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Dirac'sche Delta "Funktion" - kleine Abhandlung
 
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Herbststurm



Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Beitrag Herbststurm Verfasst am: 22. Sep 2008 11:15    Titel: Dirac'sche Delta "Funktion" - kleine Abhandlung Antworten mit Zitat

Hallo,

ich habe aus zwei Gründen eine kleine historisch zweckgebundene Abhandlung zur Delta "Funktion" geschrieben. Einmal nach dem Grundsatz "Lernen durch Lehren" um es mir selbt noch einmal zu verdeutlichen und natürlich auch um anderen evtl. zu helfen. Da ich das alles selbt verfasst habe, denn abpinseln kann jeder Depp, das hätte keinen Lerneffekt, steckt der Text vermutlich voller Fehler und ich möchte darum bitten zu verbessern wenn ihr Fehler seht und natürlich Kritik, was man besser hätte erklären sollen, was gut und was schlecht ist. Dann weiss ich das schon für das nächste mal smile


Historischer Verlauf zur Entwicklung der Delta "Funktion" in der Elektrizitätslehre durch Paul Dirac.

In der Elektrostatik wird man schnell auf den Ausdruck des Elektrischen Feldes für beliebig viele Punktladungen kommen.



Bei zwei, drei kann man das noch leicht ausrechnen, aber wenn man sich ganze Festkörper ansieht ist das nicht mehr lustig. Die Lösung ist es Verteilungen zu betrachten mittels der Ladungsdichte.







Diracs Problemstellung: Wie sieht die Funktion aus für eine einzige Punktladung an der Stelle ?

Denn man möchte den Weg ja auch wieder rückwerts gehen. Doch wie sieht die Ladungsdichte bei einer einzigen Punktladung aus? Durch überlegen, oder nachlesen kommt man darauf, dass die Funktion folgende Eigenschaften erfüllen muss:



Diese Forderung macht Sinn, denn wir haben es ja mit einer Punktladung zu tun. Ein Punkt hat in unserer Näherung keine Ausdehnung! Desweiteren sollte sich unsere Ladung innerhalb des Volumens befinden, oder einfach gesagt, wenn der Kühlschrank leer ist, kann man auch kein Essen herausnehmen.

Zur Vereinfachung betrachte ich erstmal den eindimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten. Später den verallgemeinerten und die Problematik mit der Dimension der Delta "Funktion" außerhalb kartesischer Koordinaten. Die Delta "Funktion" ist definiert als:



Nun wie kann man sich das vorstellen. Man will eine Funktion, die an einer Stelle unglaublich ausschlägt, deren Peak beinahe unendlich groß ist und sonst Null ist und wenn man sie Integriert muss die Fläche immer konstant 1 Bleiben und sonst Null. Es gibt Unendlich viele Wege eine solche Funktion zu konstruieren. Eine gängige Möglichkeit ist es die Gauß'sche Glockenkurve zu mißbrauchen. In der Literatur wird manchmal dargestellt, dass dies "DER" Weg sei. Das ist ganz sicherlich falsch. Wer lust hat kann sich seine eigene bauen, denn mit unendlich viele Wege zur Delta-"Funktion" meine ich auch unendlich viele im mathematischen Sinne! Man kann sich nun Fragen wie so etwas beispielsweise Stetig sein soll. Ein Grund weshalb ich Anführungsstriche um "Funktion" setze. Da es keine Funktion im herkömmlichen Sinne ist, hat die Mathematik eine ganze Theorie dazu entwickelt. Sie heisst Theorie der Distributionen, ihr zentrales Anwendungsgebiet ist allerdings unsere Fragestellung. Mathematisch ist die Delta-"Funktion" die Ableitung der Heavyside Distribution, mit Vermerk auf weiterführende Literatur.

Spätestens seit der Fehlerrechnung dürfte diese Glockenkurve bekannt sein:



Eta ist wie man sieht der Faktor, der die Kurve abfallen lässt. Je kleiner Eta wird, desto schärfer wird die Funktion.

Nun macht es Sinn die Glockenkurve mit einem Vorfaktor zu versehen. Dieser wurde geschickt gewählt, denn er hat den Vorteil, dass:



Wenn Eta nun kleiner wird wächst der Vorfaktor und die Funktion wird schmäler, aber ihre Fläche bleibt weiterhin 1! Also:



und damit haben wir das mathematische Hilfsmittel Paul Diracs gefunden, welches Punktteilchen beschreibt.

Die Rechenregeln dazu: smile

1.) Dimension der Delta "Funktion"

hat die Dimension . Das Ergebnis der Integration ist ohne Dimension. Damit das erfüllt ist muss der Integrand obige Dimension haben, sonst würde nichts dimensionsloses heraus kommen. So kürzt sie sich heraus.

2.) Das Produkt der Delta "Funktion" mit einer Funktion f(x)



logischerweise, denn wäre x nicht gleich a wäre dem Integranden f(x) eh egal, da man mit Null multiplizieren würde. f(a) ist wie man sieht damit konstant:



3.) Symetrie der Delta-"Funktion"



4.)Komposition, eine Funktion y(x) als Argument der Delta "Funktion"



Nur für Nullstellen der inneren Funktion nimmt die äußere einen Wert an.
Wenn das Argument der Delta "Funktion" eine Nullstelle aufweist, dann gilt:



Denn:



nun eine Varianblensubstitution



uns interessiert aber



Abhilfe schafft man mit dem Vorfaktor

damit wird





und damit kürzt man sich den substituierten Term passend, aber die Regel vier findet sich in der ersten Aussage wieder.

Ein Beispiel dazu:



Die Nullstellen sind klarerweise

nun nach obiger Regel 4:





und damit ist der Ausdruck reduziert auf bekannte Delta "Funktionen", bei denen man weiss wie zu integrieren ist.

Delta "Funktion" im 3-Dimensionalen Raum

in kartesisches Koordinaten für den Peak bei









Augen auf im Strassenverkehr!

Wie man sieht hat die Delta "Funktion" in kartesischen Koordinaten die Dimension

Je nach gewähltem Koordinatensystem, kann die Dimesion sich verändern, denn beispielsweise erfüllen Azimut- und Polarwinkel nicht diese Dimensionsbedingung. Da muss dann je nach System aufgepasst werden was man rechnet.

Die Ladungsdichte einer Punktladung

Zurück zur Elektrostatik und dem Ausgangsproblem:



und nun mit der Delta "Funktion"





und wir sind wieder da wo wir angefangen haben und auch hinwollten.

Danke für die Mühe es gelesen zu haben und für Kritik smile
Grüsse
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
Beiträge: 1342
Wohnort: Düren, NRW

Beitrag wishmoep Verfasst am: 22. Sep 2008 14:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe zwar null Plan von der genauen Materie und bin wegen dem Aktenkram heut morgen auch was ausgebrannt - aber!
(Also Elektrostatik schon - nur den Rest - da werd ich mein 12. Klasse hirn wohl mal anstrengen müssen Augenzwinkern ... ich werds mir ansehen Big Laugh)

Ja, ein aber.

Wenn du einen Term mit z.B. einem großen Bruch oder Doppelbruch hast.



Dann sieht das bei dir so aus :-|

Wenn du aber
anstatt
Code:
( ... )
->
Code:
\left( ... \right)

benutzst, sieht das so aus:



Ist mir so beim Überfliegen aufgefallen. Das funktioniert mit allen Klammern, Normale, Eckige, Spitze, Geschwungene... usw smile
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