiebungssatz stimmt eindeutig überein.

manuel · Gast

Alles klar, vielen Dank für die super Erklärungen!!

Baldurius · Anmeldungsdatum: 15.11.2011 Beiträge: 6

Vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe.

Ich werde das bei Gelegenheit nochmal durchrechnen smile