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Integral mit der Deltafunktion berechnen (endliche Grenzen)
 
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cryse



Anmeldungsdatum: 31.05.2014
Beiträge: 10

Beitrag cryse Verfasst am: 31. Mai 2014 17:45    Titel: Integral mit der Deltafunktion berechnen (endliche Grenzen) Antworten mit Zitat

Hallo alle miteinander!
Ich bin völlig neu hier, und hab auch direkt mal ne Frage. Hab schon verschiedenes mithilfe der Suchfunktion gefunden, aber keines hat mir irgendeine Erleuchtung gebracht.

Also wie der Titel schon sagt geht es um das berechnen eines Integral mit der Delta-Funktion. Leider blicke ich das ganze nich so wirklich.

Also ich soll folgendes Integral berechnen:



Wie muss ich da jetzt fortfahren? Und was würde sich ändern wenn meine Grenzen jetzt von "minus-Unendlich" bis "Unendlich" sind?

Mit freundlichen Grüßen,
cryse
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 31. Mai 2014 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ganz simpel:

Du hast eine Deltafunktion im Integral.
Sie ist von der Form .

Schau auf die Grenzen:
Gilt Obere Grenze > a > Untere Grenze? (Falls gerade der umgekehrte Fall gilt, kann man den Integrationsbereich ja gerade umkehren in dem man die Grenzen vertauscht und ein Minus vor das Integgral schreibt).
Falls nein so ist das Integral Null.
Falls ja so setzt du a in die neben der Deltafunktion stehende Funktion ein.

Konkret also in deinem Fall:
2 liegt zwischen 4 und -1, also setzt du 2 in das Polynom ein.
Das Integral ist also identisch zu (2^3 + 2*2 - 2).

Für den Fall das du Grenzen von -Unendlich bis Unendlich hättest würde sich gar nichts ändern, denn die Deltafunktion ist symbolisch so definiert, dass sie gerade überall ausser im Nullpunkt gleich Null ist. Ob du dann den Integrationsbereich noch weiter ausdehnst ist für den Wert des Integrals völlig egal.
Jannick



Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107

Beitrag Jannick Verfasst am: 31. Mai 2014 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist ziemlich basic und sollte eigentlich auf wikipedia zu finden sein. Für die Delta-Distribution gilt

Falls oder hängts von der genauen Definition ab, aber ich glaube der Fall ist jetzt nicht so wichtig. In deinem Fall ist es egal, ob man die Grenzen bis unendlich ausdehnt.
cryse



Anmeldungsdatum: 31.05.2014
Beiträge: 10

Beitrag cryse Verfasst am: 31. Mai 2014 19:14    Titel: Antworten mit Zitat

Oh wow!
Vielen Dank!
cryse



Anmeldungsdatum: 31.05.2014
Beiträge: 10

Beitrag cryse Verfasst am: 01. Jun 2014 02:17    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt hab ich das ja einigermaßen Verstanden glaube ich, komme aber bei diesem Problem nicht weiter:


Also wie forme ich das delta passend um? Ich habe mir bereits diese Eigenschaften angeschaut, und überlegt wie ich das passend umformen könnte. http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Eigenschaften

Laut Wolfram Alpha kommt da 25/4 raus
Ich bin leider viel zu schlecht darin :/
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 01. Jun 2014 03:06    Titel: Antworten mit Zitat

Wo liegt das Problem?
Der Punkt "Hintereinanderausführung" sollte doch weiterhelfen?!
cryse



Anmeldungsdatum: 31.05.2014
Beiträge: 10

Beitrag cryse Verfasst am: 01. Jun 2014 03:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ja tut es doch. Vielen Dank smile
Ich hab echt ein Brett vorm Kopf
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18265

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jun 2014 07:52    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, im Allgemeinen geht es um ein Integral der Form



Dazu tragen alle Nullstellen von g(x) bei, die im Inneren des Intervalls [a,b] liegen.

In deinem Fall findest du die Nullstellen mittels der Lösungen der quadratischen Gleichung



Du kannst dann das Argument der Deltafunktion schreiben als



Vorausgesetzt es liegt keine doppelte Nullstelle vor, kannst du dir folgendes überlegen: in der Umgebung der ersten Nullstellen x_1 kannst du im zweiten Faktor x durch x_1 ersetzen, d.h.



Der zweite Faktor ist hier einfach eine Konstante. Du führst eine neue Integrationsvariable



ein und substituierst



Und dieses Integral über y kannst du wieder ganz normal lösen.

Beachte: die Punkte ... stehen für die Terme, die du aus der zweiten Nullstelle x_2 erhältst.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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