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Stiiv
Gast
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 Stiiv Verfasst am: 28. Jun 2023 21:02 Titel: Kann man ein Integral so schreiben? |
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Meine Frage:
Guten Tag,
ich lese momentan ein Buch über die Physik, und da kommt ein Ingeral vor, was mir recht suspekt vor kommt.
In dem Buch:
Dann bildet er das Integral
Dazu kommt noch, dass für  =>  einsetzt wird.
Sein ergebniss:
Meine Ideen:
Ich kenne aus der Schule etwas anders:
Die frage ist nun ob die Methode im Buch korrekt ist und wenn ja, woher kommt das  im Nennen? Und mir erschließt sich auch nicht warum das im ersten integral weg gelassen wird.
MfG Steffen 
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 28. Jun 2023 21:50 Titel: Re: Kann man ein Integral so Schreiben? |
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| Stiiv hat Folgendes geschrieben: |
Dazu kommt noch, dass für => einsetzt wird.
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Das ist sicher falsch, da links der Gleichung eine Geschwindigkeit, rechts eine Energie steht.
| Zitat: |
Sein ergebniss:
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Das ist wieder richtig, da Frequenz=Lichtgeschwindigkeit/Wellenlänge.
Man bekommt so bei Substitution einen Faktor (-1), das wird dann aber in den Integrationsgrenzen durch das reziproke Verhältnis von Frequenz und Wellenlänge wieder ausgeglichen.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 28. Jun 2023 22:02 Titel: Re: Kann man ein Integral so schreiben? |
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| Stiiv hat Folgendes geschrieben: |
Ich kenne aus der Schule etwas anders:
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Da die Frequenz im rechten Ausdruck doppelt vorkommt, kann es keine Energie sein, das ist Quatsch.
Wo hast du denn beides gefunden?
Viel Sinn macht aber beides nicht..
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Stiiv
Anmeldungsdatum: 29.06.2023
Beiträge: 4
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Stiiv
Anmeldungsdatum: 29.06.2023
Beiträge: 4
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| Stiiv Verfasst am: 29. Jun 2023 02:53 Titel: Re: Kann man ein Integral so schreiben? |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Da die Frequenz im rechten Ausdruck doppelt vorkommt, kann es keine Energie sein, das ist Quatsch.
Wo hast du denn beides gefunden?
Viel Sinn macht aber beides nicht.. |
Das habe ich aus der YouTube Videoreihe zum Buch:
Titel: QFT Vakuumerwartungswert Renormierung Negativer Druck
Min 3:53 bis ca. 7:30
Aber auch aus meine Schulzeit kenne ich das so:
Da wenn ich z.B. =7x) integriere schreibe ich ja auch
und nicht
So habe ich das jedenfalls gelernt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2023 07:17 Titel: |
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Die Rechnung im Buch ist schon ok, aber es wird wohl noch etwas dauern, bis der Autor dann zu welchem Punkt kommt … ?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 08:33 Titel: |
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Ich scheitere schon an Gleichung (8.21). Wenn ich die Gesamtenergie von Schwingungen betrachte, dann muss ich die doch addieren, nicht integrieren.
Wenn ich das Gesamtgewicht von Hanteln ausrechnen will, addiere oder integriere ich dann deren Gewichte?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 10:02 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Ich scheitere schon an Gleichung (8.21). Wenn ich die Gesamtenergie von Schwingungen betrachte, dann muss ich die doch addieren, nicht integrieren.
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Das ist kein Widerspruch, man jede beliebige Summe als Integral schreiben - vorausgesetzt der Integrand ist entsprechend gewählt.
Viele Grüße,
Nils
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 10:08 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Das ist kein Widerspruch, man jede beliebige Summe als Integral schreiben - vorausgesetzt der Integrand ist entsprechend gewählt. |
Das ist doch Quatsch. Was ist denn die Summe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2023 10:11 Titel: |
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Wenn du ein Photon hast, dann trägst dieses die Energie
Wenn du n derartige Photonen hast, dann folgt die Energie
Für verschiedene Frequenzen gilt
und da die Frequenzen infinitesimal dicht liegen d.h. ein kontinuierliches Spektrum bilden können, folgt
 \, h\nu)
Die ganze Überlegung läuft darauf hinaus, das Spektrum d.h. die Intensität der Frequenzen zu kennen, also wieviel Energie in jeder Frequenz steckt.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 10:17 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Das ist doch Quatsch. Was ist denn die Summe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1? |
unendlich.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 10:24 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Das ist doch Quatsch. Was ist denn die Summe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1? |
unendlich. |
Man könnte sogar fast sagen "mehr als unendlich", weil schon die Summe der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 unendlich ist.
Aber Du wolltest mir das sicher noch als Integral präsentieren?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 10:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Da scheinen mir die Einheiten nicht zu stimmen (Energie vs Energie pro Zeit).
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2023 10:58 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Da scheinen mir die Einheiten nicht zu stimmen (Energie vs Energie pro Zeit). |
Du hast natürlich recht.
)
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. Jun 2023 12:33, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 12:15 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Aber Du wolltest mir das sicher noch als Integral präsentieren? |
Sicher. Das ist das Lebesgue-Integral
mit dem Zählmaß µ.
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 29. Jun 2023 13:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Da scheinen mir die Einheiten nicht zu stimmen (Energie vs Energie pro Zeit). |
Du hast natürlich recht.
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Da stimmen die Einheiten, wenn n(\nu] als Zahl gesehen wird. Das hat aber keinen Sinn, und das Ergebnis wäre falsch. Die Dichtefunktion n[\nu] muss [s] als Einheit haben (Anzahl Zustände pro Frequenzintervall), dein erstes Integral war schon korrekt.
EDIT: Von wem ist denn das Buch? Nach Lehrbuch sieht das nicht aus.
Zuletzt bearbeitet von Ich am 29. Jun 2023 14:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 13:58 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Aber Du wolltest mir das sicher noch als Integral präsentieren? |
Sicher. Das ist das Lebesgue-Integral
mit dem Zählmaß µ. |
Das ist aber eine kalorienarme Antwort.
Ich dachte mehr an eine Umformung ausgehend von der Summe über alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und nicht einfach nur eine Integral-Form, die ich noch nie in meinem Leben benutzt habe oder benutzen musste.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2023 14:17 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich dachte mehr an eine Umformung ausgehend von der Summe über alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und nicht einfach nur eine Integral-Form, die ich noch nie in meinem Leben benutzt habe oder benutzen musste. |
Du erwartest als Antwort eine Vorlesung über Maßtheorie??
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 14:23 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich dachte mehr an eine Umformung ausgehend von der Summe über alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und nicht einfach nur eine Integral-Form, die ich noch nie in meinem Leben benutzt habe oder benutzen musste. |
Du erwartest als Antwort eine Vorlesung über Maßtheorie?? |
Ach nee, lasses. Brauch ich sowieso nie für nix.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2023 17:26 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Da scheinen mir die Einheiten nicht zu stimmen (Energie vs Energie pro Zeit). |
Du hast natürlich recht.
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Da stimmen die Einheiten, wenn n(\nu) als Zahl gesehen wird. Das hat aber keinen Sinn, und das Ergebnis wäre falsch. Die Dichtefunktion n[\nu] muss [s] als Einheit haben (Anzahl Zustände pro Frequenzintervall), dein erstes Integral war schon korrekt. |
Danke, stimmt, Kommando zurück.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 29. Jun 2023 17:57 Titel: |
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Um welche Aufgabenstellung geht es hier überhaupt? Um Nullpunktsschwingungen? Wenn die unendlich nahe beeinander liegen, dann hat doch schon ein endliches Frequenzband, meinetwegen des sichtbaren Lichts, unendlich viel Energie. Hier stimmt doch was nicht.
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 30. Jun 2023 06:19 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die unendlich nahe beeinander liegen, dann hat doch schon ein endliches Frequenzband, meinetwegen des sichtbaren Lichts, unendlich viel Energie. Hier stimmt doch was nicht. |
hmmm....
tatsächlich, wenn es für jede reelle Zahl eine Frequenz gibt, und die Summe der reellen Zahlen in einem endlichen Intervall schon unendlich ist, dann sollte auch die Summe der reellen Zahlen multipliziert mit einer Konstante (h) unendlich sein und man muss gar kein unendliches Intervall betrachten für die Vakuum-Katastrophe....
Im Rahmen des Threads stellt sich zumindest mir die Frage, wie man von der Summe über die Photonenenergien:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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mit der Annahme, dass:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
die Frequenzen infinitesimal dicht liegen
|
auf das hier kommt:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Wenn ich der Übersichtlichkeit halber
 = 1 )
setze, (bzw. den Fall betrachte, dass es für jede mögliche Frequenz genau ein Photon gibt), wird das Integral zu:
und da werden ja - zumindest nach meinem derzeitigen Verständnis - nicht die Frequenzen in dem jeweiligen Integrationsintervall summiert, sondern die Produkte
da kann man ja  nicht einfach = 1 setzen, weil das infinitesimal ist (?)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2023 07:15 Titel: |
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Ich verstehe die Fragen nicht ganz.
Das Zählmaß oben ist hier völlig irrelevant, da es lediglich die Mächtigkeit einer Menge bestimmt, also die Anzahl der Elemente. In unserem Fall wird ein anderes Maß verwendet.
Dann kann man nicht n=1 setzen, wie Ich oben anhand der Einheiten erklärt hat. Das Dumme ist - ich wollte das oben vermeiden, aber das war ungeschickt - dass n im Falle des diskreten bzw. des kontinuierlichen Spektrums unterschiedliche Einheiten hat. Ich versuche, das im Folgenden auszuräumen, d.h. die Notation zu präzisieren.
Es hilft evtl., den umgekehrten Fall zu betrachten, wie man ein diskretes aus einem kontinuierlichen Spektrum erhält.
 = N(\nu) \, \sum_k \delta(\nu - \nu_k) = \sum_k N(\nu_k) \, \delta(\nu - \nu_k) = \sum_k N_k \, \delta(\nu - \nu_k) )
 \, h\nu = \int_0^\infty d\nu \, N(\nu) \, \sum_k \delta(\nu - \nu_k) \, h\nu = \sum_k N_k \, h\nu_k )
D.h. das diskrete Spektrum ist einfach ein Spezialfall.
Dabei ist
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Jun 2023 13:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das Zählmaß oben ist hier völlig irrelevant, da es lediglich die Mächtigkeit einer Menge bestimmt, also die Anzahl der Elemente. In unserem Fall wird ein anderes Maß verwendet.
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Beim Zählmaß oben ging es um ein anderes Thema, das hatte mit der eigentlichen Aufagbe nichts zu tun.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2023 14:02 Titel: |
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Mir war das schon klar.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 01. Jul 2023 07:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Dann kann man nicht n=1 setzen, wie Ich oben anhand der Einheiten erklärt hat. Das Dumme ist - ich wollte das oben vermeiden, aber das war ungeschickt - dass n im Falle des diskreten bzw. des kontinuierlichen Spektrums unterschiedliche Einheiten hat. Ich versuche, das im Folgenden auszuräumen, d.h. die Notation zu präzisieren.
Es hilft evtl., den umgekehrten Fall zu betrachten, wie man ein diskretes aus einem kontinuierlichen Spektrum erhält.
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Okay....
In dem von mir betrachteten Fall war ja N = 1 für alle 
Wenn ich dann nur das kontinuierliche Frequenzintervall zwischen 0 und 1 betrachte, ist dann
 = \int_0^1 d\nu \, n(\nu) \, h\nu = \int_0^1 d\nu \, \sum_{x\epsilon[0,1]} \delta(\nu - x) \, h\nu = \sum_{x\epsilon[0,1]} hx = \infty \:\:?)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2023 09:14 Titel: |
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Ja - aber das zeigt doch nur, dass das Spektrum im kontinuierlichen Fall geeignet zu behandeln ist.
Zunächst ohne den Umweg über delta-Funktionen
 \, h\nu = n_0 \int_{\nu_0}^{\nu_1} d\nu \, h\nu < \infty)
letzteres mit
 = n_0)
jedoch nicht
 = N_0 \sum_{\nu_0 < \zeta < \nu_1} \delta(\nu - \zeta))
Das ist aber nicht erst ein Problem der delta- Distribution, das erkennt man bereits, wenn man diese zum Beispiel durch Rechteckfunktionen darstellt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 03. Jul 2023 08:00, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 01. Jul 2023 15:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Hat die Summe links nicht genauso viele aber größere Summanden und sollte damit größer sein?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
letzteres mit
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ja, das war ja mein ursprünglicher Gedanke, als ich gestern morgen schrieb:
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
und da werden ja - zumindest nach meinem derzeitigen Verständnis - nicht die Frequenzen in dem jeweiligen Integrationsintervall summiert, sondern die Produkte
da kann man ja nicht einfach = 1 setzen, weil das infinitesimal ist (?) |
wenn man natürlich mit der Deltafunktion ) multipliziert, wird das Produkt von etwas unendlich Kleinem mit etwas unendlich Großem irgendwie 1.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Das ist aber nicht erst ein Problem der delta- Distribution, das erkennt man bereits, wenn man diese zum Beispiel durch Rechteckfunktionen darstellt. |
Von welchem Problem sprichst Du?
Ich hatte den Eindruck, dass die Deltafunktion ein Problem löst, nämlich, dass man in einem Integral nach meinem Verständnis nicht die Funktionswerte aufsummiert, sondern die Funktionswerte multipliziert mit der infinitesimalen Größe .
Ein Integral über eine Funktion liefert mir ja die Fläche unter der Kurve der Funktion. Die ist in einem endlichen Intervall, falls dort die Funktion nur endliche Funktionswerte annimmt, endlich.
Diese Fläche wird beim Integrieren nach meinem Verständnis unterteilt in Rechtecke mit der Fläche . Das sind zwar unendlich viele, aber deren Fläche ist unendlich klein, daher kann was endliches rauskommen.
Wenn man aber die aufsummiert, dann addiert man die Abstände der Funktion von der -Achse.
Die sind endlich, daher ist die Summe über unendlich viele davon unendlich.
Ich hab folgendes Bild im Kopf: wenn ich mit einem unendlich dünnen Stift eine endliche Fläche mit parallelen Strichen ausmale, dann ist die Linie unendlich lang....
Die Länge der Linie ist die Summe der Funktionswerte, die Fläche wäre das Integral über die Funktion.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2023 15:42 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Hat die Summe links nicht genauso viele aber größere Summanden und sollte damit größer sein? |
Du hast recht, der Index war falsch, hab’s korrigiert.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | wenn man natürlich mit der Deltafunktion multipliziert, wird das Produkt von etwas unendlich Kleinem mit etwas unendlich Großem irgendwie 1. darstellt. |
Das ist nicht der Punkt, man darf bei der Integralschreibweise ohnehin nicht einzelne Terme an isolierten Punkten betrachten. Am besten denkt man sich das rein formal.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Von welchem Problem sprichst Du?
Ich hatte den Eindruck, dass die Deltafunktion ein Problem löst, nämlich, dass man in einem Integral nach meinem Verständnis nicht die Funktionswerte aufsummiert, sondern die Funktionswerte multipliziert mit der infinitesimalen Größe .
Ein Integral über eine Funktion liefert mir ja die Fläche unter der Kurve der Funktion. Die ist in einem endlichen Intervall, falls dort die Funktion nur endliche Funktionswerte annimmt, endlich.
Diese Fläche wird beim Integrieren nach meinem Verständnis unterteilt in Rechtecke mit der Fläche . Das sind zwar unendlich viele, aber deren Fläche ist unendlich klein, daher kann was endliches rauskommen.
Wenn man aber die aufsummiert, dann addiert man die Abstände der Funktion von der -Achse.
Die sind endlich, daher ist die Summe über unendlich viele davon unendlich.
Ich hab folgendes Bild im Kopf: wenn ich mit einem unendlich dünnen Stift eine endliche Fläche mit parallelen Strichen ausmale, dann ist die Linie unendlich lang....
Die Länge der Linie ist die Summe der Funktionswerte, die Fläche wäre das Integral über die Funktion. |
Die delta-Funktion löst zunächst das Problem, dass man das diskrete und das kontinuierliche Spektrum einheitlich mittels eines Integrals darstellen möchte. Dafür zahlt man aber einen Preis - die delta-Funktion; so anschaulich, wie du dir das denkst, ist es nicht.
Ich meinte aber ein anderes Problem, nämlich dass eine unendliche Summe über delta-Funktionen auftritt, was offensichtlich Käse ist. Dass das problematisch ist, erkennt man bereits mittels der Rechteckdarstellung
 = \frac{1}{\epsilon} \, \chi_\epsilon(\nu - \zeta))
wobei die charakteristische Funktion chi in einem Streifen der Breite epsilon den Wert 1 hat, sonst 0. Damit gilt für das Integral d.h. die Fläche unter dem Rechteck
 = 1)
Betrachtet man nun N Photonen in diesem Frequenzintervall, so kann man derartige Darstellungen der delta-Funktion wie folgt einführen
 = \frac{1}{\epsilon} \, \chi_\epsilon(\nu - \nu_k) = \frac{N}{\nu_1 - \nu_0} \, \chi_\epsilon(\nu - \nu_k))
Legt man die Punkte k innerhalb des Intervalls geeignet, so liegen die N Rechtecke für N Funktionen überlappungsfrei und lückenlos nebeneinander, d.h.
 = 1)
 = \frac{N}{\nu_1 - \nu_0})
Und damit kann man auf diese Weise offensichtlich nicht unendlich viele Photonen einbauen, weil dieser Term divergiert. Ich wollte nur sagen, dass dieses Problem nicht erst durch die seltsamen Summe über delta-Funktionen entsteht, sondern dass schon die Idee an sich problematisch ist.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 03. Jul 2023 07:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Hat die Summe links nicht genauso viele aber größere Summanden und sollte damit größer sein? |
Du hast recht, der Index war falsch, hab’s korrigiert.
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Die Gleichung stimmte doch auch für  , sofern das größer 0 ist?
dass die Summe unendlich ist, liegt ja wohl eher an  als an dem Faktor  ?
Dann ändert sich ja bezüglich der Unendlichkeit nicht viel, wenn ich den durch den kleineren Faktor ersetze, oder nicht?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die delta-Funktion löst zunächst das Problem, dass man das diskrete und das kontinuierliche Spektrum einheitlich mittels eines Integrals darstellen möchte. Dafür zahlt man aber einen Preis - die delta-Funktion; so anschaulich, wie du dir das denkst, ist es nicht.
|
Wenn man z.B. Wikipedia glauben darf, löst die delta-Funktion dieses Problem nicht wirklich, weil die nicht lokal integrierbar ist und eine entsprechende Darstellung in einem Integral nur symbolisch zu verstehen ist.
| Zitat: | Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals
 an der Stelle f, also  = f(0)) , handelt. |
Und offensichtlich sind die Darstellungen nicht einheitlich, die erscheinen nur so. Was man daran sieht, wenn ich die Darstellung des diskreten Spektrums mittels Summe über Deltafunktionen auf die des kontinuierlichen anwende.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich meinte aber ein anderes Problem, nämlich dass eine unendliche Summe über delta-Funktionen auftritt, was offensichtlich Käse ist.
|
Woran wird offensichtlich, dass das Käse ist?
Weil die Summe nicht endlich ist?
Das liegt doch nicht an der delta-Funktion, sondern daran, dass es in einem kontinuierlichen Spektrum überabzählbar viele Funktionswerte auch auf einem endlichen Intervall gibt.
Davon schreibe ich eigentlich die ganze Zeit und frage, wie das mit der gewählten Integraldarstellung, bei der für ein endliches Intervall ein endlicher Wert rauskommt, zusammen passt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich wollte nur sagen, dass dieses Problem nicht erst durch die seltsamen Summe über delta-Funktionen entsteht, sondern dass schon die Idee an sich problematisch ist. |
Welche Idee?
Die eines kontinuierlichem Spektrums, bei dem in einem Intervall jede Frequenz eine Photonenzahl > 0 hat?
Oder dass das die Summe der Photonenenergien in einem endlichen Intervall eines solchen Spektrums eine endliche Gesamtenergie hat?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 03. Jul 2023 08:14 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Hat die Summe links nicht genauso viele aber größere Summanden und sollte damit größer sein? |
Du hast recht, der Index war falsch, hab’s korrigiert.
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Die Gleichung stimmte doch auch für , sofern das größer 0 ist?
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Ja, aber die Ungleichung stimmt nicht. Sorry, musste nochmal korrigieren.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Die delta-Funktion löst zunächst das Problem, dass man das diskrete und das kontinuierliche Spektrum einheitlich mittels eines Integrals darstellen möchte. Dafür zahlt man aber einen Preis - die delta-Funktion; so anschaulich, wie du dir das denkst, ist es nicht.
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Wenn man z.B. Wikipedia glauben darf, löst die delta-Funktion dieses Problem nicht wirklich, weil die nicht lokal integrierbar ist und eine entsprechende Darstellung in einem Integral nur symbolisch zu verstehen ist. |
Man kann das Problem mathematisch schon allgemein lösen, aber das ist ziemlich abstrakt. Im vorliegenden Fall ist es letztlich auch unnötig, da in der Natur schlicht kein exakt diskretes Spektrum existiert, d.h. die Darstellung mittels regulärer Funktionen ist sinnvoll, der Grenzfall des diskreten Spektrums nur mathematisch interessant (so wie in der Quantenmechanik ebene Wellen und delta-Funktionen mathematisch praktisch aber physikalisch letztlich nicht wirklich sinnvoll sind).
Also statt vom mathematischen Artefakt des diskreten Spektrums auszugehen, betrachtet man besser gleich ein kontinuierliches, reguläres Spektrum.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Und offensichtlich sind die Darstellungen nicht einheitlich, die erscheinen nur so. Was man daran sieht, wenn ich die Darstellung des diskreten Spektrums mittels Summe über Deltafunktionen auf die des kontinuierlichen anwende. |
Müssen sie ja auch nicht. Mathematisch ist nur wichtig, dass die Integrale im Grenzfall sinnvoll konvergieren, und physikalisch existiert ohnehin nur ein kontinuierliches Spektrum; jede Spektrallinie hat eine endliche Breite, kein Photon ist exakt monochromatisch; das sind immer nur mathematische Idealisierungen.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich meinte aber ein anderes Problem, nämlich dass eine unendliche Summe über delta-Funktionen auftritt, was offensichtlich Käse ist.
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Woran wird offensichtlich, dass das Käse ist? |
Daran, dass sowohl die Summe bzw. das Integral über überabzählbar viele bzw. dichte Peaks sinnlos sind,
 \sim \int_{\nu_0}^{ \nu_1} d\zeta \, \delta(\nu - \zeta) )
als auch anhand des von mir oben skizzierten sinnlosen Grenzfalls der divergierenden Rechteck-Darstellung.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Das liegt doch nicht an der delta-Funktion, sondern daran, dass es in einem kontinuierlichen Spektrum überabzählbar viele Funktionswerte auch auf einem endlichen Intervall gibt. |
Aber dieses kontinuierliche Spektrum ist an sich kein Problem. Nur gewisse divergente Grenzfälle sind ein Problem, insbs. wenn der Wert der Dichte divergiert.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Davon schreibe ich eigentlich die ganze Zeit und frage, wie das mit der gewählten Integraldarstellung, bei der für ein endliches Intervall ein endlicher Wert rauskommt, zusammen passt. |
Indem im einfachsten Fall
 < \infty)
(was regulärere Darstellung der Delta-Funktion ohne Grenzübergang einschließt) und der Forderung
 \, f(\nu) < \infty )
für physikalisch relevante Funktionen f.
Der Grenzfall einer oder abzählbar vieler delta-Funktion ist mathematisch beherrschbar. Der Grenzfall überabzählbar vieler delta-Funktion ist mathematisch und physikalisch sinnlos.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich wollte nur sagen, dass dieses Problem nicht erst durch die seltsamen Summe über delta-Funktionen entsteht, sondern dass schon die Idee an sich problematisch ist. |
Welche Idee?
Die eines kontinuierlichem Spektrums, bei dem in einem Intervall jede Frequenz eine Photonenzahl > 0 hat? |
Letztlich ja.
Weil n keine Photonenzahl sondern eine Photonendichte ist; siehe auch die Einheiten. Die Photonenzahl ist letztlich auch immer ein Integral über ein Frequenzintervall.
 = \int_{\nu_0}^{\nu_1} d\nu \, n(\nu))
Und die Photonenzahl exakt einer Frequenz ist dann
 = \int_{\nu_0}^{\nu_0} d\nu \, n(\nu) = 0)
Nun kannst du zwar die Idee einer Photonenzahl je einzelner Frequenz „retten“ indem du auf diese Frequenz eine delta-Funktion setzt und über ein winziges nicht-verschwindendes Intervall integrierst, aber das funktioniert eben nicht mehr, wenn die betrachteten Frequenzen auch noch dicht sein sollen - siehe die sinnlosen Grenzfälle.
Schau dir dazu einfach nochmal die o.g. Terme an: Du steckst in ein beliebig kleines Frequenzintervall unendlich viele Photonen und unendlich viel Energie rein. Das ist doch sinnlos.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 03. Jul 2023 22:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich wollte nur sagen, dass dieses Problem nicht erst durch die seltsamen Summe über delta-Funktionen entsteht, sondern dass schon die Idee an sich problematisch ist. |
Welche Idee?
Die eines kontinuierlichem Spektrums, bei dem in einem Intervall jede Frequenz eine Photonenzahl > 0 hat? |
Letztlich ja.
Weil n keine Photonenzahl sondern eine Photonendichte ist; siehe auch die Einheiten. Die Photonenzahl ist letztlich auch immer ein Integral über ein Frequenzintervall.
Und die Photonenzahl exakt einer Frequenz ist dann
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Okay, das hört sich sinnvoll an, (auch wenn ich es noch nicht vollkommen durchschaut habe). Der Fehler steckt wohl in der Annahme monochromatischer Photonen. Tatsächlich summiert man keine Einzelfrequenzen (multipliziert mit h und Photonenzahlen) auf, sondern Frequenzintervalle, auf denen eine bestimmte Photonendichte vorliegt. Also keine Summe von überabzählbar vielen "Strichlängen" (Frequenzwerten, die reellen Zahlen entsprechen), sondern von Flächen (Frequenzintervalle multipliziert mit Photonendichten, wobei man die Intervalle infinitesimal klein werden lässt ( )).
Das entspricht meiner Vorstellung vom Integrieren.
Muss ich noch etwas wirken lassen/drüber nachdenken, aber erst mal
danke, 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 03. Jul 2023 23:04 Titel: |
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Gerne
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Tatsächlich summiert man keine Einzelfrequenzen (multipliziert mit h und Photonenzahlen) auf, sondern Frequenzintervalle, auf denen eine bestimmte Photonendichte vorliegt. |
Genau. Außer beim rein diskreten Spektrums, das aber nur ein (eher künstlicher) Spezialfall ist.
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