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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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 bloebb Verfasst am: 25. Jul 2017 10:25 Titel: Kinetische Energie, Integral |
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Hallo,
ich habe noch eine Frage zur kinetischen Energie. Und zwar geht es um das Video der TU Wien zu diesem Thema: https://www.youtube.com/watch?v=MwMYJyWtABQ 8:48 Uhr bis 24:10 Uhr.
Es wird ausgegangen von der allgemeinen Formel für die Arbeit:
mit  und  ergibt sich:
Das ist ein Kurvenintegral. Da man damit nicht arbeiten kann, muss es in ein Zeitintegral umgewandelt werden:
mit  ergibt sich:
Danach wird ein Trick zwischengeschoben, wo mit der Produktregel gearbeitet wird:
 = \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} = 2 * \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt})
}{dt} = 2 * \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt})
}{dt})
}{dt})
Wendet man das ergebnis des Tricks auf das Integral an, erhält man:
}{dt} \ dt)
}{dt} \ dt)
Ab hier habe ich Probleme. Hier ist dann von einer Substitution die Rede. So grundsätzlich weiß ich, was eine Substitution ist. Man nimmt etwas koplexes und ersetzt es durch eine Variable, nach der dann integriert wird. Aber was genau wird hier im Video substituiert? Und wie kommt beim Integral die obere Grenze  zustande? Das Ergebnis all dessen soll dann sein:
)
) ist aber nicht das, was innerhalb des Integrals steht, also nicht was integriert werden soll, sondern es stellt die Information dar, wonach integriert werden soll. Darauf wird dann auch mit dem folgenden Einschub darauf hingewiesen:
Meine Frage ist also: wie wird hier substituiert und wie kommt beim Integral bei der oberen Grenze das  zustande? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. Jul 2017 18:15 Titel: |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | | Meine Frage ist also: wie wird hier substituiert |
Substitution:
Einsetzen in Energiegleichung:
)
uA und u0 erhätst Du, indem Du zunächst das "du" bestimmst. Dazu leitest Du die Substitution nach v ab:
und das über v integrierst:
Daraus ergibt sich für die untere Grenze
und für die obere Grenze (die Du ja eigentich nur wissen wolltest)
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 15:43 Titel: |
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Zuerst mal vielen Dank für deinen Eintrag.
Ich versuche mal, deine ersten 4 Zeilen detaillierter hinzuschreiben.
Substitution mit:  mit  als Funktion von t
Ableitung der Substitution nach dt: 
Umstellung der Ableitung: 
Intergral umschreiben: }{\frac{1}{2 * [\vec{v}]} \ du} * \frac{1}{2 * [\vec{v}]} \ du = \frac{m}{2} * \int_{u_0}^{u_A} \ d(u) = \frac{m}{2} * u|_{u_0}^{u_A} = \frac{m}{2} * (u_A - u_0))
Ich hoffe, das stimmt soweit. Jetzt muss ich mir noch den Rest deines Eintrags anschauen.
EDIT: ich musste die Zeile mit der letzten Formel noch editieren. Hatte dort 2x das du und ein * vergessen.
Zuletzt bearbeitet von bloebb am 26. Jul 2017 16:01, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 15:52 Titel: |
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Den Rest verstehe ich leider nicht. Warum mache ich dann ein  ? Das u ersetzt ein beliebigen Inhalt, da kann alles mögliche drinnen stehen, z. B. a * b * c
Gibt es eine Internetseite, die mehrere derartige Beispiele zeigt? Vielleicht verstehe ich das dann besser. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 16:32 Titel: |
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ich verstehe dein Problem nicht angenommen. du schreibst eine Substitution
dann entspricht
 ) das ist beides dasselbe
als Beweis
das nach v differenziert ergibt
Produktregel nach v differenziert
}{dv}=1*v+v*1=2*v -> d (v*v)=2*v*dv )
siehe übereinstimmung
d(v*v)=dg
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 17:18 Titel: |
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| Zitat: | Ableitung der Substitution nach dt:
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da fehlt die innere Ableitung
für was du das überhaupt ableitest verstehe ich auch nicht.
_________________
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 17:25 Titel: |
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Ich habe jetzt im Google nach "bestimmtes integral substituieren" gesucht und http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/2.2_Integration_durch_Substitution gefunden. Die Beispiele 4 und 5 sind für uns interessant.
Dort wird bei den Berechnungen der neuen Grenzen scheinbar gar nicht mehr differenziert oder integriert. Statt dessen werden scheinbar die alten Grenzen nur noch in die Substitution (in meinem Fall ) eingesetzt.
Da hier eine kinetische Energie berechnet wird, muss gemäß dessen Definition die Anfangsgeschwindigkeit 0 sein, d. h. die untere Grenze ist 0.
Die obere Grenze ergibt sich durch die Endgeschwindigkeit, die im Beispiel  genannt wird. Setze ich das in die Substitution ein, erhalte ich als obere Grenze .
Das würde dem entsprechen, was auch der Prof an die Tafel schreibt.
Also brauche ich gar kein (bzw.  ) oder ein Integral nach dv mehr? |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 17:48 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ableitung der Substitution nach dt:
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da fehlt die innere Ableitung
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Ich glaube, da hast du recht. Ich habe das schlecht hingeschrieben.
}|^2)
}| * \frac{d\vec{v(t)}}{dt})
Allerdings bin ich mir jetzt nicht sicher, ob da nicht womöglich noch der || fehlt:
}| * \frac{d|\vec{v(t)}|}{dt})
Mit oder ohne ||?
| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | für was du das überhaupt ableitest verstehe ich auch nicht. |
Diese Frage habe ich mir auch schon gestellt. Diese Ableitung ersetzt dann das dt. Das ist aber eigentlich unnötig. Es würde reichen, einfach nur die (nicht abgeleitete) Substitution in das Integral einzutragen. Dann habe ich:
}{dt} \ dt)
Dann kann ich auch gleich hier direkt das dt kürzen, ohne überall für dt }|} \ du) einzusetzen. Das ist nur unnötige Arbeit. Dann erhalte ich wieder das schon bekannte:
)
Hast du das gemeint? |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 18:53 Titel: |
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| Zitat: | | Hast du das gemeint? |
ja genau.
wenn du hinschreibst
dann ist ja
man kanns gleich ersetzen ohne den ganzen Umstand.
Ich denke diese ganze Herleitung samt den Tricks ist umständlich aber das ist natürlich weil die kinetische Energie komplett über Vektorrechnung hergeleitet wird.
Das kann man einfacher herleiten, wenn man sich auf die Kraft bzw Beschleunigung besinnt die in Wegrichtung wirkt.
Aber das hier ist natürlich viel allgemeiner.
| Zitat: | | mit oder ohne || ? |
naja wenn du das mit || schreibst dann ist du nach dt stehts positiv
wenn jetzt aber zum Beispiel v0=10 ist und v1 1.. dann hast du ja eine negative Änderung von v², das kann ja dann nicht sein wenn bei dir alles positiv ist.
_________________
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 19:05 Titel: |
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Weil vorhin meine Ableitung falsch war, habe ich das nun mit einem Beispiel durchgespielt:
Ich habe einen Vektor } = (1 - t, t))
}| = \sqrt{(1 - t)^2 + t^2} = \sqrt{1 - 2 * t + 2 * t^2})
Variante 1:
}|^2 = 1 - 2 * t + 2 * t^2)
}|^2}{dt} = -2 + 4 * t)
Variante 2:
}| = {(1 - 2 * t + 2 * t^2)}^{\frac{1}{2}})
}|}{dt} = \frac{1}{2} * {(1 - 2 * t + 2 * t^2)}^{-\frac{1}{2}} * (-2 * 4 *t))
}| * \frac{d|\vec{v(t)}|}{dt} =
<br />
2 * {(1 - 2 * t + 2 * t^2)}^{\frac{1}{2}} * \frac{1}{2} * \frac{1}{{(1 - 2 * t + 2 * t^2)}^{\frac{1}{2}}} * (-2 + 4 *t) =
<br />
-2 + 4 * t)
Du hattest also wirklich recht, da hatte noch die innere Ableitung gefehlt.
Und das muss schon der || sein, sonst müsste ich den Vektor ableiten, und das wäre wieder ein Vektor. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 19:10 Titel: |
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Ich glaube, damit ist das Thema gelöst, oder?? 
Falls ja, vielen, vielen Dank euch beiden  |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 19:17 Titel: |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | | VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ableitung der Substitution nach dt:
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da fehlt die innere Ableitung
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Ich glaube, da hast du recht. Ich habe das schlecht hingeschrieben.
Allerdings bin ich mir jetzt nicht sicher, ob da nicht womöglich noch der || fehlt:
Mit oder ohne ||? |
Beides ist falsch.
 \vert^2 = \vec v \cdot \vec v) (Skalarprodukt mit sich selbst) und für die Ableitung von Skalarprodukten gilt die Produktregel (sieht man, wenn man in das Skalarprodukt die Komponenten einsetzt):
 = \left( \frac{d \vec v}{dt} \right) \cdot \vec v + \vec v \cdot \left( \frac{d \vec v}{d t} \right) = 2 \vec v \cdot \frac{d \vec v}{d t}) |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 19:26 Titel: |
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Kommt auf das Gleiche raus, oder? |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 19:30 Titel: |
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| dumbledore hat Folgendes geschrieben: |  |
das ist doch dasselbe wie
und das skalarprodukt
wobei a * cos \alpha= ist 
und damit 
oder haue ich da was durcheinander
so richtig habe ichs nicht mit den schreibweisen bei vektorrechnung
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 26. Jul 2017 19:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jul 2017 19:31 Titel: |
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Edit: Vergiß es. Ich hatte falsch gelesen, wo du die Betragstriche gesetzt hattest.
Edit2: Also nochmal in Ruhe:
Es ist
und
Also
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 26. Jul 2017 19:49, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 19:42 Titel: |
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@index_razor
Also ich glaube, dein Eintrag war ganz interessant, index_razor. Ich hatte den gelesen (den Eintrag vor deinem ersten edit ). Das würde bedeuten, meine Variante wäre nur OK, wenn der Winkel 0 wäre, d. h. die Beschleunigung in Richtung der Geschwindigkeit wäre. Wenn sich der Geschwindigkeitsvektor in seiner Richtung ändert, ist das aber nicht der Fall. Dann zeigt der Beschleunigungsvektor woanders hin, oder?
@VeryApe
Meiner Meinung nach wäre ) nur eine Komponente von  , nämlich jene, die in Richtung zeigt. Das ist nur eine Projektion von auf , aber nicht (außer das ergibt sich in diesem Fall bei der kinetischen Energie zufällig so). |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jul 2017 19:52 Titel: |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | @index_razor
Also ich glaube, dein Eintrag war ganz interessant, index_razor. Ich hatte den gelesen (den Eintrag vor deinem ersten edit :D).
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Ich hab ihn nochmal editiert und so müßte er jetzt stimmen.
| Zitat: |
Das würde bedeuten, meine Variante wäre nur OK, wenn der Winkel 0 wäre, d. h. die Beschleunigung in Richtung der Geschwindigkeit wäre.
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Nein, das war mein Fehler. Bei dir stand die Ableitung der Länge der Geschwindigkeit nicht die Länge der Ableitung, wie ich erst gelesen hatte. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 20:02 Titel: |
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| Zitat: | | Meiner Meinung nach wäre nur eine Komponente von , nämlich jene, die in Richtung zeigt. |
na genau, und das ist genau die Komponente die den Betrag der Geschwindigkeit ändert., der senkrechte Anteil lenkt nur um ändert aber den Betrag nicht.
Also du gefragt hast mit betragszeichen oder ohne dachte ich du meinst bei meinem 
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 26. Jul 2017 20:06, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 20:03 Titel: |
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VeryApe, du hast Recht!
 = \frac{\vec v \cdot \frac{d \vec v }{d t}}{\vert \vec v \vert })
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jul 2017 20:03 Titel: |
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Übrigens
| Zitat: |
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ist die ganz "normale", d.h. nicht-vektorielle Produktregel für  . |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 26. Jul 2017 20:07 Titel: |
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Also ich schreib mir das jetzt mal alles ab, dann rahme ich mir das ein, hänge es auf und starre es die ganze Nacht an, bis der AHA-Effekt eintritt
Danke für eure Infos |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 20:30 Titel: |
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Hier wäre noch ein etwas intuitiveres/geometrischeres Argument, das dem, was VeryApe in Worten beschreibt, recht nahe kommt, denke ich:
Kosinussatz:
 \vert \approx \sqrt{\vert \vec v(t) \vert^2 + \vert \vec a \vert^2 dt^2 + 2 \vert \vec v(t) \vert \vert \vec a \vert \cos \theta\,dt } \approx \vert \vec v (t) \vert (1 + \frac{\vert \vec a \vert}{\vert \vec v (t) \vert } \cos \theta\, d t + \mathcal O (d t^2 )))
 \vert \vert \vec a \vert \cos \theta = \vert v \cdot \vec a) |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 20:32 Titel: |
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Sorry, die letzten Zeilen sollten sein:
 \vert}{d t} = \vert \vec a \vert \cos \theta )
 \vert}{d t} = \vert \vec v \vert \vert \vec a \vert \cos \theta = \vec v \cdot \vec a) |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 20:36 Titel: |
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In der ersten Zeile habe ich die Näherung verwendet:
} \approx \sqrt{a} (1 + \frac{b}{2 a}) = \sqrt{a} + \frac 1 2 \frac{b}{\sqrt a}) für  |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 26. Jul 2017 20:44 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Übrigens
| Zitat: |
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ist die ganz "normale", d.h. nicht-vektorielle Produktregel für . |
Tatsache!
Manchmal sieht man den Wald... |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 26. Jul 2017 20:59 Titel: |
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Man könnte auch einfach hergehen und sagen eine Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit führt über dt zu einer Geschwindigkeitsänderung  sk...senkrecht. die mit der Ursprungsgeschwindigkeit v mit den Satz von Pythagoras addiert wird
Durch gezieltes herumprobieren
²= v²+dv_{sk}²+\frac {dv_{sk}^{4}}{4*v²} )
also 
da dv_sk² unendlich klein zum Quadrat ist und dann noch sogar dividiert wird und im Endeffekt v' auch noch kleiner ist. führt das ganze zu keiner nennenswerten Änderung des Betrages von v.
die müsste im unendlich kleinen Bereich liegen.
so habe ich mir das mal erklärt-
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