Differentialgleichung des Impules lösen

Flo1 · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe die Differentialgleichung: dm/dt *v + (M+m)* dv/dt=0.
M ist eine feste Masse und m eine Masse, die sich mit der Zeit ändert.
Diese Gleichung soll ich mithilfe der Separation der Variablen lösen.

Meine Ideen:
Meine Idee ist die Geschwindigkeit auf eine Seite zu bringen und auf die andere Seite den Rest. Theoretisch weiß ich was ich machen soll, nur praktisch nicht. Das ist auch das erste Mal, dass ich auf die Methode der Seperation gestoßen bin und weiß deshalb nicht was zu tun ist.
Ich kann mir auch gar nicht vorstellen, was das Ergebnis sein soll und was es mir bringt.

Gruß
Flo

Flo1 · Gast

Also diese Differentialgleichung des Impulses soll die Kraft darstellen die wirkt. Als kleiner Zusatz

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Flo1 · Gast

Mh ich weiß leider nicht auf was du hinauswillst

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Worauf ich hinauswill: Auf die Lösung Deiner Frage.
Wenn man von einer bekannten Beziehung m(t) ausgeht, kennt man jetzt

Flo1 · Gast

Mh ok ich verstehe leider nicht was du gemacht hast. Wo hast du denn integriert oder umgestellt? Bzw wie hast du die separation durchgeführt? Sorry aber ich weiß den rechenweg immer noch nicht

Flo1 · Gast

Mh ok ich verstehe leider nicht was du gemacht hast. Wo hast du denn integriert oder umgestellt? Bzw wie hast du die separation durchgeführt? Sorry aber ich weiß den rechenweg immer noch nicht

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Er hat nur eine neue Größe definiert (nämlich den Gesamtimpuls); Die DGL damit geschrieben ist einfach

und somit

, also der Gesamtimpuls erhalten. Die Definition wieder eingesetzt und nach v umgestellt liefert das Ergebnis.

Wenn du das Problem über Separation lösen willst, dann kannst du das natürlich auch machen:

und nun integrieren...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Du hattest oben als Problem die Lösung einer Gleichung eingestellt. Dazu kam von mir ein Vorschlag. Die Vorgabe von Lösungswegen lehne ich jedoch ab; eine persönliche Marotte von mir.

Flo1 · Gast

Diese Gleichung integriert ergibt ja lnv=-ln(M+m).
Soll ich dann diese Beziehung in die Differentialgleichung einsetzen?
Oder was kann ich mit dieser Beziehung erreichen?

Grüße
Flo

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Es gibt lnv=-ln(M+m) + C, wobei C eine Integrationskonstante ist, die du benötigst um die Anfangsbedingungen zu berücksichtigen.

Jetzt beide Seiten "e hoch"...

Flo1 · Gast

Ja ist klar, dass v=- (M+m) rauskommt. Aber soll dann das einschließlich der Integrationskonstante in die Differentialgleichung einsetzen?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Nein, das ist falsch... und wenn du die Lösung hast, kannst du sie natürlich in die DGL einsetzten um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Lösung handelt.

Flo1 · Gast

Wenn ich beide Seiten e hoch nehme kommt nicht das raus??
Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Was passiert den mit dem Minus und der Integrationskonstante ?

Flo1 · Gast

Oh mann ja stimmt... danke dir!

Flo1 · Gast

Ich habe jetzt mal konkrete Werte für M und m eingesetzt. Denn M ist 250kg und m 100kg. Dann bekomme ich als v 1/250. Das ist aber absolut unrealistisch. Die Geschwindigkeit v ist eher im Größenbereich von 6 m/s.
Für dv/dt bekomme ich durch Einsetzen in die Differentialgleichung 1/6250. Das ist auch viel zu klein...
Ich habe ja wirklich nichts gegen Aufgaben, bei denen man sich alles selbst erarbeiten muss, solange man eine grobe Richtung hat, was das alles bringt.
Aber langsam verzweifel ich.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Vielleicht solltest du uns an der Aufgabe teilhaben lassen, ansonsten kann dir hier keiner mehr helfen, da alles gesagt ist.

Flo1 · Gast

Also:

Man hat ein Laufband, auf das pro Sekunde 10 kg Kohle abgeworfen wird.
Das Laufband selbst wiegt 150kg. Die Kraft, die benötigt wird, damit das Laufband konstant mit 6 m/s bewegt wird, ist dabei die Massenänderung pro Sekunde mal der konstanten Geschwindigkeit. Also 60 Newton!
Nun fällt der Antrieb des Laufbandes aus, wobei weiterhin pro Sekunde 10kg Kohle auf das Laufband abgeworfen werden. Die Gesamtkraft zum Zeitpunkt des Ausfalls ist 0.

Aufgabe: Geben Sie an, wie sich die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ändert (v(t)).
Dafür geben sie die Kraft als totales Differential an (habe ich ja bereits gemacht) und lösen das Differental mithilfe der Separation der Variablen.
Dabei ist zur Zeit des Motorausfalls bereits 100kg auf dem Laufband. Nach wie vielen Sekunden hat sich die Geschwindigkeit halbiert?

So das wäre die Aufgabe. Ich weiß mitlerweile nur noch nicht, wie man von der Separation der Variablen auf v(t) bekommt (angenommen 100kg sind bereits auf dem Laufband, wie ich bereits gesagt habe).

Grüße

Flo1 · Gast

Achja. Bevor man v(t) angibt soll man noch m(t) angeben. Das wäre meiner Meinung nach m(t)=m+10t.

Flo1 · Gast

Ist die aufgabe verständlich und hat jemand vielleicht einen Ansatz?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du hast doch schon längst die Lösung zu der Aufgabe; du musst sie nur noch einmal zusammen schreiben:

Sei die Masse die ab den Stillstand auf das Band fällt

mit

und

die Gesamtmasse des Bandes zum Zeitpunkt des Stillstandes.

Dann gilt, wie du durch lösen der DGL hergeleitet hast:

also

und mit

und

, ergibt sich:

oder

Wann sich die Geschwindigkeit halbiert, bekommst du nun doch alleine hin, oder?

Flo1 · Gast

jap vielen vielen dank pressure!