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Greensche Funktion
 
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Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 14. Dez 2005 17:35    Titel: Greensche Funktion Antworten mit Zitat

Huhu...

kann mir ma einer genau erklärn wie des mit der Green'schen Funktion am harmonische Oszillator funktioniert? Also ich weiss, dass ma damit irgendwie die Reaktion des Systems auf einen Kraftstoß erhält... aber.. mh.. aber des wars dann auch schon... hat jemand irgendwie n ausführliches Beispiel oder kennt jemand ne Seite wo des genauer erklärt wird (also so dass mans auch versteht)?

Gruß Thunder
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 14. Dez 2005 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich schau bei so was immer in mein lieblings-"mathematische Methoden" Buch, den Boas:
"Mathematical Methods in the Physical Sciences" von Mary L. Boas.
Ich glaub zwar, dass es das nur auf englisch gibt, aber das ist alles extrem verständlich beschrieben, wenn auch manchmal nicht unbedingt mathematisch exakt. Dort steht auch einiges zu Green functions drin (Seite 670-676 in meiner Ausgabe), unter anderem auch Dein Bsp. mit dem harm. Osz. durchgerechnet.
Kann das Buch nur empfehlen!

Gruß
Marco.
Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 14. Dez 2005 19:45    Titel: Antworten mit Zitat

mh... is ja net ganz billig des Buch... ^^... naja, mal Bibliothek schaun obs des gibt... und in Englisch... uargh... aber uns wurd eh empfohlen frühzeitig mit lernen aus englischer Lektüre zurecht zu kommen ^^ würd sich ja anbieten ^^

thx für den Tip...

Weitere Hinweise jedoch immernoch willkommen ^^

Thunder
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 14. Dez 2005 20:31    Titel: Antworten mit Zitat

Nur zur Ent-Wirrung:

Die Greensche Funktion ist nichts anderes als die gute alte Systemantwort auf einen Diracimpuls in einem neuen Kleid. Die Beziehung



ist die Faltung im Zeitbereich, welcher die Multiplikation der Fouriertransformierten im Frequenzbereich entspricht.
Vorteil: Differenzialgleichung wird im Freuqnzbereich zu einer algebraischen Gleichung. Die Hintransformation ist sehr einfach, die Rücktransformation geht meistens über ein Tabellenwerk, es sei denn man ist gleichzeitig Experte in Funktionentheorie smile

G(t) ist nichts anderes als die Fourier-Zurücktransformierte der Übertragungsfunktion.

Wenn du nach Impulsantwort, Faltungsintegral und Fouriertransformation suchst wirst du zum gleichen Thema ziemlich fündig ! Es ist nichts anderes.

www.theo-physik.uni-kiel.de/~claussen/mechanik.pdf
Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 15. Dez 2005 00:19    Titel: Antworten mit Zitat

mh.. ja... Diracimpuls is wohl der Kraftstoß... ansonsten.. Faltung.. Fouriertransformation... mh... noch nie gehört... werd aba ma nachschaun danke....
is richtig doll wenn ma sowas inna Vorlesung an die Tafel geklatscht bekommt und keiner verstehts *löl ^^ aber is ja imma so...
ja.. hat auch gehießen, wenn man n Integral raus hat, hat man des schon gelöst... weil n Integral zu lösen is ja trivial... mh... naja ok.. ^^... alles relativ ^^

danke ersma smile

Thunder
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 15. Dez 2005 13:47    Titel: Antworten mit Zitat

was studierst du denn ? In welchem Semester bist du?
Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 17. Dez 2005 22:54    Titel: Antworten mit Zitat

Physik auf Diplom.... erstes Semester... ^^... nya machen bisher nur mechanik... geht eigentlich noch... nur eben des mit dem Green da.. ^^... aba wird schon ^^
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 18. Dez 2005 08:58    Titel: Antworten mit Zitat

Thunder hat Folgendes geschrieben:
Physik auf Diplom.... erstes Semester... ^^... nya machen bisher nur mechanik... geht eigentlich noch... nur eben des mit dem Green da.. ^^... aba wird schon ^^


naja, fur das erste semester heftig...
wenn man da nicht schon einiges an wissen zusammen hat, bringt das eher nichts.

Ich hab auch einen Link unter

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=26017
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 18. Dez 2005 14:53    Titel: Greensche Funktion beim harmonischen Oszillator Part1 Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich finde zwar auch, dass das noch etwas früh für's erste Semester ist, aber beim harm. Osz. kann man das vielleicht doch verständlich und einfach erklären. Schnudl hat natürlich mit seinen Ausführungen (wie immer...) Recht, aber ich versuche mal das ganze auf den harm. Osz. an zu wenden (frei nach der Beschreibung im Boas):

Stell' Dir vor, Du hast einen angeregten harm. Osz. mit der Diff.-GLeichung:

mit den Anfangsbed.
Der einzige Unterschied zum frei schwingenden harm. Osz ist die rechte Seite. Die Funktion, die da steht, soll einfach nur eine beliebige Kraft sein, die zu einem gegebenen Zeitpunkt wirkt. Das ist genau der Knackpunkt, denn die Lösung für den frei Schwingenden harm. Osz. haben wir ja schon (Ansatz z. B. mit Sinus und so).
Um das Problem zu lösen ist die Idee, dass man F(t) ja in viele kleine Kraftimpulse aufteilen kann. Man kann also schreiben:

Ich weiß jetzt allerdings nicht, ob Dir diese Delta-Funktion überhaupt schon was sagt. Wenn nicht, mußt Du mal im Netz nach Delta-Funktion oder genauer Delta-Distribution schauen.
Das sind dann also viele (unendlich viele) kleine (unendlich kleine) "Kraftschläge", in die die kontinuierliche Kraft aufgeteilt wird. Im Boas steht da ein vergleich mit der Kraft auf eine Fläche, die ein Gas unter einem bestimmten Druck auf sie ausübt. Mikroskopisch ist das ja auch so, dass ganz oft ein Gasmolekül einen ganz kleinen Schlag auf die Wand ausübt und man sieht als Ergebnis auch nur eine kontinuierliche, vom Druck abhängige Kraft. Aber wenn man den Grenzübergang macht, dann hat man eine wirklich kontinuierliche Kraft.
Man versucht jetzt eine Lösung dieser Diff.-Gleichung zu finden:
.
Daraus bekommen wir dann
.
Warum? Naja, wenn ich mir das so im Boas anschaue, könnte das etwas schwierig für das erste Semester sein... Ich hätte das wahrscheinlich da noch nicht verstanden, aber vielleicht bist Du ja besser als ich es damals war:


Also G ist jetzt deine Green-Funktion. Im Boas steht als Fazit dazu: "The Green function is the response of the system to a unit impulse at t = t'."


Zuletzt bearbeitet von as_string am 18. Dez 2005 15:15, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 18. Dez 2005 15:13    Titel: Greensche Funktion beim harmonischen Oszillator Part2 Antworten mit Zitat

So, hier geht's weiter:

Will man G jetzt für den harm. Osz. rausbekommen, sieht das so aus:
für t<t'
und
für t>t'
Wenn man jetzt x(t) haben will muß man also obige Transformation machen:

Du kannst jetzt für F(t) eine beliebige Funktion einsetzen und schon bekommst Du passend dazu ein x(t). Ok. Man muß natürlich noch das Integral lösen...
Z. B. kann man eine Sinus Funktion mit einem anderen Omega annehmen, also einer anderen Frequenz als der Eigenfrequenz des harm. Osz. Dann kann man das alles mit Lorenzkurve (naja, hier dann ohne Dämpfung...) und Phasendifferenz sehen. Aber man kann sich auch eine beliebige andere anregende Funktion ausdenken.

So, ich hatte jetzt auf jeden Fall eine schöne Übung in Latex-Formelsatz! Ich hoffe, dass es Dir vielleicht auch noch was gebracht hat. Ich kann Dir immer noch dieses Buch wärmstens empfehlen. Gerade wenn Du im 1. Semester bist ist das ideal! Das Englisch ist nicht schwer. Das meiste sind ja so wie so Fachausdrücke, die sich entweder im Deutschen auch nicht groß unterscheiden oder auch nicht viel verständlicher sind. Das Buch ist besonders bis zum Vordipl. zu empfehlen, aber auch danach hat's noch ein paar Dinge zu bieten. Ich verwende es eben sehr gerne als Nachschlagewerk, obwohl ich die Sachen, die da drin stehen, eigentlich schon alle wissen sollte. unglücklich

Gruß
Marco.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 18. Dez 2005 17:02    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist eigentlich erstaunlich dass die Antwort eines linearen Systems durch die Antwort auf einen Kraftstoß determiniert wird. Es ist insofern plausibel, da im Frequenzspektrum des Kraftstosses alle frequenzen gleichverteilt enthalten sind (weisses Rauschen).

Der Kraftstoss (auch Diracimpuls) ist ein Puls mit einer etwas komischen Funktion



Da es sowas in der Mathematik nicht gibt hat man den Namen "Distribution" erfunden, welche nur in Zusammenhang mit einem Integral Sinn macht:

Ausblende Eigenschaft


(korrigiert - siehe unten as_string)


Zuletzt bearbeitet von schnudl am 18. Dez 2005 17:36, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
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Beitrag as_string Verfasst am: 18. Dez 2005 17:15    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:


Soll das nicht eher ein f(tau) sein im Integral?

Gruß
Marco
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 18. Dez 2005 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

ja ist korrigiert.

PS: solange ich mich hier nicht wieder so blamiere wie gestern im Matheboard... da trau ich mich jetzt eine Zeit nicht hin

Prost
Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 18. Dez 2005 20:48    Titel: Antworten mit Zitat

Huhu

danke ersma für den Aufwand ^^
... mh... ja Deltafunktion hab ich eigentlich schon verstanden, oder ich nehms halt hin, dasses einfach so definiert ist... macht ja auch irgendwo Sinn ^^... mh.. nur noch zwei Sachen zur Greenschen funktion... mh.. wieso nimmt man als externe Kraft ein Integral!?... ja, da kommt dann halt der "Kraftwert" raus, genau an der Stelle t' ... mh.. aber man kann doch net einfach ne Kraft integriern und sagen, dess is nu die Kraft die wirkt... mh.. oder is f(t) * d(t-t') was andres und man sagt einfach dass das Integral die externe Kraft is? mh mh.... ja... und dann noch.... wie kommst auf:
G(t,t') = 1/w sin(w(t-t'))
wenn man G(t,t') hat, is klar, dann kann man des ja einfach einsetzen und man bekommt x(t) mh.. aber... wie kommt man auf des G(t,t')
und ist dieses x(t) was man dann bekommt die allgemeine Lösung der Dif gleichung, oder nur die partielle? grübelnd

thx ^^ Thunder[/quote]
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 18. Dez 2005 21:45    Titel: Antworten mit Zitat

Fragen über Fragen... Mal sehen, was ich Dir da beantworten kann!
Thunder hat Folgendes geschrieben:
Huhu

danke ersma für den Aufwand ^^
... mh... ja Deltafunktion hab ich eigentlich schon verstanden, oder ich nehms halt hin, dasses einfach so definiert ist... macht ja auch irgendwo Sinn ^^... mh.. nur noch zwei Sachen zur Greenschen funktion... mh.. wieso nimmt man als externe Kraft ein Integral!?... ja, da kommt dann halt der "Kraftwert" raus, genau an der Stelle t' ... mh.. aber man kann doch net einfach ne Kraft integriern und sagen, dess is nu die Kraft die wirkt... mh.. oder is f(t) * d(t-t') was andres und man sagt einfach dass das Integral die externe Kraft is?

Das ist genau der Punkt mit der Delta-Distr., wie es schnudl auchs chon geschrieben hat. Unter dem Integral pickt die genau den einen Wert aus der Funktion raus, die mit ihr multipliziert wird. Ist quasi wie ein Filter.
Thunder hat Folgendes geschrieben:
mh mh.... ja... und dann noch.... wie kommst auf:
G(t,t') = 1/w sin(w(t-t'))

Das ist die Lösung für die Diff-Gl.

Dass sie vor t' null ist, ist klar. Immerhin gab's da noch keine Kraft und dann passiert auch nix im Osz. Immerhin waren die Randbed. auch, dass G = 0 und die zeitl. Ableitung auch null ist am Anfang (also bei t= 0). Jetzt gibt's aber gerade zum Zeitpunkt t' einen ultrakurzen (Einheits-)Kraftstoß. Danach ist die \delta-Funktion wieder null und die Gleichung muß für ... = 0 mit dem sinus, etc. wieder lösbar sein (setze einfach mal die Funktion ein, dann siehst Du, dass 0 rauskommt). Das einzige, was noch Probleme macht ist der "Knick" an der Stelle t=t'. Genau das ist aber besonders wichtig für die Green Funktion!
O.K. leider muß ich an dieser Stelle auch erstmal passen. Man bekommt das dann irgendwie mit Laplace Transformation hin (bzw. Rücktransformation), muß ich mir aber auch erstmal genauer anschauen. Aber wenn man eine Funktion gefunden hat, die diese DGL löst, dann ist es die Green Funktion zum jeweiligen Problem.
Thunder hat Folgendes geschrieben:

wenn man G(t,t') hat, is klar, dann kann man des ja einfach einsetzen und man bekommt x(t) mh.. aber... wie kommt man auf des G(t,t')
und ist dieses x(t) was man dann bekommt die allgemeine Lösung der Dif gleichung, oder nur die partielle? grübelnd

thx ^^ Thunder

Partielle? Du meinst wohl eher spezielle. Da ich Anfangsbedingungen angenommen hab ist das eher die spezielle. Aber eigentlich hängt das von der Lösung der DGL mit der Green Funktion selber ab, denk' ich.
Also, wenn ich dazu komme, schau ich mir das nochmal selber genauer an.

Gruß
Marco.
Gast






Beitrag Gast Verfasst am: 18. Dez 2005 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

Er meinte partikuläre Lösung, das ist an partiell näher als an speziell..
Thunder
Gast





Beitrag Thunder Verfasst am: 19. Dez 2005 00:03    Titel: Antworten mit Zitat

äh... ja.. partikulär... aber is ja desselbe wie speziell.. smile ^^... partielle.. *denk.. ah.. ja.. von Thermodynamik.. die ganzen partiellen ableitungen :p... ^^... ja, aber danke, denk ma habs nu soweit einigermaßen verstanden ^^ smile

thx Thunder
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 19. Dez 2005 04:11    Titel: Antworten mit Zitat

Sooo... ich habe jetzt noch ein wenig gelesen und gerechnet... (falls überhaupt noch Interesse besteht)

Also: Wir wollen ja die DGL hier lösen:

Das bekommt man mit Hilfe der Laplace Transformation auch hin. Die Laplace Transformation ist das hier:

Was bringt uns das aber jetzt für das DGL-Lösen?
In einer DGL kommen ja logischerweise immer Ableitungen von der Funktion selber vor, ist ja die Definition von DGLs. Deshalb könnte es interessant sein, was die Laplace-Transformierte einer Ableitung einer Funktion ist:

Hier hab ich also Partialsummen-Integration benutzt (nennt man das so?). So ähnlich kann man das auch für die zweite Abl. machen und so weiter und bekommt dann iterativ für alle Ableitungen die Laplace-Transformierte. Bei der zweiten Abl. ist das:

Wobei die f0 bei uns ja wegfallen, weil wir nur an der speziellen Lösung mit diesen Anfangsbed interessiert sind.
Wenn man jetzt beide Seiten unserer DGL Laplace-transformiert bekommt man das hier:

Hier habe ich noch benutzt, dass die LT von einer Summe die Summe der LT ist und dass man konstante Faktoren rausziehen kann etc. Das gilt ja für's Integral schon und es läßt sich einfach zeigen, dass es dann auch für so eine Integral-Transformation gilten muß. Die LT von der Delta-Funktion zieht einfach wieder den Wert der e-Funktion von der LT (s. Def. von LT oben) an der Stelle -pt' raus, wie immer.
Das kann man umformen:

Das muß man jetzt noch zurück transformieren und verwendet dafür am besten eine Tabelle von LTs, aus der man zwei LT verwendet:
Die erste is die LT von sin(wt), das man direkt ausgerechnet dann zu

heraus bekommt (allerdings nur für den Fall, dass Re(p) > Im(w) ist).
Dann gibt's noch ne zweite: Wenn eine Funktion von 0 bis t' null ist und ab t' dann einen Funktionswert g(t-t') hat. Dann ist die LT:

Wobei das G hier nicht die Greenfunktion sein soll, sondern einfach nur die LT von klein g, einer beliebigen Funktion.
Fasst man die beiden LTs zusammen, (ich hab die selber mal nachgerechnet... ist nicht schwer, also die Trafo selber. Die Rück-Trafo ist nicht so leicht...), dann kann man damit unsere LT von unserem G zurücktransformieren und bekomt eben die besagte Funktion mit Null bis t' und danach das mit Sinus und so. Probiers mal selber aus! Ist gar nicht so schwer!

Wenn man auch andere DGL mit LT lösen möchte, stolpert man auch öfter über "Faltung" oder auch "convolution" auf englisch. Das ist auch eine wichtige Sache, die ich schon mehrfach bei Theo-Aufgaben gebraucht hab, allerdings eher im Zusammenhang mit Fourier-Trafo.

Also dann... Jezt muß ich endlich mal ins Bett!
Aber ich muß sagen, da hab' ich doch wieder einiges selber gelernt! So macht das echt Spaß!

Gruß
Marco
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