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Poissongleichung für einen Zylinder lösen
 
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McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 29. Aug 2012 12:40    Titel: Poissongleichung für einen Zylinder lösen Antworten mit Zitat

Hallo,

ich habe eine Augabe, bei der ich die Poissongleichung für einen Zylinder lösen soll.

Die Ladungsdichte ist gegeben durch:

für r<=R und 0 für r>R

Ich habe den Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten aufgestellt, die Gleichung nach dem Potential aufgelöst und erhalte folgende Gleichungen:

für r<=R

für r>R

Da für r->0 das Potential einen endlichen Wert haben muss, folgt

In einem Buch zur theoretischen Physik steht ohne Begründung, dass Null sein muss. Warum?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 29. Aug 2012 13:02    Titel: Antworten mit Zitat

Das Potential ist im elektrostatischen Fall nur bis auf eine Konstante bestimmt, die damit beliebig gewählt werden kann. Meist wählt man die Konstante zu 0 oder so, dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Letztlich ist aber willkürlich.
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 29. Aug 2012 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, dann müsste mit den Stetigkeitsbedingungen für das Potential folgendes herauskommen:

für r<=R

und

für r>R

Mich verwirrt nur, dass das potential im Innenteil logarithmisch abnimmt.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 29. Aug 2012 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

ln R kann einheitenmäßig nicht ganz stimmen, ansonsten tritt der Logarithmus bei verschiedenen zylindersymmetrischen Problemen auf und dürfte mit der Ableitung 1/r zusammenhängen (E Feld).
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 30. Aug 2012 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
ln R kann einheitenmäßig nicht ganz stimmen


Wie meinst du das?

Mir fällt auch auf:

Muss es nicht

für r<=R

und

für r>R

heißen?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 30. Aug 2012 16:51    Titel: Antworten mit Zitat

Der Numerus im Logarithmus kann nur eine Zahl sein, keine Meter.
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 30. Aug 2012 16:54    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, aber ich bin jetzt alles nochmal durchgegangen und finde den Fehler nicht.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 30. Aug 2012 17:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ohne nachzurechnen: Du hast doch sicher irgendwo ein bestimmtes Integral, wo sich eine Differenz von Logarithmen ergibt und zusammen etwas in der Art ln (r_2 / r_1) .
Kannst Du uns Deine Lösung für \Phi mal kurz anschreiben?
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 30. Aug 2012 20:18    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:

Für den Innenteil:






Für den Außenteil:





Die Konstanten bestimme ich wie oben angegeben.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 30. Aug 2012 20:28    Titel: Antworten mit Zitat

McClane hat Folgendes geschrieben:
Für den Innenteil:


Woher 4\pi und wo ist \epsilon?
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 30. Aug 2012 20:47    Titel: Antworten mit Zitat

Die Poisson-Gleichung lautet:



kommt nicht vor, da ich zur Vereinfachung das Gaußsche System gewählt habe.

Wenn man den Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten angibt, kommt man auf:



(Für den Innenteil)
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 31. Aug 2012 10:37    Titel: Antworten mit Zitat

gelöscht irrelevant

Zuletzt bearbeitet von franz am 01. Sep 2012 04:20, insgesamt 4-mal bearbeitet
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 31. Aug 2012 13:12    Titel: Antworten mit Zitat

Auf diesem Weg haben wir das für eine Kugel durchgeführt. Für den Zylinder sollen wir es aber direkt mit der Poisson-Gleichung lösen.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 31. Aug 2012 14:12    Titel: Antworten mit Zitat

gelöscht, irrelevant

Zuletzt bearbeitet von franz am 01. Sep 2012 04:20, insgesamt einmal bearbeitet
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 31. Aug 2012 14:15    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, wie oben angegeben: Für den Innen- bzw Außenteil zweimal integriert.

McClane hat Folgendes geschrieben:
Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:

Für den Innenteil:






Für den Außenteil:





Die Konstanten bestimme ich wie oben angegeben.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 01. Sep 2012 04:19    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo McClane,
nochmal kurz: Die allgemeine (partielle) Feldgleichung des elektrostatischen Potentials vereinfacht sich bei einem unendlich langen und homogen geladenen Kreiszylinder zu der gewöhnlichen DGL
wofür uns Wolfram Alpha angibt*)


Diese vier Konstanten werden aus dem physikalischen Zusammenhang bestimmt:

1) Festlegung eines Nullniveaus


2) stetiger Übergang


3) glatter Übergang: Mangels einer Flächenladung ist


KORREKTUR


*) Die nötige Transformation von r zum einheitenlosen x = r/R läßt sich vielleicht so handhaben: r = R x -> x y'' + y' + (rho R^2 / eps eps_0) x = 0 usw.


Zuletzt bearbeitet von franz am 02. Sep 2012 18:20, insgesamt einmal bearbeitet
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 02. Sep 2012 12:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo franz,

vielen Dank für deine Antwort. Damit bin ich schon einen großen Schritt weiter. Was ich noch nicht ganz verstehe, ist warum es ln(r/R) heißt bzw. wie man darauf kommt. Meine Lösung sieht identisch aus, jedoch steht überall nur ln(r).

Die Lösung würde doch der Antwort von pressure widersprechen oder?
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 773

Beitrag Huggy Verfasst am: 02. Sep 2012 13:41    Titel: Antworten mit Zitat

Man kann wahlweise oder schreiben. Wegen ändert das nur die Konstante c4.

Übrigens enthält die Lösung von franz noch einen Vorzeichenfehler. Richtig ist:



Ich sehe keinen Widerspruch zu pressure. Er hat doch nur gesagt, dass das Potential nur bis auf eine willkürliche konstante bestimmt ist.
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 02. Sep 2012 18:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, vielen Dank. Wie lautet den bei dir C4? Wenn ich C4 =0 setze, kommt bei mir etwas ganz anderes heraus.

Wie kann man überhaupt physikalisch begründen, dass C4 frei wählbar ist?
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 773

Beitrag Huggy Verfasst am: 02. Sep 2012 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du bei mir sagst, meinst du wohl die Lösung von franz. Und da erscheint es mir zumutbar, wenn du dort c4 selbst abliest. Du musst doch nur bei der Lösung im Außenraum den logarithmischen Summanden weglassen. Das geänderte Vorzeichen sollte natürlich bleiben.

Das Potential hat keine eigenständige physikalische Bedeutung. Bedeutung hat nur die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten bzw. die Feldstärke, welche der Gradient des Potentials ist. Bei beidem fällt eine additive Konstante im Potential heraus. Wenn du also c4 = 0 wählst und die anderen Konstanten dann mittels der Übergangsbedingungen bestimmst (siehe franz), ist das auch eine korrekte Lösung.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 02. Sep 2012 18:24    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ganz herzlichen Dank, lieber Huggy, für die Korrektur (wurde oben geändert). Daran erkennt man den Profi: Nix glauben, alles selber rechnen.
smile
Mit habe ich zwar prinzipielle Probleme (Was ist der Logarithmus von 1m?), aber das spielt hier keine Rolle.

Was die Konstanten angeht: Der Groschen ist bei mir sehr langsam gefallen, daß man physikalisch einen "glatten" Übergang fordern muß und ansonsten ist es sicher egal, ob man von innen nach außen oder umgekehrt rechnet.

mfG
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 773

Beitrag Huggy Verfasst am: 02. Sep 2012 18:35    Titel: Antworten mit Zitat

Deshalb gefällt mir auch besser und so wird es ja auch üblicherweise gemacht. Wenn man also verwenden möchte und ganz korrekt sein will, müsste man oder so etwas schreiben. Aber Gleichungen, die Maßeinheiten enthalten, verwendet man auch ungern.
McClane



Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63

Beitrag McClane Verfasst am: 02. Sep 2012 18:37    Titel: Antworten mit Zitat

Entschuldigung. Habe gerade einen Gedankenfehler mit der Konstanten gemacht. Jetzt ist alles klar.

Vielen Dank smile
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