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Galilei-Kovarianz der Schrödingergleichung (Kettenregel, Nab
 
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Bodak



Anmeldungsdatum: 22.11.2022
Beiträge: 3

Beitrag Bodak Verfasst am: 22. Nov 2022 14:38    Titel: Galilei-Kovarianz der Schrödingergleichung (Kettenregel, Nab Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich versuche gerade den Anfang der Aufgabe 2.1 (a) im Theoretische Physik 3 Buch von Bartelmann zu verstehen. Es soll die Kovarianz der Schrödinger-Gleichung unter Galilei-Transformation bewiesen werden.

Die Galilei-Transformation eines mit der Geschwindigkeit relativ zum Inertialsystem bewegten Intertialsystems lautet:
und

In der Lösung steht nun am Anfang:
"Zum Beweis benutzen wir die Kettenregel, um die Ableitungen nach den Koordinaten von und in Beziehung zu bringen. Mit und

...

Nun verstehe ich nicht die Gleichung des ersten Gleichheitszeichen. Woher kommt auf einmal der Nabla-Operator und wie kommt die Gleichung überhaupt zustande?




Meine Ideen:
Leitet man die Funktion nach ab und wendet die Kettenregel auf den ersten Term also die Funktion an, so ist die innere Ableitung des ersten Terms und die äußere Ableitung eben .
Dies würde also den ersten Term erklären, aber wie man dann auf den zweiten Term mit dem Nabla-Operator kommt ist mir schleierhaft, da die Ableitung des zweiten Terms nach ja eigentlich ist.
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 22. Nov 2022 16:30    Titel: Re: Galilei-Kovarianz der Schrödingergleichung (Kettenregel, Antworten mit Zitat

Bodak hat Folgendes geschrieben:

Dies würde also den ersten Term erklären, aber wie man dann auf den zweiten Term mit dem Nabla-Operator kommt ist mir schleierhaft, da die Ableitung des zweiten Terms nach ja eigentlich ist.


Die Notation scheint etwas unpräzise.
Du kannst es aber am Einfachsten nachvollziehen, indem du den Operator auf ein Feld anwendest:





also

Bodak



Anmeldungsdatum: 22.11.2022
Beiträge: 3

Beitrag Bodak Verfasst am: 22. Nov 2022 18:29    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank, jetzt verstehe ich es Thumbs up!.
Bodak



Anmeldungsdatum: 22.11.2022
Beiträge: 3

Beitrag Bodak Verfasst am: 23. Nov 2022 04:11    Titel: Antworten mit Zitat

Wobei du denke ich ein paar Mal das totale Differential hättest schreiben müssen:




also



Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential#Anwendung_(Verkettung)

Die Gleichung im Buch ist also gewissermaßen falsch (wenn ich das richtig verstehe) da man zwischen totalem und partiellem Differential unterscheiden muss. Die beiden totalen Differentiale von und sollten ja gleich sein.
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 24. Nov 2022 08:54    Titel: Antworten mit Zitat

Bodak hat Folgendes geschrieben:



Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential#Anwendung_(Verkettung)

Die beiden totalen Differentiale von und sollten ja gleich sein.


Das ist m.E. nicht ganz richtig, für die totalen Zeitableitungen gilt hier:

mit
und



Die Geschwindigkeit v des bewegten Systems tritt hier nur implizit auf:

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