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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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 Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 14:20 Titel: DGL's lösen |
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Hallo zusammen!
Es wird zwar nicht verlangt, jedoch kommen wir im PhysikLK immer wieder mit DLG's in Berührung.
Das ganze finde ich etwas verwirrend, da gesagt wird man muss "eine Eingebung" finden um so etwas zu lösen, also einen Ansatz finden.
Zum Beispiel Schwingungen:
Hook'sches Gesetz:
=\dot{v}(t)=a(t)) , also:
=m \cdot \ddot{s}(t))
=-\frac{m}{D} \cdot \ddot{s}(t))
So und hier brauche ich jetzt diesen komischen "Ansatz".
In der Herleitung wurde dann halt erstmal gesagt, mhm es könnte ja ne Sinusfunktion sein (wie kommt man drauf??? Manchmal wird auch ne Exp- oder Log-Funktion genommen).
Also das erstmal ableiten:
= \hat{s} \sin{(\omega t)})
= \omega \hat{s} \cos{(\omega t)})
=-\omega^{2} \hat{s} \sin{(\omega t)})
Dann wird gesagt, das einzige was sich ändert ist der Vorfaktor Omega, und deswegen muss
sein (Warum auch immer, diese Überlegung verstehe ich ebenfalls nicht).
Und was hat mir das ganze jetzt gebracht? Gut ich hab ne Sinusfunktion, mit der kann ich s(t) bestimmen. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 31. Okt 2012 14:42 Titel: |
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Also eine Eingebung braucht man streng genommen nicht, denn für DGLs der Art die du hier gepostet hast gibt es standardisierte lösungsverfahren.
Die DGL die du hier genannt hast ist jene einer idealen Feder ohne Reibung und ohne andere Kräfte die einwirken, d.h. man lenkt eine Feder aus und lässt dann los.
Überleg dir mal wie die Bewegung aussieht, geht ja hoch und runter, hoch und runter.(wenn du ein Koordinatensystem dranhalten würdest, könntest du die höchste stelle mit 1 bezechnen und die tiefste mit -1) Was tun sin und cos? Genau, sie sind periodisch und schwanken zwischen -1 und 1.
Daher liegt es nahe einen Ansatz zu wählen, welcher aus diesen Funktionen besteht.
Alternativ könntest du dir folgendes überlegen:
Die DGL sagt aus, dass die zweite Ableitung(nach der Zeit, aber ist eignetlich nicht so wichtig) mal irgendeinem vorfaktor identisch ist zur Ursprungsfunktion.
Was weißt du denn über sin(x)? GENAU, es ist zwei mal abgeleitet wieder sinus, nur halt mit nem minus vor.
Und was ergibt sin(a*x) zwei mal abgeleitet? Genau, -a²*sin(a*x).
Wenn man also als Lösungsansatz eine sinus funktion wählt und diese noch mit einer Amplitude A und einem Vorfaktor m versieht, man also
f(x) = A*sin(m*x) hat, kann man die DGL lösen.
Wenn du diesen Ansatz in die DGL einsetzt, siehst du dass sich die Amplitude ohnehin rauskürzt. Dann muss also -D/m identisch sein zu w²(da gibt es nichts zu begründen, denn das folgt direkt aus der DGL)
Was das bringt? Du hast nur aus einer Beziehung zwischen der Ableitung einer Funktion und der ursprünglichen Funktion die tatsächliche Form gefunden.
Dadurch hast du bewiesen dass eine Feder mit einer Masse daran tatsächlich wie ein sinus schwingt.
Das mag dir nun trivial erscheinen, jedoch ist die gesamte Physik auf DGLs aufgebaut(die allerdings häufig doch ein bisschen komplizierter sind  ), daher ist das Verständnis von DGLs und Wissen über Lösungsverfahren von fundamentaler Bedeutung(für den Physiker  ). Schreib ich hier übrigens immer wieder in diesem Forum  |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 14:46 Titel: |
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Okay, es ist halt eine etwas... andere Art zu denken.;D
Ich muss erstmal dahinter kommen. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 31. Okt 2012 14:51 Titel: |
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in der Tat, schon mal gut dass du das erkannt hast^^
DLGs sind keine Zauberei, anders als bisher ist es halt so, dass man nicht die Funktion konkret kennt sonder nur Aussagen über ihr Änderungsverhalten, welches aber von dem derzeitigen Zustand der Funktion abhängen kann^^(z.B. efunktion: d/dx(e^x) = e^x |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 15:24 Titel: |
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Mhm, wie meintest du das eig damit, dass sich was wegkürzt?
Das habe ich nicht verstanden.;D |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 31. Okt 2012 15:47 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: | | Mhm, wie meintest du das eig damit, dass sich was wegkürzt? |
Was passiert denn mit einem konstanten Faktor bei der Ableitung? |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 17:02 Titel: |
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Er wird mit der Potenz multipliziert?
Oder meinst du das, was am Ende steht sagen wir x^3+2, bei der ableitung, 3x^2+0, also er entfällt? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 31. Okt 2012 18:44 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: | | Er wird mit der Potenz multipliziert? |
Das macht nur Sinn, wenn eine Potenz da ist, was ja nicht immer der Fall sein muss. Nehmen wir an, Du hast eine Funktion
f(x) = k·g(x)
Wie sieht die Ableitung dieser Funktion aus? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 19:20 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: | Mhm, wie meintest du das eig damit, dass sich was wegkürzt?
Das habe ich nicht verstanden.;D |
Setz es ein und sieh selbst. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 19:51 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Krachi hat Folgendes geschrieben: | | Er wird mit der Potenz multipliziert? |
Das macht nur Sinn, wenn eine Potenz da ist, was ja nicht immer der Fall sein muss. Nehmen wir an, Du hast eine Funktion
f(x) = k·g(x)
Wie sieht die Ableitung dieser Funktion aus? |
=g(x) ) ? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 20:04 Titel: |
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Nein. Gaaaanz grundlegende Differentiationsregel:
d/dx(a*f(x)) = a*df(x)/dx |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 20:18 Titel: |
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Haste eine Internetseite, damit ich mir das mal durchsehen kann? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 20:47 Titel: |
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Nimm dein Mathebuch zur Hand. Ist besser als das Internet zu nehmen. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 31. Okt 2012 22:00 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: | | DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Nehmen wir an, Du hast eine Funktion
f(x) = k·g(x)
Wie sieht die Ableitung dieser Funktion aus? |
? |
Ich kann mich kingcools' Rat nur anschließen. Bevor Du Dich an Differentialgleichungen heranwagst, musst Du erst einmal die Differentiationsregeln beherrschen. Ohne dieses Wissen stellt sich die bei der Lösung hilfreiche "Eingebung" sicher nicht sein. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 22:18 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: | Nein. Gaaaanz grundlegende Differentiationsregel:
d/dx(a*f(x)) = a*df(x)/dx |
Ist das die Faktorregel?
Also so???:
 = k \cdot g(x) \Rightarrow f'(x)=k \cdot \frac{\dd }{\dd x} g(x))
Ich wusste nicht, dass ich das auch mit den d's schreiben kann.
Theoretisch darf ich doch auch schreiben:
=k \cdot g'(x)) ??? Oder =k\cdot \dot{g}(x)) |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 22:33 Titel: |
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df/dx ist nur eine andere Bezeichnung für f'(x), so wie vllt deine Freunde dir einen Spitznamen geben. Unabhängig vom Namen bleibst ja du immernoch du.
Der Punkt über eine Funktion heißt nur dass es die Ableitung nach der Zeit ist, was aber nur physikalisch eine andere Bedeutung hat. Mathematisch ist das identisch zur Ableitung nach irgendeiner anderen Variable.
Namen sind eben Schall und Rauch.
Achso und es handelt sich um einen Spezifalfall der Produktregel:
d/dx(f*g) = g*df/dx + f*dg/dx.
Hier ist f(x) = k.
Dann ist die Ableitung von k nach x eben Null, da es eine Konstante ist. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 22:45 Titel: |
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Ist das etwa schon wieder falsch? oO Ich dachte ich differentiere alles was im prinzip rechts steht. |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 22:46 Titel: |
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Hä? Ja machst du ja auch, aber es ist eben nur ein Spezialfall der Produktregel der Differentiation. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 22:49 Titel: |
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Vielleicht reden wir aneinander vorbei.
Wenn ich:
f(x)=k * g(x) ableite, was erhalte ich dann? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 23:13 Titel: |
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steht schon in meinem anderen post |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 31. Okt 2012 23:17 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: | | steht schon in meinem anderen post |
f(x)=k ? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 31. Okt 2012 23:24 Titel: |
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Und weiter? |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 01. Nov 2012 00:06 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: | | Und weiter? |
Mhm, halt mich nicht für blöd, aber ich hab echtn Knoten drin.
Ich will f(x)=k*g(x) ableiten.
Warum g(x) und f(x)? Ist das so einfach??? Vllt denk ich gerade komisch .
d/dx(f*g) = g*df/dx + f*dg/dx
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 01. Nov 2012 00:31 Titel: |
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Wie gesagt, namen sind schall und rauch, wie das genau heißt ist völlig egal.
Es geht nur darum dass du eine Funktion hast(wir nennen sie hier f) welche zusammengesettz ist aus einmal einer konstanten k(oder anders gesagt einer konstanten Funktion) und einer anderen Funktion g(x). Wie genau g(x) jetzt aussieht(etwa g(x) = x, oder g(x) = x²+ln(324234x) usw alles mögliche) ist völlig egal.
Ich meinte nur das man das k als konstante Funktion auffassen kann:
dann ist k*g(x) = s(x)*g(x) mit s(x) = k.
Dann Produktregel anwenden. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 01. Nov 2012 00:33 Titel: |
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| kingcools hat Folgendes geschrieben: |
Ich meinte nur das man das k als konstante Funktion auffassen kann:
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Achso!!! Danke, jetzt kapiert.;D Ich dachte das ist iwie ein Faktor, der beim Ableiten wegfällt. Jetzt hab ich's kapiert, sowas wie Produkt-/Quotienten-/Kettenregel hatten wir schonmal. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5042
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| DrStupid Verfasst am: 01. Nov 2012 00:33 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich:
f(x)=k * g(x) ableite, was erhalte ich dann? |
Das hast Du schon mehrmals hingeschrieben:
| Krachi hat Folgendes geschrieben: |
[...]
??? Oder |
Die Frage ist jetzt nur noch, was Du mit dem Faktor k machen kannst, wenn in einer Gleichung links die Funktion f und rechts ihre Ableitung steht. |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 01. Nov 2012 20:53 Titel: |
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Hättet ihr eine gute Buchempfehlung für jemanden, der sich in die DGL's einarbeiten will? Ich will sowieso E-Tech studieren, da brauche ich das ohne Ende. |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 01. Nov 2012 21:30 Titel: |
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Fandest du denn den Umstieg auf Uni-Mathe schwer?
Wie kommt man am besten rein? Ich hab viel versäumt in meiner Schulzeit, im Prinzip alles bis zur 11. War die größte Niete auf in Mathe... Ab der 11. und jetzt in der 12. bin ich Matheking im Kurs, aber nur wegen dem Interesse, nicht weil ich ein Genie wäre. 
Aber ich habe noch riesengroße Lücken, da fehlt soviel... 
Ich nehme jetzt zusätzlich noch Nachhilfe, weil ein Lehrer bei uns an der Schule E-Tech studiert hatte. Der macht extra mit mir Vorbereitung auf Uni.
Was sollte ich da alles durchhämmern? Sone Sachen wie Algebra, Logaritmen-und Potenzregeln? Oder auch schon DGL's, Integralrechnung und komplexe Zahlen? |
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gnomius
Gast
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| gnomius Verfasst am: 01. Nov 2012 21:34 Titel: |
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variationsrechnung, tensoranalysis und nicht-standart-analysis kann ich dir empfehlen. |
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gnomius
Gast
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| gnomius Verfasst am: 01. Nov 2012 21:38 Titel: |
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für dgls empfehle ich dir von harro heuser "gewöhnliche differentialgleichungen" (gibts bei amazon) |
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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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| Krachi Verfasst am: 01. Nov 2012 21:52 Titel: |
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| gnomius hat Folgendes geschrieben: | | variationsrechnung, tensoranalysis und nicht-standart-analysis kann ich dir empfehlen. |
Zum Studienanfang??? |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 01. Nov 2012 22:41 Titel: |
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| gnomius hat Folgendes geschrieben: | | für dgls empfehle ich dir von harro heuser "gewöhnliche differentialgleichungen" (gibts bei amazon) |
harro heuser ist WIRKLICH gut im erklären. Er bemühtsich wirklich die Dinge verständlich auszudrücken |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 01. Nov 2012 22:43 Titel: |
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| gnomius hat Folgendes geschrieben: | | variationsrechnung, tensoranalysis und nicht-standart-analysis kann ich dir empfehlen. |
Das ist relevant für Physik aber eher sehr wenig für Ingenieursfächer |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 01. Nov 2012 22:49 Titel: |
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| Krachi hat Folgendes geschrieben: | Fandest du denn den Umstieg auf Uni-Mathe schwer?
Wie kommt man am besten rein? Ich hab viel versäumt in meiner Schulzeit, im Prinzip alles bis zur 11. War die größte Niete auf in Mathe... Ab der 11. und jetzt in der 12. bin ich Matheking im Kurs, aber nur wegen dem Interesse, nicht weil ich ein Genie wäre.
Aber ich habe noch riesengroße Lücken, da fehlt soviel...
Ich nehme jetzt zusätzlich noch Nachhilfe, weil ein Lehrer bei uns an der Schule E-Tech studiert hatte. Der macht extra mit mir Vorbereitung auf Uni.
Was sollte ich da alles durchhämmern? Sone Sachen wie Algebra, Logaritmen-und Potenzregeln? Oder auch schon DGL's, Integralrechnung und komplexe Zahlen? |
Ich fand den Umstieg sehr schwer, was allerdings vielerlei Gründe hatte.
Zum einen habe ich in der 13. praktisch gar icht mehr aufgepasst da mir das alles zuvor sehr leicht fiel und eh ich mich ein wenig gelangweilt habe. In der Uni dann habe ich den Mathevorkurs verpasst sowie mangelnde Disziplin aufgewiesen, was sich auf meine damalige Unreife in meinem Lern- und Studienverhalten zurückführen lässt. Dazu kam noch das ich dann nicht konsequent bei Übungen und Sprechstunden war und den Anschluss verpasste(war Physik). Hab es dann nach einem Jahr gelassen und studiere es jetzt für mich selbst(also hobbymäßig, studiere jetzt n anderes Fach) und finde es nicht mehr so schwer(gibt natürlich immer wieder Dinge die einem Kopfzerbrechen bereiten, aber nicht wie am Anfang).
Sei dir gesagt: Es ist alles eine Frage der Übung und des Engagements. Wenn man etwas nicht versteht muss man eben solange in verschiedenen(!) Büchern nachlesen oder andere Leute fragen bis man es versteht.
Man kann ALLES(!) verstehen wenn man nur will. Nimm dir mein schlechtes Beispiel als Warnung zu Herzen Freue mich über jeden der schlauer ist als ich beim Übergang Schule->Uni.
Und nicht traurig sein wenn dich die Mathematik an der Uni erstmal erschlägt, es ist wirklich keine Zauberei. Man muss sich nur gewöhnen, mit der Zeit wird es irgendwann "klick" machen und das Verständnis scheint wie von selbst zu kommen.
edit: achso, Ich hatte Physik studiert was in nathematischer Hinsicht deutich schwerer ist als ein Ingenieursfach.(Nicht nur wegen des Stoffs sondern auch weil die Übungen bei uns in Mechatronik deutlich besser waren als jene in Physik) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2012 06:36 Titel: |
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Vielleicht ein kleiner Tipp:
Meiner Ansicht nach (und ich weiss, dass sie von vielen geteilt wird), bingt es wenig bis nichts vorzulernen fuers Studium. Du solltest das Rechnen aus der Schule beherrschen, das reicht vollkommen. Alleine etwas wie DGL's vorlernen zu wollen bringt nicht viel, da es an der Uni in einem Tempo durchgenommen wird, dass Du nach 2-3 Wochen eh nur wenig Vorteil davon hast.
Also sorg dafuer dass Du das Schulwissen beherrscht (Potenzen, Exp/Log, Ableiten, Integrieren, evtl. Komplexe Zahlen und Matrizen/Verktoren,...), dann hast Du genug Handwerkszeug um das Studium (erfolgreich) zu beginnen.
Ansonsten geniess die freie Zeit, die Du noch hast, nach dem ersten Semester wirdt Du Dir wünschen etwas freie Zeit zu haben. Als mir vor Studium nen befreundeter aelterer Prof erzaehlt hat wie sehr er immer die Semesterferien zum Kraftschoepfen genutzt hat, dachte ich "ja ja, red Du mal... son bisschen studieren, da braucht man doch nicht soviel Zeit zum wiederaufladen" ... bis ich selber das erste Semester hinter mir hatte 
PS: Ich weiss es gibt schlimmere Arbeiten als zu Studieren, aber wenn man sich dafuer interessiert und reinkniet, dann braucht man nach einem Semester eine Pause fuer den Kopf...
PPS: Das (Studenten)Leben hab ich trotzdem immer genossen, so wie vermutlich die meisten... |
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