Skispringer mit Absprungimpuls

HeyHey091 · Gast

Meine Frage:
Ein Skispringer (m=75kg) hat auf dem Schanzentisch, der waagrecht ist, eine Geschwindigkeit von 25m/s. Er springt aktiv über 0,1s mit einer Sprungkraft von 225kN senkrecht nach oben, die Landezone ist um 30° geneigt. Wie weit springt er? (Auftriebskraft vernachlässigen)

Meine Ideen:
Das ganze ist ja dann prinzipiell wie ein Schiefer Wurf mit einer Landefunktion (Gerade), daher war mein Plan den Absprungwinkel zu berechnen. Mein Problem ist aber die Sache mit dem Impuls, zuerst dachte ich, dass er dann mit 3m/s nach oben fliegt, was aber ja falsch ist, weil ihm ja die Schwerkraft nach unten zieht, ich schätze, dass man das irgendwie über ein Integral lösen muss, ich weiß aber ehrlich gesagt nicht, wie ich das ansetzen muss.
Auf jeden Fall muss ja ein Wert unter 3m/s für die senkrechte Komponente rauskommen Smile

HeyHey091 · Gast

das sollten natürlich 2.25kN sein smile

könnte es villeicht so gehen?

p ges = p sprung - p g

m * v sprung = F sprung * t - m * g * t

v sprung = (F sprung * t - m * g * t) / m

Viele Grüße HeyHey

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Die Kenntnis des Abspringwinkels hilft hier nicht weiter. Das Ziel muss sein, Gleichungen für y(t) und x(t) zu erhalten, damit hast Du dann auch die Kurve der Flugbahn y(x). Der Schnittpunkt mit der Landebahngerade führt zur Lösung der Aufgabe.
Eine Gleichung für x(t) aufzustellen ist sicher nicht schwierig.
Für y(t) müssen die Sprung- und die Gewichtskraft berücksichtigt werden. Das führt zu einer Gleichung für den Impuls bzw. die Geschwindigkeit

in vertikaler Richtung (ähnlich wie Deine 3. Gleichung; die Sprungkraft wirkt allerdings nur während 0.1s!). Nach Integration erhältst Du daraus y(t).

HeyHey091 · Gast

Irgendwie versteh ichs nicht wirklich wie ich das Integrieren soll, das muss doch die Fläche unter der Impulskurve sein? oder warum ich den Absprungwinkel nicht aus der Vorwärtsbewegung und dem senkrechten Absprung berechnen kann, weils nicht konstant über die Zeit ist und 0,1s dauert?

Die Landebahngerade sollte doch einfach nur -tan(30) * x sein?

Grüße und vielen Dank für eure Hilfe

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Ja, die Geradengleichung der Landebahn ist y(x)=-tan(30)*x.
Mit dem Abspringwinkel will ich etwas vorsichtiger sein, vielleicht führt auch dieser zur Lösung. Wegen dem Integrieren: Salopp gesagt, die Geschwindigkeit integriert ergibt die Strecke. Die Sprungkraft führt zu einem festen Impulsbeitrag in y-Richtung (Kraft*Sprungzeit), die Gewichtskraft zu einer laufenden Impulsänderung (m*g*t). Damit hast Du

und daraus

(genaugenommen stimmt die Gleichung so nicht für die ersten 0.1s, aber das spielt kaum eine Rolle). Noch integrieren, und es folgt y(t).

Edit: Entschuldige, vielleicht hattet Ihr die Integrationsrechnung noch gar nicht behandelt? Das macht nicht soviel.
Eine konstante (Erd-)beschleunigung g führt zu einer Geschwindigkeit v=g*t (bei v(0)=0) und zu einer zurückgelegten Strecke

. Das ist aus der Schule bekannt, nehme ich an?

HeyHey091 · Gast

Jap, die Integralrechnung hatten wir noch nicht wirklich... unglücklich

Aber ich weiß, wie du eben gesagt hast, dass die Ableitung der Ortsfunktion, die Geschwindigkeitsfunktion ergibt, also integriert umgekehrt, jap smile

die Formeln kenn ich, ich hab mal versucht die Formel zu integrieren und ich erhalte s = (F * t^2 - m * g * t^2) / m

Als Grenzen nehme ich t und 0, also hab ich raus s = 0,2019

Heißt das also, dass der Kerl 20cm hoch springt?

Also muss ich quasi das in die Formel vom waagrechten Wurf als zusätzliche Anfangshöhe reinnehmen und dann die Gleichung mit der Landegeraden gleichsetzen?

HeyHey091 · Gast

Sry für den Nachtrag, die Formel die ich versucht hab zu integrieren war:

v = (F sprung * t - m * g * t) / m

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Die Sprungkraft wirkt ja nur 0.1s, der Skispringer erhält damit einen Absprungimpuls von F_sprung*0.1s.
Integrieren musst Du somit
v = (F sprung * 0.1 - m * g * t) / m

HeyHey091 · Gast

Hi, sorry, dass ich so ein schwerer Fall bin smile

und das ergibt doch dann

s = (Fsprung * 0,1*t - m * g * t^2) / m ?

und wenn ich t = 0,1 dann einsetze, erhalte ich diese 0,2m

aber was ist dieses s dann, ist das nicht die zusätzliche Höhe?

Ich habs einfach mal als Anfangshöhe in die Formel vom waagrechten Wurf eingesetzt, die sich mit dem Gleichsetzen von der Geradengleichun ergeben hat, dann kam für x = 73m raus, was aber nach Lösung nicht stimmt.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Tommi2 · Gast

Hallo GvC

Ich hab morgen Klausur und steck vor einer ähnlichen Aufgabe,

du vernachlässigst in der Formel vy = (Fs * ts) / m , die Tatsache, dass die Schwerkraft ihn nach unten zieht, der springt nicht mit 3m/s nach oben, sondern nur mit 2,02.
Mir ist nicht ganz klar warum, die Kraft ist ja schon deutlich mehr als Fg

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

HeyHey091 · Gast

Also, wenn ich in die Gleichung für y das t durch (x/vox) ersetze und nach x auflöse, erhalte ich als Ergebnis 16m, laut Lösung sollten 84m rauskommen.

Also meine Landebahn ist y = -tan(30) * x

y ist auch = (Fsprung * 0,1*t - (1/2)*m * g * t^2) / m

Die beiden hab ich gleichgesetzt und das t mit x / vox ersetzt

Sorry, wenn ich mich so scheiße blöd anstelle unglücklich

Grüße HeyHey

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Ich glaube, ich kann mein Missverständnis der Situation jetzt selber aufklären:

Der Kraftstoß beim Absprung erfolgt ja über einen bestimmten Weg, d.h. der Skispringer geht in die Hocke und wendet aus dieser Lage die Absprungkraft auf. Er muss also seinen Schwerpunkt, in dem die Gewichtskraft angreift, auf Normalniveau anheben. Anstelle des vertikalen Schwerpunktverlagerungsabstandes ist im vorliegenden Fall die "Hebedauer" (mit 0,1s) angegeben. Bei diesem Hebevorgang wirkt die Gewichtskraft der Sprungkraft entgegen.

Wenn ein Springer als Sprungkraft aus der Hocke heraus nur seine Gewichtskraft aufwendet, ist die beschleunigende Gesamtkraft Null, und er fliegt genauso ab, als wäre er nicht in der Hocke gewesen.

Sorry für die Verwirrung, die ich gestiftet habe.

Ich habe allerdings noch eine Anmerkung zu machen: Die vorliegende Musterlösung bestimmt als Weite die horizontale Entfernung zwischen Schanzentisch und Landepunkt. Tatsächlich wird beim Skispringen jedoch die Entfernung entlang des Hangs als Weite gemessen. Im vorliegenden Fall wäre also die Weite nach Skisprungregeln nicht 84m, sondern

HeyHey091 · Gast

hi, du super für deine Hilfe

noch eine kleine Frage, kann man aus dem ganzen dann nicht auch den Absprungwinkel (tan(vy/vx) und der Geschwindigkeit v0 = (vx^2 + vy^2)^0,5 berechnen?

Aber dann würde doch auch wieder die Höhe dazu kommen, die der Springer erreicht in den 0,1s ?

Die Gleichung wäre dann:

y = (-g / (2*v0^2 * cos a)) * x^2 + (tan a + tan 30) * x + y sprung

Absprungwinkel a = 4,617°
vo = 25,08 m/s
y sprung = 0.10095m

HeyHey091 · Gast

y sprung hab ich aus dem integrieren der vy Funktion, die 2,02m/s ergibt.

Aber das mit der zusätzlichen Höhe stimmt dann nicht mehr, weil der Springer ja die erst nach kurzer Zeit erreicht und in 2,5m Entfernung, nachdem er den Schanzentisch ja schon verlassen hat oder ist die kurze Strecke zu vernachlässigen?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Wie aus meinem letzten Beitrag ersichtlich, gewinnt der Springer während der 0,1 Sekunden keine zusätzliche "Höhe", sondern nur sein Schwerpunkt. Die Füße bleiben während dieser Zeit auf dem "Boden". Die vertikale Anhebung des Schwerpunktes berechnet sich ganz normal nach der Weg-Zeit-Beziehung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

Tommi2 · Gast

Aber es kann doch nicht sein, dass ein punktförmig angenommener Springer bei der Schwerpunktverlagerung um 0,2m keine zusätzliche Weite generiert.

Ich verstehs auch nicht ganz wie der verlagerte Schwerpunkt einzuberechnen ist

HeyHey091 · Gast

Aber der Absprungwinkel ändert sich ja schon?

Und die Geschwindigkeit v0 ist dann die Komponente aus vx und vy ?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

ufufu · Gast

Hallo,
ich bin mir bewusst, dass diese "Diskussion" bereits etwas her ist, aber ich hätte ein Frage:
kann mir jemand grob die formeln, die ihr hier verwendet habt zusammenfassen und was man jeweils damit berechnet? gerne auch weitere formeln die ich zur berechnung bzw. analyse eines sprungs benötige
vielen Dank im voraus

microsoft_AI · Gast

Um die Sprungweite eines Skispringers zu berechnen, müssen wir die Gesetze der Physik anwenden. Hier sind die Schritte:

Zunächst berechnen wir die Geschwindigkeitskomponente in der horizontalen Richtung nach dem Absprung. Da der Schanzentisch waagerecht ist, bleibt die horizontale Geschwindigkeit konstant und beträgt 25 m/s.

Dann berechnen wir die Geschwindigkeitskomponente in der vertikalen Richtung nach dem Absprung. Die Sprungkraft beträgt 225 kN und wirkt über 0,1 s. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (F=ma) ergibt sich eine Beschleunigung von a = F/m = 225000 N / 75 kg = 3000 m/s². Die Geschwindigkeitsänderung beträgt also Δv = a * t = 3000 m/s² * 0,1 s = 300 m/s. Da der Springer zu Beginn in der vertikalen Richtung stillsteht, beträgt seine vertikale Geschwindigkeit nach dem Absprung 300 m/s.

Nun berechnen wir die resultierende Geschwindigkeit nach dem Absprung. Da die horizontale und die vertikale Geschwindigkeit senkrecht zueinander stehen, ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit nach dem Satz des Pythagoras zu v = sqrt((25 m/s)² + (300 m/s)²) = 301 m/s.

Der Springer bewegt sich nun entlang einer schiefen Ebene, die um 30° geneigt ist. Die resultierende Geschwindigkeit zerfällt in eine Komponente parallel zur Ebene und eine senkrecht dazu. Die parallele Komponente beträgt v_par = v * cos(30°) = 301 m/s * sqrt(3)/2 = 261 m/s.

Schließlich berechnen wir die Sprungweite. Da keine Reibung oder Luftwiderstand berücksichtigt wird, bleibt die Geschwindigkeit entlang der schiefen Ebene konstant. Die Zeit bis zur Landung ergibt sich aus der senkrechten Geschwindigkeitskomponente und der Gravitationsbeschleunigung g = 9,81 m/s² zu t = v_sen / g = 300 m/s / 9,81 m/s² = 30,6 s. Die Sprungweite beträgt dann s = v_par * t = 261 m/s * 30,6 s = 7986 m.

Bitte beachten Sie, dass diese Berechnung stark vereinfacht ist und in der Realität viele Faktoren wie Luftwiderstand, Auftrieb und die genaue Bewegung des Springers während des Absprungs eine Rolle spielen. Daher kann die tatsächliche Sprungweite deutlich geringer ausfallen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870