Arbeit mit einem Integral berechnen

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Hallo, ich möchte die Arbeit die beim Zusammendrücken von 2 abstoßenden Magneten entsteht, berechnen.
Als Referenz für die entsprechenden Werte nutze ich folgende Messung:

http://schulphysikwiki.de/index.php/Das_Zentralfeld_und_die_Abstandsgesetze_(Gravitationsgesetz,_Coulomb-Gesetz,_magnetisches_Coulomb-Gesetz)

Vereinfachthalber nehme ich aber nur einen Teil der Werte aus der Messung. Mein Startwert ist der Abstand zwischen den Magnetpolen von 1 cm.

https://i.ibb.co/ZHpGzYN/Beispiel-Arbeit.png

Diese Werte habe ich in ein x-y-Diagramm dargestellt:

https://i.ibb.co/0nSf4ZD/Dia1.png

und in 5 Bereiche aufgeteilt:

https://i.ibb.co/mBgJv88/Dia2.png

Für jeden Bereich wende ich nun die Integralberechnung an. Die Summe aller Bereiche ist dann die Gesamtarbeit die über dem Weg verrichtet wurde.

Grundformel:

Setze ich nun die entsprechenen Werte aus dem ersten Bereich in die Formel ein, erhalte ich für W1:

Das gleiche mache ich nun mit allen Bereichen und summiere sie:

Die Arbeit die beim Zusammendrücken von 2 abstoßenden Magneten über einen Weg von 0,51cm entsteht, ist 0,016mJ.
Faktoren wie Reibung werden nicht berücksichtigt.

Ich bitte um Kontrolle und Korrektur.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

Arbeit
W = Int F(s) ds
Integrstionsgrenzen s_1, s_2

gast001 · Gast

Hallo Müllermilch,

Dein Ansatz ist gut. Leider stimmt die "Grundformel" nicht. Die richtige Formel für die Arbeit lautet:

Das hättest Du auch an der Maßeinheit merken müssen. Nm^2 ist nicht das selbe wie J.

Da Du die Arbeit grafisch gut dargestellt hast, auch die Unterteilung in Intervalle, kannst Du das Integral auch geometrisch mit der Trapezformel aufschreiben.

Beste Grüße

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Hallo gast001,

die Grundformel stimmt, wenn ich das "s" in Fs in Klammern gesetzt hätte, richtig? So wie Mathefix das angeben hat. Das habe ich einfach nur vergessen. Könnte ich natürlich auch weglassen.
In der Berechnung kommt das ja nicht vor.

Das Problem ist, dass die Intervalle nicht gleichmäßig eingeordnet sind. Der Weg s ist ja in allen Intervallen unterschiedlich lang. Das funktioniert doch dann mit der Trapezformel nicht, oder?

gast001 · Gast

Hallo muellermilch,

wenn des s in Klammern gesetzt wäre, wäre die Formel richtig, ja. Aber das ist nicht nur eine äußerliche Formalität. Du hast s als eine Variable im Integranden behandelt und somit das Integral 0,5 *s^2 erhalten. Das ist dann aber falsch. Als Maßeinheit ergibt sich m^2 anstatt m, wie es gebraucht wird für Nm=J. Mit den Klammern bedeutet F(s), dass die Kraft F eine Funktion von s ist. Es gibt also keine direkte Integration von s.
Die Trapezformel in der üblichen Form kannst Du in der Tat nicht verwenden. Aber Du kannst die Fläche jedes einzelnen Trapezes in Deiner Grafik berechnen:

oder angepaßt auf Deine Berechnung:

Beste Grüße

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Hallo gast001,

ah jetzt leuchtet es mir ein, Danke. Das macht natürlich keinen Sinn Meter * Meter zu berechnen, allerdings verstehe ich dann die Integration nicht.
Ich versuche es nochmal neu:

Gegeben ist:

Die Grenzen sind s_0, s_1, also:

Wäre das so besser und richtig? Ich würde das gerne mit dem Integrieren besser verstehen.

Das mit der Trapezformel ist sehr interessant. Das schaue ich mir mal genauer an. Vielen Dank für deine Hilfe.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ich glaube, dir ist nicht klar, dass

i.A. eine Funktion von s ist, und wie man diese Integrale berechnet.

Beispiele:

Wenn die Kraft entlang des Weges unterschiedlichen Gleichungen genügt, darfst du den Weg und damit das Integral in einzelne Stücke aufteilen:

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Hallo TomS,

ich verstehe deine Schritte nicht so ganz.

Wie integrierst du das? Woher kommt s^2 und woher /2?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Für diese Form der

ist das das Integral

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Wie nennt man denn diese Form:

Das ist die Funktion die gegeben ist und wird immer so geschrieben, wenn es um F(s) geht?

Das Integral:

wird zu dem integriert

Beim Integrieren passiert aber was, aber was genau passiert hier?

Ich richte mich da nach dem Video hier:

https://www.youtube.com/watch?v=0vdcvDg-Lkk

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Es geht gleich um das erste Integral mit der linearen Funktion f(x) = x. In deiner Aufgabe reden wir von F(s) statt f(x), aber das sind ja nur Bezeichnungen.

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Das erklärt leider nicht, wie du das gemachst hast. Nunja, seis drum.

Ich habe mir mal die Trapezformel von gast001 angeschaut und damit die Arbeit bestimmt.

Betrachte ich nun das erste Trapez im Diagramm für W_1:

Die Trapezformel ist also viel genauer als die andere Formel, korrekt?

gast001 · Gast

Hallo muellermilch,

Das erste Teilstück der Fläche bzw. der gesuchten Arbeit hast Du richtig ausgerechnet. Jetzt fehlen noch die restlichen 4 Stücke und dann die Summe.

Dass die Trapezformel genauer ist, denke ich nicht. Es ist eine andere Herangehensweise an die Aufgabe. Sie funktioniert nur, wenn man Zahlenwerte für die zu integrierende Funktion (hier die Kraft) an mehreren, möglichst vielen Stützstellen hat. Der Vorteil ist der, dass man die Funktion nicht unbedingt als Formel kennen muss, z. B. wenn die Zahlenwerte aus einem Experiment stammen.
Wenn man die Funktion als Formel kennt, kann man die Integration durch Bestimmung der Stammfunktion durchführen, so wie es TomS versucht hat zu erklären. Wenn man mehrfach mit derselben Funktion zu tun hat, nur immer mit verschiedenen Intervallgrenzen, hat diese Methode den Vorteil, dass man nur einmal integrieren muss. Ins Ergebnis setzt man dann einfach die unterschiedlichen Grenzen ein. Nachteil kann sein, dass es manchmal nicht einfach ist, die Stammfunktion zu finden, je nach dem wie kompliziert die Funktion ist.

muellermilch · Anmeldungsdatum: 26.09.2022 Beiträge: 80

Hallo gast001,

perfekt Danke.

Eine andere Möglichkeit, ohne eine bestimmte Formel zu kennen, wäre es die Kraft über dem Weg auf den Durchschnitt runterzubrechen.
Im Beispiel W_1 erhöht sich die Kraft über einen Weg von 1mm um 0,04N.
Teile ich das durch 10, erhöht sich die Kraft im Schnitt um 0,004N pro 0,1mm.
Addiere ich nun die 0,004N immer wieder ab dem Startwert 0,31N bis 0,35N und multipliziere jede Addition mit dem Weg 0,0001m komme ich mit der Summe an Ende auch genau auf die 0,00033J. Klingt irgendwie kompliziert, ist es aber nicht Big Laugh