Numerisches Lösen einer nichtlinearen DGL 2.Ordnung

Br0t · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 28

Hallo liebe Gemeinde von physikerboard.de,

ich versuche momentan, herauszufinden, wie man eine bestimmte DGL numerisch Lösen kann (z.B. in MatLab oder ähnlichem). Numerisch deswegen, weil ich annehme, keine analytische Lösung zu finden.
Genauer möchte ich folgende DGL lösen, weil ich so zu einer Bewegungsgleichung eines Fahrzeugs komme.

Erläuterung der Symbole:

bzw.

ist die Trajektorie des Fahrzeugs,

oder

die einfache bzw. zweifache Ableitung nach t

sind Konstanten.

ist eine bekannte Funktion.

Sie ist abschnittsweise definiert, was die analytische Lösung fast unmöglich macht.

Alle Konstanten können experimentell gemessen werden, ist auch bereits großteils passiert.

Meine Frage lautet nun, hat jemand einen Tipp, ein Verfahren oder eine Anregung, mit der ich mich dem Problem nähern kann?
Ich beginne im WS11/12 mein Physikstudium, d.h. ich besitze eigentlich wenig Kenntnisse über DGL. Jedoch will ich diese DGL für eine Arbeit lösen.
Ich will auch keine fertigen Lösungen o.Ä. nur Ideen und Anregungen!

Mit freundlichen Grüßen
Euer Br0t

Br0t · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 28

Ich habe jetzt ein paar Stunden lang gesucht und einiges herausgefunden. Ich fasse einfach mal zusammen, was ich gefunden habe.

Hier sind verschiedene Verfahren aufgeführt, die DGL numerisch lösen können:
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_numerischer_Verfahren#Numerik_gew.C3.B6hnlicher_Differentialgleichungen

In diesem PDF wird angerissen, wie das dann mit Matlab geht:
http://www.ians.uni-stuttgart.de/nmh/teaching/prosem0708/matlab_ode_2p.pdf

Verstehe ich das richtig, dass meistens nur DGL 1. Ordnung gelöst werden können? Die "Linearisierung" kam als Begriff oft vor, reicht es dafür wirklich einfach, in meiner Gleichung folgendes zu setzen:

und

?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

Wenn es nicht so genau sein muss, empfiehlt sich das Leapfrog-Verfahren:

http://de.wikipedia.org/wiki/Leapfrog-Verfahren

Für höhere Ansprüche gibt es z.B. den Runge-Kutta-Nyström:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/gravitation/node62.html

Br0t · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 28

Gibt es eines der beiden Verfahren in Matlab als implementierte Prozedur ? sowas wie runge_kutta ^^

Ich hatte erst angst, dass so eine DGL gar nicht lösbar wäre aber gut, dass das nicht so ist Augenzwinkern

Leider finde ich aber keine Erklärung des Runge Kutta Verfahrens, die ich nachvollziehen kann. Ich such mal weiter aber falls jemand eine gute Seite findet, wo eine bessere Erklärung steht wäre ich dankbar smile

lg Br0t

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ich halte es für schwierig abzuschätzen, was du verstehen könntest, und was nicht. Hast du es mal mit den Wikipediaartikeln und -links versucht?

Ansonsten hätte ich verschiedene Möglichkeiten für dich:
- Hier gibt's einen Artikel, der sich mit der Lösung von DGL in Matlab durch numerische Verfahren kümmert: http://www.sotere.uni-osnabrueck.de/rechenmethoden/remes_files/kapitel/chap5_files/matlab-kap5.pdf
- Du besorgst dir ein Buch zur Numerischen Analysis, um dich dort langsam in das Thema einzuarbeiten (ich mag das Buch von Dahmen/Reusken "Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler"), da gibt's normalerweise immer ein Kapitel darüber. Sollte eigentlich über jede Unibibliothek beschaffbar sein.
- Du tastest dich da eher "Learning by Doing" ran. Da die Runge-Kutta-Verfahren im Grunde eine wesentliche Erweiterung des eulerschen Polygonzugverfahrens sind, lohnt es sich vielleicht dort anzufangen und die Idee zu verstehen, bevor du zu den Runge-Kutta-Verfahren übergehst. Wenn du das eulersche Polygonzugverfahren verstanden hast, wird dir auch klar, warum deine DGL keine Probleme bereiten sollte.

Gruß
MI

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

http://www.megaupload.com/?d=I55QJ0VX

das ist ein auszug aus unserem ehemaligen matheskript wo es praktisch nur um numerische lösungen von dgls ging. Ist ziemlich gut wie ich finde und zu allem auch mit beispielen.

Br0t · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 28

Danke, ich werds mir mal anschauen. Ist aber bestimmt ein wenig Arbeit, da durchzusteigen. Vor allem, weil meine mathematische Vorbildung auf dem Gebiet eher schlecht ist. Ich werds trotzdem versuchen smile