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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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 Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2022 12:46 Titel: Kovariante Schrödingergleichung |
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Die zeitabhängige Schrödingergleichung lautet bekannterweise:
Diese ist natürlich nicht kovariant.
Wie wäre es, wenn man die Raumzeit um die Pseudo-Dimension der Eigenzeit tau erweitert und den Laplace-Operator durch den Quabla-Operator ersetzt:
Den Buchstaben psi für die Wellenfunktion habe ich, um Verwechslungen zu vermeiden, durch eta ersetzt und eta ist eine Funktion von  , t und  .
1) Ich meine diese Gleichung schon einmal auf einem Bild gesehen zu haben, finde sie aber nicht wieder. Kennt die jemand?
2) Kann man damit etwas anfangen, z.B. über die Erwartungswerte die spezielle Relativitätstheorie herleiten?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2022 14:37 Titel: |
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Mir ist völlig unklar, welche Eigenzeit das sein soll.
Die Eigenzeit ist eine entlang einer bestimmten Weltlinie C definierten Größe. Wie soll es funktionieren, dass eine Wellenfunktion von einer bestimmten Weltlinie abhängt? Von welcher Weltlinie bzw. von welchem Beobachter? Wie gehe ich von einem zum andern Beobachter über?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2022 14:50 Titel: |
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tau ist ganz einfach die Eigenzeit des Versuchs-Teilchens (z.B. Elektrons).
eta * delta_V * delta_t ist dann die Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei seiner Eigenzeit tau im Raumvolumen delta_V während einer Beobachtungszeit delta_t zu finden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2022 14:58 Titel: |
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Warum soll eta von dieser Eigenzeit abhängen? Wie bekommst du die Wellenfunktion mit der Weltlinie zusammen? Welche Gleichung bestimmt die Weltlinie?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2022 15:10 Titel: |
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Ich verstehe die Frage nicht. Wie bekommt man bei der gewöhnlichen Schrödingergleichung die Wellenfunktion mit der Weltlinie zusammen?
Eigentlich ist doch alles ganz logisch. In der rel. Mechanik übernimmt doch auch die Eigenzeit die Rolle der Koordinatenzeit, während die Koordinatenzeit in die Raumzeit integriert wird. Da fragst du doch auch nicht, warum Raum und Zeit von der Eigenzeit abhängen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2022 16:18 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe die Frage nicht. Wie bekommt man bei der gewöhnlichen Schrödingergleichung die Wellenfunktion mit der Weltlinie zusammen? |
Gar nicht.
Es gibt in der Quantenmechanik keine Weltlinie, und damit keine Eigenzeit.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Eigentlich ist doch alles ganz logisch. In der rel. Mechanik übernimmt doch auch die Eigenzeit die Rolle der Koordinatenzeit. |
In der rel. QM nicht.
Da hast du Gleichungen auf der Raumzeit, siehe z.B. die Dirac-Gleichung
\psi = 0)
und daraus direkt die Schrödinger-Form der Dirac-Gleichung.
Keine Eigenzeit! Woher auch?
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 27. Jul 2022 16:57 Titel: |
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Die rel. Mechanik sollte doch der Grenzfall der rel. QM sein und somit schon mal eine ähnliche Form haben.
Und die Eigenzeit kann mit der de-Broglie-Bohm-Interpretation hineingebracht werden. Antiteilchen kommen auch "natürlich" vor als Teilchen, bei denen Eigenzeit und Koordinatenzeit entgegengesetzt laufen. Für den Spin müsste die Gleichung allerdings auf der rechten Seite noch linearisiert werden. Es ist eine Gleichung für Spin-0-Teilchen.
Aber zunächst: Gibt es schon mal solche Ansätze oder bin ich der Erste? Vielleicht hat diese Gleichung schon einen Namen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 27. Jul 2022 20:39 Titel: |
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Wie bringt deBroglie-Bohm die Eigenzeit ins Spiel? Über die Führungsgleichung?
Und nein, ich habe deinen Ansatz noch nie zuvor gesehen.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
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| Sonnenwind Verfasst am: 28. Jul 2022 13:59 Titel: |
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Leitgleichungen für de-Broglie-Bohm:
Für die (gewöhnliche) Schrödingergleichung gilt:
mit
und
Für die kovariante Schrödingergleichung gilt:
mit
und
Die Vierervektoren habe ich mit zwei Vektorpfeilen versehen.
Im Übrigen ist die Eigenzeit eines Teilchens nicht beobachtbar. Um die räumliche Dichte zu erhalten muss die raumzeitliche Dichte über die Eigenzeit von -oo bis +oo integriert werden.
Ziel meiner Idee ist das Wesen der (speziellen) Relativitätstheorie auszuarbeiten, das möglicherweise darin besteht, dass die Eigenzeit als Koordinate addiert wird und dann wieder in die Raumzeit zurück projiziert wird. In der klassischen Mechanik würde die Eigenzeit als Zwangsbedingung auftreten (dtau² = dt² - dr²).
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 28. Jul 2022 15:57 Titel: |
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Alle diese Gleichungen enthalten die Koordinaten, also auch die Koordinatenzeit, und können nicht auf die Eigenzeit "umgebaut" werden.
Das wäre evtl. möglich für Führungsgleichung
Ich denke, Dürr et al. haben daran gearbeitet.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 28. Jul 2022 16:53 Titel: |
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Nö, die totalen Ableitungen nach der Koordinatenzeit werden in "meiner" Gleichung grundsätzlich durch die Ableitungen nach der Eigenzeit ersetzt.
Z.B. die Vierergeschwindigkeit:
mit
Somit bezieht sich die Führungsgleichung auch auf die Vierergeschwindigkeit.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 28. Jul 2022 22:26 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Nö, die totalen Ableitungen nach der Koordinatenzeit werden in "meiner" Gleichung grundsätzlich durch die Ableitungen nach der Eigenzeit ersetzt. |
Schreib doch bitte mal alle deine Gleichungen auf, einschließlich der Definitionen der verwendeten Objekte. Und verwende bitte die übliche Notation für Vierervektoren ;-)
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Aug 2022 10:31 Titel: |
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Ich versuch's mal:
^2} + V(x^\mu)\eta)
mit
)
und der Signatur
)
sowie der Raumzeit-Wahrscheinlichkeitsdichte
=\eta^*\eta)
und dem Zusammenhang mit der Raum-Wahrscheinlichkeitsdichte
 = \varrho(x^\mu) = \int_{-\infty}^\infty \bar{\varrho}(x^\mu,\tau) \, \dd \tau)
Wobei hier Teilchen- und Antiteilchen-Wahrscheinlichkeitsdichte addiert werden (ergibt eine Art Massendichte und keine Ladungsdichte).
Die Idee dieser "Primärgleichung" ist, die QM und die SRT aus einer Grundgleichung herzuleiten.
Zusätzlich gibt die Wellenform auch Anlass dazu, die Geodätengleichung der ART als Huygenssches Prinzip zu verstehen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 05. Aug 2022 12:45 Titel: |
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Das funktioniert aus mehreren Gründen nicht.
Formal
Zunächst mal ist  unklar. Soll das ein 4*4 Tensor zweiter Stufe sein, also wie die Metrik  ? Dann müssen da auch zwei verschiedene Indizes stehen.
Wenn du die Metrik meinst, hieße dies
)
Zwei gleiche Indizies bedeuten Kontraktion, also
Also gehe ich davon aus, dass du soetwas wie
 \right] \, \eta)
Auch das ist noch nicht korrekt, da
kein Skalar ist. Du meinst vermutlich den Laplace-Beltrami-Operator auf der i.A. gekrümmten 4-dim. Raumzeit. Ich verwende als Notation wie üblich den d'Alembert Operator. Damit landet man
 \right] \, \eta)
Die rechte Seite beginnt so langsam auszusehen wie die Klein-Gordon-Gleichung. Diese lässt sich sowohl auf gekrümmte Mannigfaltigkeiten als auch auf Kopplung an externe Felder erweitern; letzteres erfordert die Einführung der kovarianten Ableitung
)
Dein V erscheint dann lediglich als Spezialfall.
Damit erhalten wir schließlich
Physikalisch
Für skalare Felder gilt
 = 0)
Du müsstest also erklären, wie und warum du diese Gleichung ändern kannst, ohne dass dies im Widerspruch zu etablierte Ergebnissen steht.
Physikalisch 2
eta sowie der Term auf der rechten Seite sind auf der 4-dim. Raumzeit definiert.
Der Operator  ist aber ausschließlich auf einer Weltlinie definiert. Auf welcher? Welche Gleichung gilt für die Weltlinie? Ist dir klar, dass du deBroglie-Bohm genau falsch herum interpretierst? Nach dBB beeinflusst die Wellenfunktion das Teilchen bzw. dessen Weltlinie, jedoch umgekehrt nicht das Teilchen die Wellenfunktion?
Physikalisch 3
Was bitte soll die entlang einer Weltlinie (welcher?) integrierte Wahrscheinlichkeitsdichte
physikalisch sein? Welchen Bezug hat das zur bekannten Wellenfunktion und Schrödingergleichung?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Aug 2022 14:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Physikalisch 2
eta sowie der Term auf der rechten Seite sind auf der 4-dim. Raumzeit definiert.
Der Operator ist aber ausschließlich auf einer Weltlinie definiert. Auf welcher? Welche Gleichung gilt für die Weltlinie?
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Ich vermute die Weltlinie ist Lösung von ) in Analogie zur normalen Führungsgleichung aus der Bohmschen Mechanik. Dies erfordert hier noch die Nebenbedingungbedingung \rm{Im}(\bar\eta\nabla^\nu \eta)) für massive Teilchen. (Für masselose Teilchen ist die Theorie wohl ohnehin nicht gedacht, so wie sie aussieht.)
| Zitat: |
Ist dir klar, dass du deBroglie-Bohm genau falsch herum interpretierst? Nach dBB beeinflusst die Wellenfunktion das Teilchen bzw. dessen Weltlinie, jedoch umgekehrt nicht das Teilchen die Wellenfunktion?
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In dieser Theorie wären wohl beide Gleichungen gekoppelt und das Gesamtsystem dann vermutlich auch nicht mehr linear in  .
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Aug 2022 14:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Formal
Zunächst mal ist unklar. Soll das ein 4*4 Tensor zweiter Stufe sein, also wie die Metrik ? Dann müssen da auch zwei verschiedene Indizes stehen. |
Ja, das mit dem sig war Murks, sollte wenn schon einen Index oben haben, damit es ein Zeilenvektor ist.
| Zitat: | Ich verwende als Notation wie üblich den d'Alembert Operator. Damit landet man
Die rechte Seite beginnt so langsam auszusehen wie die Klein-Gordon-Gleichung. Diese lässt sich sowohl auf gekrümmte Mannigfaltigkeiten als auch auf Kopplung an externe Felder erweitern; letzteres erfordert die Einführung der kovarianten Ableitung
Dein V erscheint dann lediglich als Spezialfall.
Damit erhalten wir schließlich
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Wo ist da jetzt das  geblieben?
| Zitat: | Physikalisch
Für skalare Felder gilt
Du müsstest also erklären, wie und warum du diese Gleichung ändern kannst, ohne dass dies im Widerspruch zu etablierte Ergebnissen steht. |
eta spielt eine andere Rolle als psi:
)
aber
)
| Zitat: | Physikalisch 2
eta sowie der Term auf der rechten Seite sind auf der 4-dim. Raumzeit definiert.
Der Operator ist aber ausschließlich auf einer Weltlinie definiert. Auf welcher? Welche Gleichung gilt für die Weltlinie? Ist dir klar, dass du deBroglie-Bohm genau falsch herum interpretierst? Nach dBB beeinflusst die Wellenfunktion das Teilchen bzw. dessen Weltlinie, jedoch umgekehrt nicht das Teilchen die Wellenfunktion? |
Nein, tau ist hier eine freie Koordinate.
eta breitet sich im 5D-Raum aus, |eta|² * delta_V * delta_t ist das Maß dafür, zur Eigenzeit tau das Teilchen im Volumen delta_V in der Messzeit delta_t zu finden.
Da man die Eigenzeit nicht kennt und diese auch nicht interessiert, wird über alle Eigenzeiten integriert.
| Zitat: | Physikalisch 3
Was bitte soll die entlang einer Weltlinie (welcher?) integrierte Wahrscheinlichkeitsdichte
physikalisch sein? Welchen Bezug hat das zur bekannten Wellenfunktion und Schrödingergleichung? |
Das rho auf der linken Seite ist näherungsweise das übliche rho der Schrödingergleichung, näherungsweise wegen dem Anteil möglicher Antiteilchen.
psi lässt sich daraus nicht konstruieren, da über rho nur der Betrag, aber nicht die Phase bekannt ist.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Aug 2022 14:47 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
Nein, tau ist hier eine freie Koordinate.
eta breitet sich im 5D-Raum aus, |eta|² * delta_V * delta_t ist das Maß dafür, zur Eigenzeit tau das Teilchen im Volumen delta_V in der Messzeit delta_t zu finden.
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Dann ist keine Eigenzeit. Wenn du die SRT ableiten willst, muß (in irgendeinem Grenzwert?) als Länge einer zeitartigen Kurve auftauchen.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Aug 2022 14:54 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Dann ist keine Eigenzeit. |
Verstehe ich nicht. Angenommen ich werfe einen Stein, dann gibt es einen Auftreffpunkt x. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für den Auftreffpunkt rho(x) angeben will, dann habe ich die Variable x "befreit", sie hat keinen festen Wert mehr, sondern dient als Argument. Das wundert dich doch auch nicht.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Aug 2022 15:00 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Dann ist keine Eigenzeit. |
Verstehe ich nicht. Angenommen ich werfe einen Stein, dann gibt es einen Auftreffpunkt x. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit für den Auftreffpunkt rho(x) angeben will, dann habe ich die Variable x "befreit", sie hat keinen festen Wert mehr, sondern dient als Argument. Das wundert dich doch auch nicht. |
Nein, das wundert mich nicht. Aber das geht auch komplett an meinem Einwand vorbei. Eines deiner Ziele soll sein die SRT herzuleiten. Dort liegt bereits fest was die Eigenzeit ist. Du kannst natürlich in deiner Theorie irgendeine fünfte Koordinate "Eigenzeit" taufen. Aber das hat dann noch nichts mit der SRT zu tun. Außer dem Namen besteht bis jetzt schlicht kein Zusammenhang zwischen deiner "Eigenzeit" und der aus der SRT.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Aug 2022 15:29 Titel: |
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P.S. dein eigener Vorschlag oben beinhaltete doch:
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: |
mit
und
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Was ist denn hier  ? Ich nahm an, es sei die Vierergeschwindigkeit
 . Das ergibt genau die Gleichung für die Weltlinie ) , die ich oben hingeschrieben habe.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18051
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| TomS Verfasst am: 05. Aug 2022 16:03 Titel: |
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Hier gehen m.E. zwei Dinge durcheinander, nämlich einerseits die Idee einer „kovarianten Schrödingergleichung“ und die Idee, dies mit einer Eigenzeit und demzufolge einer Weltlinie im Sinne von dBB zu verknüpfen.
M.E. kann man das getrennt betrachten.
Es sollte aber eine klare Idee geben, auf was das physikalisch hinauslaufen soll.
1) dBB mit Trajektorien, die durch eine Führungsgleichung geleitet werden? plus einer kovarianten Gleichung für die Wellenfunktion?
2) einer kovariante Schrödingergleichung?
Zu (1) wurde der Ansatz von index_razor bereits genannt.
Zu (2) ist zu sagen, dass die Schrödingergleichung kovariant bzgl. der Poincaregruppe ist, wenn H einer der Generatoren der Gruppe ist. Dass dies der Fall ist, kann man für konkrete Quantenfeldtheorien beweisen. Der einfachste Fall ist wohl durch die Dirac-Gleichung gegeben. Dann kommt jedoch gerade keine Eigenzeit vor.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 05. Aug 2022 16:31 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | P.S. dein eigener Vorschlag oben beinhaltete doch: |
Das setzt aber die dBB als Interpretation voraus.
Ich würde lieber erst die Erwartungswerte prüfen, vermute aber, dass da der Lorentzfaktor fehlen wird.
Es gilt doch klassisch (ist das so?):
/m)
Ich wüsste nicht, wo "meine" Gleichung den Lorentzfaktor herbekommen sollte.
Das ist noch nicht ausgegoren.
Zur Motivation: Ich habe mich gewundert, warum die rel. Mechanik fünfdimensional formuliert ist, die rel. QM aber nicht.
Stattdessen wird die Dirac-Gleichung zunächst als Einteilchen-Gleichung entwickelt, das geht aber nicht vollständig, dann kommt der Dirac-See, in dem man auch nicht mehr baden darf, dann muss nochmal quantisiert werden. Alles äußerst unanschaulich.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Aug 2022 16:43 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | P.S. dein eigener Vorschlag oben beinhaltete doch: |
Das setzt aber die dBB als Interpretation voraus. |
Ja, irgendeine zusätzliche Voraussetzung wirst du auch benötigen. Aber nun denke ich eher, du bist einem anderen Irrtum aufgesessen.
| Zitat: |
Zur Motivation: Ich habe mich gewundert, warum die rel. Mechanik fünfdimensional formuliert ist, die rel. QM aber nicht.
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Die relativistische Mechanik ist nicht fünfdimensional formuliert. Wie kommst du darauf? Es gibt eine vierdimensionale Raumzeit, und die Eigenzeit ist die "Länge"  einer (zeitartigen) Kurve in dieser Raumzeit, keine 5. Dimension.
| Zitat: |
Stattdessen wird die Dirac-Gleichung zunächst als Einteilchen-Gleichung entwickelt, das geht aber nicht vollständig, dann kommt der Dirac-See, in dem man auch nicht mehr baden darf, dann muss nochmal quantisiert werden. Alles äußerst unanschaulich. |
Du beschreibst auch eher die historische Entwicklung, nicht den logischen Aufbau.
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