RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Flugweg s(t) nach Integration
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 24. Feb 2021 20:51    Titel: Flugweg s(t) nach Integration Antworten mit Zitat

Ich bräuchte Hilfe bei einer Formel:

Leider finde ich meinen Fehler nicht. Im Graph sieht man die Abweichung.


Zuletzt bearbeitet von wolperacer am 26. Feb 2021 11:27, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 07:07    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst mal ist es inkonsequent, dass in der Gleichung für v(t) ein mittels integriert wird; ersteres wirkt Allgemeingültigkeit, letzteres gilt nur für

Tatsächlich gilt



wobei man nicht über sondern über integriert. D.h. ist unabhängig von .

Zumindest diese Betrachtung im Skript ist ungeschickt, denn genau das erkennt man nicht.

Das Integral kannst du hier

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+w*Ln%5BM%2F%28M-nt%29%5D+%2B+v%2C+dt+

prüfen; leider hat die Foren-SW ein Problem mit dem Link.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 07:38    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo und erstmal danke für deine Antwort. Leider komme ich so aber gar nicht weiter. warum sollte ich über dm integrieren?

Die Raketengleichung ist in einem kräftefreien Feld mit konstantem Massenausstoß.

Über die differentielle Impulsänderung habe ich die Gleichung 0=m dv - dm w hergeleitet.

Schreibt man diese um und dividiert durch dt erhält man


In dieser Gleichung steht auf der linken Seite die Massenträgheitskraft und auf der rechten Seite die Kraft infolge des ausgestoßenen Massenstroms mit der Geschwindigkeit w.

Nach Trennung der Variablen folgt


Diese Gleichung könnte prinzipiell schon integriert werden, besitzt aber den
Fehler, dass die Masse eine Funktion der Zeit ist. Die Masse m(t) berechnet
sich zu
(2.9)

Darin m(t) die variable Masse, die Anfangsmasse zum Zeitpunkt t = 0 und der Massenstrom aus der Düse in
kg/s. Dieser Massenstrom bestimmt sich aus der Beziehung
(2.10)


Somit ergibt sich nach einsetzen von Gleichung 2.9 und 2.10 die schon erwähnte Gleichung 2.11




Ich komme aber jetzt trotzdem nicht weiter, oder habe ich ein Brett vor dem Kopf? grübelnd [/code]
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 07:52    Titel: Antworten mit Zitat

wolperacer hat Folgendes geschrieben:
warum sollte ich über dm integrieren?

Nach Trennung der Variablen folgt


Diese Gleichung könnte prinzipiell schon integriert werden, besitzt aber den
Fehler, dass die Masse eine Funktion der Zeit ist.

Das ist kein Fehler, das ist ein Vorteil.

Die Masse m(t) ist eine streng monoton abnehmende Funktion der Zeit, d.h. sie ist als Integrationsvariable geeignet. Sie ist ist sogar besser geeignet als die Zeit t, und zwar aus folgendem Grund:

Integriert man die Gleichung in m, so folgt



wobei m(t) eine streng monoton abnehmende, ansonsten jedoch beliebige Funktion der Zeit ist.

Integriert man die Gleichung in t, so folgt



unter der Voraussetzung, dass



Die Gleichung



ist explizit falsch, wenn



gilt, während



weiterhin für beliebige Funktionen m(t) gültig bleibt. Deine Herleitung gilt nur für einen Spezialfall.


Nun weißt du natürlich, dass



gilt, und du kannst wieder



schreiben. Allerdings hast du in deiner Herleitung explizit



verwendet, d.h. du hast mit deiner Herleitung nicht gezeigt, dass diese letzte Gleichung auch für



gilt. Das ist zwar tatsächlich der Fall, folgt jedoch nicht aus deiner Herleitung.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 08:55    Titel: Antworten mit Zitat

Zur weiteren Berechnung von s(t) kannst du dir das ebenfalls zu nutze machen:



Der Strich ' kennzeichnet die Integrationsvariable.

Wenn nun die Massenänderung eine beliebige Funktion der Zeit ist, dann hilft das nicht wirklich weiter. Wenn jedoch



dann folgt



mit



und das kannst du wieder leicht integrieren.

Erst ganz zum Schluss setzt du



ein.

Natürlich gilt die Herleitung wieder nur für konstanten Massenausstoß.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 09:20    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen vielen Dank für diese tolle Erklärung.
Ich werde das ganze nun nochmals in Angriff nehmen und melde mich dann nochmals.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 10:08    Titel: Antworten mit Zitat

ok... irgendwie bin ich gerade zu blöd das zu integrieren.. Hammer

Ich will deine Hilfe ja nicht zu sehr strapazieren, aber wie komme ich zu meiner "richtigen Lösung" von meiner Gleichung 2.17 ?

Den ersten Teil, dass ich noch zeigen muss, das habe ich verstanden.

Aber danach die Integration verstehe ich nicht ganz.

Vielen Dank nochmals
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 12:21    Titel: Antworten mit Zitat

Du integrierst über die Zeit



d.h. du berechnest das Integral



und setzt im Ergebnis der Integration


_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Feb 2021 14:54, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 13:03    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich sehe gerade, dass ich mu manchmal mit unterschiedliche Vorzeichen verwendet habe.

Am besten setzt man



dann ist



und


_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 14:13    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn ich das s(t) integriere, dann erhalte ich



Stimmt das soweit? Wo setzte ich nun m(t) ein?
Etwa für m?



Dann ersetze ich wieder mit

und erhalte dann



Stimmt das soweit?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 14:34    Titel: Antworten mit Zitat

Sieht nicht schlecht aus, aber ein bisschen was geht durcheinander. Es liegt ein bestimmtes Integral vor, damit sind die Grenzen und die Integrationskontante C bekannt. Außerdem passen an einer Stelle die Einheiten nicht; v+1 kann nicht richtig sein.

EDIT: sorry, mein Fehler oben, korrigiert.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 15:03    Titel: Antworten mit Zitat

Das Integral



löst man am besten mittels






_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

jetzt bin ich komplett raus grübelnd
Wo kommt jetzt das z her und warum das Integral nun von 1 bis m_0/m ???

Ich weiß, man sollte dies selber hinbekommen, aber ich rätsel hier wirklich nun schon ewig rum. Kannst du mir für s(t) evtl den kompletten Weg mit Lösung zukommen lassen. Ich denke, dann kann ich das besser nachvollziehen.
Ich bin jetzt wirklich komplett verwirrt....
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 15:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe einfach



substituiert, d.h. z als neue Integrationsvariable eingeführt.

Daraus resultieren auch die neuen Grenzen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich das integriere, dann komme ich auf



und das wäre



und nu grübelnd

Das ganze jetzt noch mit multiplizieren.

Das wäre dann mein s(t) ?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 17:41    Titel: Antworten mit Zitat

Genau.

Und Einsetzen von



sowie noch ein bisschen mit den Vorzeichen jonglieren.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 20:18    Titel: Antworten mit Zitat

ok... also ich multipliziere das ganze mit


und setze dann noch ein


dann erhalte ich



und dann eben noch die Konstante addieren
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 20:26    Titel: Antworten mit Zitat

schaut gut aus
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
wolperacer



Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19

Beitrag wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 20:50    Titel: Antworten mit Zitat

ok, dann versuche ich das mal in Matlab numerisch zu implementieren

Danke !!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15358

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Feb 2021 07:35    Titel: Antworten mit Zitat

Gerne.

Und numerisch würde ich wieder mit dimensionslosen Größen arbeiten:



z ist das Verhältnis von aktueller zu Startmasse. tau ist das Verhältnis von aktueller Zeit zu maximaler Brenndauer (dann wäre m = 0).

Das hat mehrere Vorteile. Insbs. gilt für alle Raketen (mit konstantem Masseausstoß) eine einzige universelle Raketengleichungen in z bzw. tau. Unterschiedliche Raketen folgen rein durch Reskalierung dieser Gleichung.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik