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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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 wolperacer Verfasst am: 24. Feb 2021 20:51 Titel: Flugweg s(t) nach Integration |
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Ich bräuchte Hilfe bei einer Formel:
Leider finde ich meinen Fehler nicht. Im Graph sieht man die Abweichung.
Zuletzt bearbeitet von wolperacer am 26. Feb 2021 11:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 07:07 Titel: |
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Zunächst mal ist es inkonsequent, dass in der Gleichung für v(t) ein  mittels  integriert wird; ersteres wirkt Allgemeingültigkeit, letzteres gilt nur für 
Tatsächlich gilt
 = w \cdot \ln\frac{m_0}{m} + v_0)
wobei man nicht über  sondern über  integriert. D.h. ) ist unabhängig von .
Zumindest diese Betrachtung im Skript ist ungeschickt, denn genau das erkennt man nicht.
Das Integral kannst du hier
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+w*Ln%5BM%2F%28M-nt%29%5D+%2B+v%2C+dt+
prüfen; leider hat die Foren-SW ein Problem mit dem Link.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 07:38 Titel: |
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Hallo und erstmal danke für deine Antwort. Leider komme ich so aber gar nicht weiter. warum sollte ich über dm integrieren?
Die Raketengleichung ist in einem kräftefreien Feld mit konstantem Massenausstoß.
Über die differentielle Impulsänderung habe ich die Gleichung 0=m dv - dm w hergeleitet.
Schreibt man diese um und dividiert durch dt erhält man
In dieser Gleichung steht auf der linken Seite die Massenträgheitskraft und auf der rechten Seite die Kraft infolge des ausgestoßenen Massenstroms mit der Geschwindigkeit w.
Nach Trennung der Variablen folgt
Diese Gleichung könnte prinzipiell schon integriert werden, besitzt aber den
Fehler, dass die Masse eine Funktion der Zeit ist. Die Masse m(t) berechnet
sich zu
 = m_{0}-\dot{m} t) (2.9)
Darin m(t) die variable Masse,  die Anfangsmasse zum Zeitpunkt t = 0 und der Massenstrom aus der Düse in
kg/s. Dieser Massenstrom bestimmt sich aus der Beziehung
 (2.10)
Somit ergibt sich nach einsetzen von Gleichung 2.9 und 2.10 die schon erwähnte Gleichung 2.11
Ich komme aber jetzt trotzdem nicht weiter, oder habe ich ein Brett vor dem Kopf?  [/code] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 07:52 Titel: |
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| wolperacer hat Folgendes geschrieben: | warum sollte ich über dm integrieren?
Nach Trennung der Variablen folgt
Diese Gleichung könnte prinzipiell schon integriert werden, besitzt aber den
Fehler, dass die Masse eine Funktion der Zeit ist. |
Das ist kein Fehler, das ist ein Vorteil.
Die Masse m(t) ist eine streng monoton abnehmende Funktion der Zeit, d.h. sie ist als Integrationsvariable geeignet. Sie ist ist sogar besser geeignet als die Zeit t, und zwar aus folgendem Grund:
Integriert man die Gleichung in m, so folgt
 = w\cdot\ln\frac{m_0}{m})
wobei m(t) eine streng monoton abnehmende, ansonsten jedoch beliebige Funktion der Zeit ist.
Integriert man die Gleichung in t, so folgt
 = w\cdot\ln\frac{m_0}{m_0 - \dot{m}t})
unter der Voraussetzung, dass
Die Gleichung
ist explizit falsch, wenn
gilt, während
weiterhin für beliebige Funktionen m(t) gültig bleibt. Deine Herleitung gilt nur für einen Spezialfall.
Nun weißt du natürlich, dass
 =m_0 - \dot{m}t)
gilt, und du kannst wieder
schreiben. Allerdings hast du in deiner Herleitung explizit
verwendet, d.h. du hast mit deiner Herleitung nicht gezeigt, dass diese letzte Gleichung auch für
gilt. Das ist zwar tatsächlich der Fall, folgt jedoch nicht aus deiner Herleitung.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 08:55 Titel: |
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Zur weiteren Berechnung von s(t) kannst du dir das ebenfalls zu nutze machen:
 = \int_0^t dt^\prime \, v(t^\prime) = \int_{m_0}^m dm^\prime \, \frac{dt^\prime}{dm^\prime} \, v(m^\prime) = \int_{m_0}^m dm^\prime \, (\dot{m}^\prime)^{-1} \, v(m^\prime) )
Der Strich ' kennzeichnet die Integrationsvariable.
Wenn nun die Massenänderung eine beliebige Funktion der Zeit ist, dann hilft das nicht wirklich weiter. Wenn jedoch
dann folgt
 = \int_0^t dt^\prime \, v(t^\prime) = \mu^{-1} \cdot \int_{m_0}^m dm^\prime \, v(m^\prime) )
mit
 = w\cdot\ln\frac{m_0}{m} + v_0)
und das kannst du wieder leicht integrieren.
Erst ganz zum Schluss setzt du
 = m_0 - \mu t)
ein.
Natürlich gilt die Herleitung wieder nur für konstanten Massenausstoß.
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 09:20 Titel: |
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Vielen vielen Dank für diese tolle Erklärung.
Ich werde das ganze nun nochmals in Angriff nehmen und melde mich dann nochmals. |
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 10:08 Titel: |
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ok... irgendwie bin ich gerade zu blöd das zu integrieren.. 
Ich will deine Hilfe ja nicht zu sehr strapazieren, aber wie komme ich zu meiner "richtigen Lösung" von meiner Gleichung 2.17 ?
Den ersten Teil, dass ich  noch zeigen muss, das habe ich verstanden.
Aber danach die Integration verstehe ich nicht ganz.
Vielen Dank nochmals |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 12:21 Titel: |
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Du integrierst über die Zeit
d.h. du berechnest das Integral
 = \frac{1}{\mu} \int_{m_0}^m dm^\prime \, v(m^\prime) = \frac{w}{\mu} \int_{m_0}^m dm^\prime \, \left[ \ln\frac{m_0}{m^\prime} + \frac{v_0}{w}\right] )
und setzt im Ergebnis der Integration
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Feb 2021 14:54, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 13:03 Titel: |
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Sorry, ich sehe gerade, dass ich mu manchmal mit unterschiedliche Vorzeichen verwendet habe.
Am besten setzt man
 =m_0 - \mu t)
dann ist
und
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 14:13 Titel: |
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Also wenn ich das s(t) integriere, dann erhalte ich
=\frac{w}{\mu} *(ln(\frac{m_{0}}{m})+v_{0}+1)*m+C))
Stimmt das soweit? Wo setzte ich nun m(t) ein?
Etwa für m?
=\frac{w}{\mu}*(ln(\frac{m_{0}}{m_{0}-\mu*t})+v_{0}+1)*({m_{0}}-\mu*t)+C))
Dann ersetze ich  wieder mit 
und erhalte dann
=\frac{w}{\dot{m}}*(ln(\frac{m_{0}}{m_{0}-\dot{m}*t})+v_{0}+1)*({m_{0}}-\dot{m}*t)+C))
Stimmt das soweit? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 14:34 Titel: |
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Sieht nicht schlecht aus, aber ein bisschen was geht durcheinander. Es liegt ein bestimmtes Integral vor, damit sind die Grenzen und die Integrationskontante C bekannt. Außerdem passen an einer Stelle die Einheiten nicht; v+1 kann nicht richtig sein.
EDIT: sorry, mein Fehler oben, korrigiert.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 15:03 Titel: |
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Das Integral
löst man am besten mittels
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 15:27 Titel: |
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jetzt bin ich komplett raus
Wo kommt jetzt das z her und warum das Integral nun von 1 bis m_0/m ???
Ich weiß, man sollte dies selber hinbekommen, aber ich rätsel hier wirklich nun schon ewig rum. Kannst du mir für s(t) evtl den kompletten Weg mit Lösung zukommen lassen. Ich denke, dann kann ich das besser nachvollziehen.
Ich bin jetzt wirklich komplett verwirrt.... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 15:30 Titel: |
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Ich habe einfach
substituiert, d.h. z als neue Integrationsvariable eingeführt.
Daraus resultieren auch die neuen Grenzen.
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
Beiträge: 19
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 17:29 Titel: |
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Wenn ich das integriere, dann komme ich auf
-1)-(1*\ln(1)-1)])
und das wäre
)
und nu
Das ganze jetzt noch mit  multiplizieren.
Das wäre dann mein s(t) ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 17:41 Titel: |
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Genau.
Und Einsetzen von
 = m_0 - \mu )
sowie noch ein bisschen mit den Vorzeichen jonglieren.
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 20:18 Titel: |
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ok... also ich multipliziere das ganze mit
und setze dann noch ein
=m_{0}-\dot{m}*t)
dann erhalte ich
=\frac{w}{\dot{m} }*[-(m_{0}-\dot{m}*t)*\ln(\frac{m_{0}-\dot{m}*t}{m_{0}} ) ])
und dann eben noch die Konstante  addieren |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2021 20:26 Titel: |
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schaut gut aus
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wolperacer
Anmeldungsdatum: 20.03.2020
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| wolperacer Verfasst am: 25. Feb 2021 20:50 Titel: |
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ok, dann versuche ich das mal in Matlab numerisch zu implementieren
Danke !! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 16318
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| TomS Verfasst am: 26. Feb 2021 07:35 Titel: |
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Gerne.
Und numerisch würde ich wieder mit dimensionslosen Größen arbeiten:
z ist das Verhältnis von aktueller zu Startmasse. tau ist das Verhältnis von aktueller Zeit zu maximaler Brenndauer (dann wäre m = 0).
Das hat mehrere Vorteile. Insbs. gilt für alle Raketen (mit konstantem Masseausstoß) eine einzige universelle Raketengleichungen in z bzw. tau. Unterschiedliche Raketen folgen rein durch Reskalierung dieser Gleichung.
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