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stationäre Schrödingergleichung; DGL lösen
 
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Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 18. Okt 2012 17:31    Titel: stationäre Schrödingergleichung; DGL lösen Antworten mit Zitat

Hallo ihr lieben ich benötige wieder einmal eure Hilfe. Um folgende Aufgabe geht es:

Gegeben sei folgende DGL (Es handelt sich bereits um eine stationäre Schrödingergleichung)):



mit vorgegebenem konstanten Wert
a) bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung für in abhängigkeit von

Ich weiss bereits:
Es handelt sich hier um eine lineare, gewöhnliche, nicht gekoppelte, HOMOGENE DGL 2. Ordnung.

Mein Lösungsansatz war bisher der Standartansatz mit


Allerdings gibt mir dieser Ansatz einen Wiederspruch am Ende raus. Nämlich:



Damit müsste E < 0 sein da alle anderen Terme hinter dem + positiv werden. Das ist ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.

Ist mein Ansatz hier falsch oder habe ich mich verrechnet? Oder kann ich setzen? Dann wäre E ja gerade der Term hinter dem Pluszeichen?!
Falls der Ansatz falsch sein sollte bin ich dankbar für Tipps.

LG
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2012 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht =i, aber zumindest ist lambda komplex.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 18. Okt 2012 18:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich hab mal nen kleines bissl weiter gesponnen.


nach umstellen komme ich dann auf



Das muss ich nun noch formschön in einen real und imaginärteil verpacken. Kann mir da jemand helfen? bin nicht mehr so fit was imaginäre Zahlenebene angeht! smile

LG
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 18. Okt 2012 18:24    Titel: Antworten mit Zitat

Komplexe Zahlen muss man für QM können, außerdem sind sie sehr einfach zu lernen.
Nutze einfach
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2012 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

und ganz normale Rechengesetze fuer Wurzeln benutzen.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 18. Okt 2012 18:30    Titel: Antworten mit Zitat

Na so schwer sieht das ja garnicht aus smile Also gilt in diesem Falle:


nun muss ich das doch noch in einen real und imaginär teil auflösen!? ich schau da eben mal im Netz Big Laugh

LG

Oder ist Aufgabe a) damit schon gelöst? Da dort nach einer realen Lösung gefragt wird verwirrt mich das gerade ein wenig.
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 18. Okt 2012 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht ganz gelöst, was ist nun die allgemeine Lösung?
(Bedenke, dass eine Gleichung der Form x^2=a zwei Lösungen hat.)

Informiere dich über komplexe Zahlen, aber dringend, wenn du nicht siehst, was da Real-/Imaginärteil ist, wirst du nicht weit kommen.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 18. Okt 2012 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ok mal schauen ob ich wieder ein Stück weiter bin.

Ich habe jetzt 2 Lösungen für
nämlich:

und


So wenn ich die Lambdas nun in meinen Ansatz einsetze bekomme ich:


und


Ist das denn soweit richtig? Ich weiss es nicht genau da ja in der Aufgabenstellung ein f(x) nur in abhängigkeit von E gefordert ist.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Okt 2012 20:26    Titel: Antworten mit Zitat

Eine Kleinigkeit: es fehlt noch ein 1/2 vor den Winkelfunktionen.

Du hast eine DGL zweiter Ordnung; diese führt durch den Ansatz mit ebenen Wellen (Exponentialfunktion) bzw. allgemein Fouriertransformation auf eine quadratische Gleichung. Daraus folgen hier zwei Werte für lambda. Das entspricht den zwei Lösungen +p, -p der klassischen Gleichung E = p²/2m. Allgemein hat eine derartige DGL n-ter Ordnung n unabhängige Lösungen.

In deinem fall hast du nun







Eigtl. bist du jetzt fertig, aber es sind ja reelle (!) Lösungen gesucht





Diese beiden Lösungen darfst du dir als zwei (linear unabhängige) Vektoren in einem Funktionenraum vorstellen. Die Lösungsmenge ist ein zweidimensionaler Unterraum, der durch allgemeine Linearkombinationen dieser beiden Funktionen definiert wird:



(mit zwei reellen Koeffizienten)

Also kurz zusammengefasst: DGL 2. Odnung – 2 unabhängige Lösungen – 2 Koeffizienten in der Linearkombination

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 18. Okt 2012 23:50, insgesamt einmal bearbeitet
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 18. Okt 2012 21:06    Titel: Antworten mit Zitat

ah ja super vielen DANK. Ich werde morgen nochmal weiterrechnen und das dann hier nochmal posten damit der threat vollständig ist!

Allerdings noch eine Frage.
Hast du dich bei der letzten Zeile verschrieben oder wo geht denn mein mit ein?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Okt 2012 23:50    Titel: Antworten mit Zitat

korrigiert
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 22. Okt 2012 18:42    Titel: Antworten mit Zitat

So ich habe mich huete mal mit meinen Leuten aus dem Studium zusammengesetzt.
Die haben für ihr f(x) folgendes aufgestellt.
Ich definiere ersteinmla:

dann haben meine Kommilitonen folgendes raus:



allerdings habe ich nicht recht verstanden wie sie darauf gekommen sind.
Mein Ansatz wäre nun nach dem ich berechnet habe:

allgemeine Lösung:



Ist die Überlegung richtig? Und wenn ja wie komme ich dann von dem letzten Term auf die allgemeine Lösung meiner Kommilitonen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Okt 2012 19:05    Titel: Antworten mit Zitat

Beide Loesungen sind richtig. Dein letzter Term sagt Dir wie deine Konstanten (A,B) mit denen deiner Kommilitonen (a,B) zusammenhaengen.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 22. Okt 2012 19:08    Titel: Antworten mit Zitat

Das heißt die Variablen meiner Kommilitonen sind bei mir:
und

kann ich das i denn einfach mit in den Koeffizienten nehmen? Geht das dann da nicht unter?????
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 22. Okt 2012 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

Dann stimmt aber auch irgendetwas mit den Vorzeichen nicht sehe ich gerade.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Okt 2012 20:20    Titel: Antworten mit Zitat

Maschine hat Folgendes geschrieben:

und

kann ich das i denn einfach mit in den Koeffizienten nehmen? Geht das dann da nicht unter?????

Ja, bis auf das Vorzeichen von b stimmt alles. Da die Wellenfunktion komplex ist, sond auch die Koeffiezienten potentiell komplexe Zahlen, es gibt also kein Problem mit dem i.
Maschine



Anmeldungsdatum: 18.11.2011
Beiträge: 74

Beitrag Maschine Verfasst am: 23. Okt 2012 12:38    Titel: Antworten mit Zitat

Super alles klar! Vielen lieben DANK an euch. Jetzt muss ich zwar noch in Aufgabe b) Anfangsbedingungen einsetzen aber das sollte ich hinbekommen.

LG
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