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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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 JAG Verfasst am: 09. Apr 2010 07:30 Titel: Integration der Funktion a=a(t) |
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Hallo,
ich habe Integralrechnung verstanden. Aber kann mir mal bitte einer mit einfachen Worten erklären, warum die erste Integration der Beschleunigung die Geschwindigkeit ist und die zweite der Weg? Verstehe ich nicht, wie man darauf kommt?!
Danke!
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LG Harald
Gruß aus dem hohen Norden |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 09. Apr 2010 09:45 Titel: |
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Da kommt man über die Definition von Geschwindigkeit und Beschleunigung drauf.
Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. Oder weniger mathematisch ausgedrückt: Die Änderung des zurückgelegten Weges pro Zeit nennt man Geschwindigkeit.
Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, was gleichbedeutend ist mit: Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Oder weniger mathematisch ausgedrückt: Wenn sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert, spricht man von Beschleunigung.
Die Integration ist nur die umgekehrte Rechenart wie die Differentiation. Mit der Integration macht man eine vorangegangene Differentiation rückgängig, (so wie man eine Division durch Multiplikation rückgängig machen kann).
Wenn also die Beschleunigung definitionsgemäß die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist, muss das Integral der Beschleunigung über der Zeit wieder die Geschwindigkeit ergeben. Oder weniger mathematisch ausgedrückt: Je länger ich mein Auto beschleunige, desto größer wird seine Geschwindigkeit. |
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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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| JAG Verfasst am: 09. Apr 2010 19:01 Titel: |
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Danke für die Erklärung. Ich glaube, ich habe einfach Schwierigkeiten mit den Buchstaben. Mal ein Beispiel:
 \, dx = [\frac {3}{2}x^2+5x] )
 = \int \! a(t) \, dx )
habe ich dann
 = \int \! 3t \, dt )
???
das ist es, was ich daran nicht verstehe. Ich beisse mich irgendwie an den Buchstaben fest.
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LG Harald
Gruß aus dem hohen Norden |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Apr 2010 19:25 Titel: |
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Verstehe nicht ganz wo genau dein Problem ist. Wenn a unabhängig von t ist, musst du es als Konstante integrieren. Wenn a eine Funktion von t ist, dann greifen die Integrationsregeln, die du scheinbar kennst (siehe dein Beispiel mit x). Nur steht statt x halt überall t.
So lautet dein Beispiel richtig:
 = \int \! a(t) \, dt = \int \! a \, dt = a \cdot t = 3 \frac {m}{s^2} \cdot t + v_0)
Zuletzt bearbeitet von pressure am 09. Apr 2010 19:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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GastMartin
Gast
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| GastMartin Verfasst am: 09. Apr 2010 19:25 Titel: |
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Deine Beschleunigung ist a. Und das ist gleich 3 m/s^2. Und deshalb muss in dem letztem Integral nur 3 und nich 3t stehen. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 09. Apr 2010 19:35 Titel: |
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| GastMartin hat Folgendes geschrieben: | | Und deshalb muss in dem letztem Integral nur 3 und nich 3t stehen. |
Nein, da muss 3m/s² stehen! Denn wenn Du nur 3 über der Zeit integrieren würdest, bekämest Du 3*t heraus, und das hat die Dimension einer Zeit und nie und nimmer die einer Geschwindigkeit. |
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NeinGuar
Anmeldungsdatum: 26.03.2010
Beiträge: 32
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| NeinGuar Verfasst am: 09. Apr 2010 22:24 Titel: |
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@GvG: Ja, Du hast recht, wir haben nur zeitgleich geantwortet. Meine Antwort bezieht sich nicht an Deinen Beitrag, sondern an Beitrag von JAG, konkret auf die letzte Gleichung von JAG |
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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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| JAG Verfasst am: 09. Apr 2010 23:23 Titel: |
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Ich danke Euch beiden. Ich werde mir das mal langsam auf der Zunge zergehen lassen. Ich fange an, meine Schwierigkeiten zu erkennen und zu lösen.
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LG Harald
Gruß aus dem hohen Norden |
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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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| JAG Verfasst am: 10. Apr 2010 08:22 Titel: |
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Juhuu, hier platzte der Knoten in meinem Kopf. Ist das wirklich so einfach, ich denke wohl immer zu kompliziert. Wenn
 = \int \! a(t) \, dt = \int \!(a \cdot t) \, dt= [ a \cdot \frac{1}{2} \cdot t^2 + C_1] )
Klar,  als Konstante bleibt erhalten und für t das Stammintegral gebildet,  hier als Integrationskonstante ist 
dann habe ich
 = \int \! a(t) \, dt = \int \!(a \cdot t) \, dt= [ a \cdot \frac{1}{2} \cdot t^2 + C_1] =[ \frac{a}{2} \cdot t^2 + v_0])
dann muss
= \int \! v(t) \, dt = \int \! (\frac{a}{2}t^2 + v_0) \, dt = [\frac{a}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{a}{2} t^2 + C_1])
Verstanden! Jetzt Aufgaben rechnen und üben!!
Danke
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LG Harald
Gruß aus dem hohen Norden |
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GastMartin
Gast
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| GastMartin Verfasst am: 10. Apr 2010 08:56 Titel: |
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@JAG: Fast gut. Letzte Formel
 ist eine Konstante
Beispiel 1:
Du rennst 10 Minuten mit v0 und dann beschleunigst Du auf v1 mit Beschleungung a. Wie viel Zeit brauchst Du um auf v1 zu Beschleunigen?
 ist die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t=0. Oft schreibt man das auch ) . |
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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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| JAG Verfasst am: 11. Apr 2010 07:56 Titel: |
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Stimmt, dann habe ich
 = \int\! v(t) \, dt = [\frac{a}{6} \cdot \frac{t^3}{3} + v_0t +C_2])
so müsste es richtig sein.
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LG Harald
Gruß aus dem hohen Norden |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 10:46 Titel: |
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Fast: Ein Drittel zu viel und  kannst du ruhig als  bezeichnen. |
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JAG
Anmeldungsdatum: 15.01.2009
Beiträge: 13
Wohnort: Schleswig-Holstein
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| JAG Verfasst am: 11. Apr 2010 16:09 Titel: |
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War ich wohl etwas übermütig. Klar, aus
als Konstante bleibt natürlich
so muss es dann richtig heissen:
=\int v(t) \, d(t)=[\frac{a}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + v_0t +s_0])
Dann kann ich jetzt weiterüben und nochmals vielen Dank an alle, die mir helfen.
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LG Harald
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