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PhysikIstWunderbar
Gast
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 PhysikIstWunderbar Verfasst am: 28. Aug 2024 17:27 Titel: Greensche Funktion des Laplace-Operators (Poisson-Gleichung) |
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Hallo,
ich habe eine Frage zur Methode der Green-Funktion. Ich will einmal frei heraus erklären, wie ich es verstehe:
Zu einem linearen Differentialoperator L gibt es folgende inhomogene DGL:
 = \delta(r-r'))
welche von ) gelöst wird. Wir nennen sie Greensche Funktion.
Kennt man die Lösung G(r-r'), kann man sich durch Multiplikation auf beiden Seiten und Integration die Eigenschaft der Delta-Distribution zunutze machen, und z. B. die Poissonglg. lösen.
Nehmen wir nämlich an, dass L der Laplaceoperator ist und ich multipliziere beide seiten mit
}{\epsilon_0})
und integriere über ein Raumvolumen, dann ergibt sich ja:
}{\epsilon_0} \nabla^2 G(r-r') \, \dd ^3r' = \int \! \frac{\rho(r')}{\epsilon_0} \delta(r-r') \, \dd ^3r' = \frac{\rho(r)}{\epsilon_0})
Die rechte Seite ergibt also schonmal (bis auf ein Minus, welches dann in der Greenschen Funktion stecken muss) die rechte Seite der Poissonglg.
Ab hier verstehe ich nun aber den Sinn der Methode nicht mehr.
Wenn ich nun aus der Literatur weiß, dass  = \frac{-1}{4 \pi |r-r'|}) , was habe ich dann überhaupt berechnet? Wie das Potential einer Ladungsdichte aussieht, wusste ich auch vorher.
Wenn ich es nicht weiß, dann müsste ich erstmal lösen:
 = \delta(r-r'))
(Linkes und rechtes Integral sind gleich wenn die Integranden gleich sind). Damit stünde ich aber wieder zirkulär beim Anfangsproblem.
Ich hoffe, man konnte verstehen, was mein Problem ist. Die Poissonglg. ergibt sich ja aus dem Gauß-Gesetz (Maxwell) und der Tatsache, dass sich das E-Feld als konservatives Feld mittels negativem Gradienten eines Potentials darstellen lässt:
 = - \frac{\rho(r)}{\epsilon_0})
Nun weiß ich doch aber sowieso schon, wie das Potential aussieht, nämlich:
 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \! \frac{\rho(r')}{|r-r'|} \, \dd ^3r' )
Mir ist sowas von nicht klar, inwiefern man jetzt die Greensche Funktion verwendet. Bitte um Hilfe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 28. Aug 2024 20:12 Titel: Re: Greensche Funktion des Laplace-Operators (Poisson-Gleich |
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| PhysikIstWunderbar hat Folgendes geschrieben: |
Nun weiß ich doch aber sowieso schon, wie das Potential aussieht, nämlich:
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Und woher weißt Du das? |
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PhysikIstWunderbar
Gast
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| PhysikIstWunderbar Verfasst am: 28. Aug 2024 23:53 Titel: Re: Greensche Funktion des Laplace-Operators (Poisson-Gleich |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | PhysikIstWunderbar hat Folgendes geschrieben: |
Nun weiß ich doch aber sowieso schon, wie das Potential aussieht, nämlich:
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Und woher weißt Du das? |
Im Prinzip ist es das Erste, was man in der E-Dynamik-Vorlesung bei uns eingeführt hat. Grob zusammengefasst: Aus dem Experiment weiß man, dass es positive und negative Ladungen gibt. Die Kraft, die auf eine Probeladung wirkt ist F = q E, das Feld E ist proportional zur Ladung und zum reziproken Abstandsquadrat. Das Potential erhält man wiederum aus dem negativen Gradienten. Punktladungen lassen sich über die Delta-Dirac-Funktion darstellen.
Dann sagt man, dass die Quellen des E-Feldes Ladungsdichten sind (verknüpft über Satz von Gauß), schreibt das Feld wiederum als Gradient des Potentials, was die Poissongleichung ergibt.
Wie die allgemeine Form von ) aussieht, weiß ich halt dadurch schon, so wie oben angeschrieben. Das ist ja genau mein Problem. Inwiefern benötige ich die Greensche Funktion? 
Wenn ich aus der Faltungs-Theorie aus den Mathevorlesungen sage, dass:
Sei 
Such damit  .
 = L(f * G))
Somit )
Dann ist meine gesuchte Funktion halt die Faltung meiner beliebigen Inhomogenität (bei der Poissongleichung halt die rechte Seite) mit der Greenfunktion.
Wenn ich jetzt mal so tue, als wüsste ich nicht, wie aussieht, dann wüsste ich aber auch sowieso nicht, wie ich die Greenfunktion berechnen sollte. Liest man die dann einfach aus der Literatur ab? Ich berechne doch keine partielle DGL der Poissongleichung in Physik.
Mir ist ja das Konzeptionelle und Mathematische irgendwie halbwegs klar, nur nicht wie mir das alles weiterhilft. Für mich steht da im Prinzip einfach nur: "Sieh her, ein Teil des elektrostatischen Potentials nennen wir jetzt Greensche Funktion." |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 29. Aug 2024 07:11 Titel: |
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Wenn du die Greensche Funktion G kennst, dann kannst du (aufgrund der Linearität der DGL) die Lösung für eine allgemeine Ladungsverteilung ϱ sofort hinschreiben.
Nun stell dir mal eine Situation vor, in der du die Greensche Funktion nicht kennst:
i) das äquivalente Problem in zwei Dimension
ii) das Problem in drei Dimensionen, jedoch auf einem 3-Torus mit periodischen Randbedingungen *
iii) eine andere DGL, d.h. einen anderen Differentialoperator L wie z.B. für ein elektromagnetisches Feld mit nicht-verschwindender Ruhemasse
iv) …
G hat jeweils eine andere Form.
Die Methode der Greenschen Funktionen besagt nun je Problem i, ii, iii, iv …:
1) bestimme für den Differentialoperator L die jeweilige Greensche Funktion G
2) berechne mittels G ** für jede gegebene Ladungsverteilung ϱ das Potential φ
Da ist nichts zirkulär o.ä.; G ist ein Zwischenschritt zur Lösung einer Klasse von DGLs, für das selbe L mit den selben Randbedingungen jedoch verschiedenen Inhomogenitäten ϱ.
Formal ist das nichts anderes als die Übertragung der Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme auf Gleichungen gewisser Klassen von Operatoren L ***. Für ein gewöhnliches lineares Gleichungssystem mit invertierbarer n*n Matrix L ****, gegebenem Vektor ϱ und gesuchtem Vektor φ gilt
* natürlich müssen die Randbedingungen in jedem Fall betrachtet werden; ich erwähne das nicht immer explizit
** natürlich müssen außerdem die Lösungen der homogenen Gleichung betrachtet werden
*** auf Banach-Räumen
**** wie **, wenn L nicht maximalen Rang hat
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 29. Aug 2024 17:11 Titel: Re: Greensche Funktion des Laplace-Operators (Poisson-Gleich |
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| PhysikIstWunderbar hat Folgendes geschrieben: |
Wie die allgemeine Form von aussieht, weiß ich halt dadurch schon, so wie oben angeschrieben. Das ist ja genau mein Problem. Inwiefern benötige ich die Greensche Funktion?
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Wenn man die Lösung schon kennt, braucht man die Gleichung natürlich nicht noch einmal lösen 
Es ist aber ein schönes anschauliches Beispiel für eine Methode, die sehr viel allgemeiner anwendbar ist.
| Zitat: |
Wenn ich jetzt mal so tue, als wüsste ich nicht, wie aussieht, dann wüsste ich aber auch sowieso nicht, wie ich die Greenfunktion berechnen sollte. Liest man die dann einfach aus der Literatur ab?
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Wenn man Glück hat und jemand das Problem schon gelöst hat
| Zitat: |
Ich berechne doch keine partielle DGL der Poissongleichung in Physik.
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Doch natürlich. Das ist gefühlte 80% der Elektrodynamik: Lösen der Poissongleichung an unterschiedlichen Beispielen mit mehr oder weniger unterschiedlichen Mathoden, die meistens auf mehr oder weniger direkte Bestimmung der Greenschcen Funktion hinauslaufen. Es gibt ja nicht "DIE Greensche Funktion für die Poissongleichung", sondern eine Greensche Funktion für die Poissongleichug MIT bestimmten Randbedingungen.
| Zitat: |
Mir ist ja das Konzeptionelle und Mathematische irgendwie halbwegs klar, nur nicht wie mir das alles weiterhilft. Für mich steht da im Prinzip einfach nur: "Sieh her, ein Teil des elektrostatischen Potentials nennen wir jetzt Greensche Funktion." |
Der Vorteil der Greenschen Funktion ist, dass man mit ihr das Problem für alle möglichen Ladungsverteilungen (zumindest formal) gelöst hat und nicht immer wieder bei Null andangen muss.
Ein weiterer Vorteil ist vllt, dass man die Greensche Funktion oft in für das Problem geeigneten Basisfunktionen entwickelt. Das Bestimmen der Koeffizienten ist dann häufig gar nicht mehr so schwer. |
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