Differentialgleichungen lösen

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Meine Frage:
hey in theoretischer Physik sind wir gerade beim Thema Dgl´s, dazu folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die Differentialgleichung
y´´(x) + y(x) = 0.

a) Wie viele linear unabhängige Lösungen erwarten Sie und warum?

b) Bestimmen Sie die Lösungen in der erwarteten Anzahl mit Hilfe eines integrierenden Faktors.
Verwenden Sie hierfür die imaginäre Einheit i, die über die Gleichung i^2 = -1 definiert ist.
Zeigen Sie, dass die Lösungen linear unabhängig sind, und geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an.

c) Schreiben Sie die obige Differentialgleichung in ein System von Differentialgleichungen erster
Ordnung um.

d) Zeigen Sie mit Hilfe der Lipschitz-Bedingung, dass die Lösung der Differentialgleichung für
einen vollständigen Satz von Anfangsbedingungen eindeutig ist. Verwenden Sie hierfür die Ergebnisse aus b) und c). Wie viele Anfangsbedingungen bilden einen vollständigen Satz und warum?

e) Betrachten Sie nun die Funktion
y(x) = A sin (x) + B cos(x) mit A, B e R.
Zeigen Sie, dass diese Funktion ebenfalls eine allgemeine Lösung der obigen Differentialgleichung ist.

f) Was schließen Sie aus d) und e)?

Meine Ideen:
a) Für die allg.Lösung einer homogenen DGL n-ter Ordnung braucht man ein Fundamentalsystem aus n- linear unabhängigen y1(x). Folglich erwarten uns zwei linerunabhängige Lösungen

b) meine Lösung ist im Anhang. Aber durch verwendung der komplexen Exponentialfunktion komme ich auf die allg. Lösung

Jedoch wird in der teilaufgabe e verlangt genau diese Funktion zu betrachten und nachzuweisen, warum auch diese eine allgemeine lsg darstellt. Folglich habe ich in der b) nicht das geschrieben was gefragt ist. Stellt sich mir aber nun die frage, was ich dann bei der b) schreiben soll?

c) Wir wissen, dass sich eine Dgl nter Ordnung in ein Gleichsungssystem von Dgl´s 1. Ordnungen darstellen lässt indem wir wie folgt schreiben:

y(x)=y1(x); y´(x)=y2(x); y``(x) =y3(x) usw

daraus folgt für unsere Dgl: y3(x) + y1(x) = 0 sowie y´2(x) +y1(x) =0 wobei ich auch damit absolut nichts anfangen kann und nicht verstehe was der Sinn und zweck ist

d)Die Lipschitz Bedingung besagt, dass für eine gewöhnliche Dgl erster ordnung der Form y´(x) = f(x,y) genau dann eine eindeutige Lsg existiert, wenn für y0=y(x0) einen Anfangswert vorgegeben ist, sowie für jedes betrachtete Paar von Funktionswerten y, y_ die sekantensteigung delta f/delta y durch ein k beschränkt ist.
aber so wirklich weiß ich nichts mit der Lipschitz Bedingung anzufangen und hab auch kein Plan was ich hier machen soll

e) problem hab ich schon erläutert
f) das ist hier die frage

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Wäre schön, wenn du hier LaTeX verwenden würdest, dann wäre lesen und zitieren deutlich einfacher.

Zu den allgemeinen Lösungen und zur linearen Unabhängigkeit:

Zunächst zeigst du, dass

zwei linear unabhängige Lösungen sind, und dass daher

eine allgemeine Lösung darstellt.

Dann ist zu zeigen, dass

ebenfalls eine allgemeine Lösung darstellt.

Dazu betrachtest du die Gleichung

wobei du rechts

mittels der komplexen e-Funktionen

darstellst. Da du bereits weißt, dass die beiden komplexen e-Funktionen linear unabhängig sind, liefert jede e-Funktion (also jedes Vorzeichen im Exponenten) eine Gleichung, die für sich alleine erfüllt sein muss. D.h. du erhältst ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten

und

, das du lösen kannst (hier reicht es, die Lösbarkeit zu zeigen). Damit folgt, dass jede Lösung der Form

auch in der Form

geschrieben werden kann, wobei du die Koeffizienten eindeutig ineinander umrechnen kannst.

Du darfst dir zwei Fundamentallösungen als Basis einen 2-dim. Vektorraumes vorstellen. Die allgemeine Lösung ist dann ein allgemeiner Vektor in diesem Vektorraum, jede spezielle Lösung (also eine spezielle Wahl für die Werte der Koeffizienten) ein spezieller Vektor. Der Übergang zwischen den beiden Fundamentalsystemen

und

entspricht einer Basistransformation, wodurch neben den Basisvektoren auch die Koeffizienten eines Vektors transformiert werden.

Diese Basistransformation kannst du mittels einer unitären 2*2 Matrix U darstellen, d.h.

Damit reduziert sich diese Betrachtung weitgehend auf lineare Algebra.

EDIT - NACHTRAG:

Jeder Vektor f in einem 2-dim. Vektorraum wird bzgl. einer Basis y mittels Komponenten (bzgl. dieser Basis) dargestellt, d.h.

Und aufgrund von U und der beiden o.g. Transformationsregeln erkennt man, dass die Darstellungen identisch sind; dies gilt hier für die beiden speziellen Basen B und B' und damit ein spezielles U, prinzipiell jedoch für beliebiges unitäres U.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Danke für deine Antwort! Das bedeutet, ich muss das mit cos und sind nicht schon in der b) erläutern? Kannst du mir noch bei der c) jnd d) helfen Hilfe

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Stimmt, die allgemeine Lösung in (b) hat eine andere Form als die in (e). In (e) wird eben gezeigt, dass beide äquivalent sind

c) ist einfach:

Definiere

Dann ist

d.h.

(1), (2) definieren das DGL-System erster Ordnung.

Zu (d) darfst du etwas vorarbeiten.