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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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 ak!!53 Verfasst am: 01. März 2024 11:47 Titel: Differentialgleichung 2ter Ordnung |
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Ein Seil der Masse m und der Länge l rutscht über eine Tischkante ab. Die Reibung zwischen dem
Seil und der Tischoberfläche kann durch einen Haftreibungskoezienten µS und einen Gleitreibungskoezienten µg charakterisiert werden.
(a) (4 Punkte) Wie weit kann das Seil von der Tischkante runterhängen bevor es sich bewegt?
(b) (4 Punkte) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf und lösen Sie sie für den Fall, in welchem
das Seil bei t = 0 ganz auf dem Tisch liegt und so angestoßen wird, dass es bei t = 0 eine
Geschwindigkeit v0 in Richtung Tischkante besitzt.
(c) (2 Punkte) Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn das Ende des Seils gerade über die Kante
rutscht?
Hinweis: Bei Teilaufgabe (c) kann die Relation
cosh2 - sinh2 = 1
nützlich sein, wo cosh der Cosinus hyperbolicus und sinh der Sinus hyperbolicus sind.
Ich würde gerne dazu meine Aufzeichnungen veröffentlichen. Zu a) frage ich mich wie und was mir dort 4 Punkte einbringen soll.
b) Müsste ich nur noch in der Hyperbolicus schreibweise umschreiben. Mich lässt der Gedanke nicht in Ruhe, dass die Konstanten aus dem lösen der DGL evtl nicht ganz korrekt sein könnten. Zu dem ist hier nach einer inhomogenen Lösung gefragt üblicherweise hatte man dort einen zeitlichen Ansatz gewählt zb c*t. In einem Video von einer Physikerin wurde der Lösungsansatz als konstant gewählt. Dies erklärt sich mir leider nicht ganz von alleine.
Zu c) aus einer ähnlichen Aufgabe ohne Reibung ist mir quasi die Idee zum Lösen dieser Teilaufgabe gegeben/bewusst. Ich wollt nur Sichergehen, dass mein b) korrekt ist.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 01. März 2024 15:44 Titel: |
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zu a)
m = Masse des Seils
l = Länge des Seils
x = Seilabschnitt auf dem Tisch
y = Seilabschnitt senkrecht hängend
m_x = Masse des Seils auf dem Tisch
m_y = Masse des Seils senkrecht hängend
mü_h = Haftreibungskoeffizient
)
 )
Gleichgewichtsbedingung
 \cdot \mu_h = l-x = y)
zu b)
 \cdot g\cdot \mu_g = 0 )
Randbedingungen
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 01. März 2024 18:05 Titel: |
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Die Lösung bei b) sieht recht gut aus, aber die Konstanten A und B sind noch nicht richtig. Man sieht dies auch gleich, wenn man t=0 einsetzt - die erste Randbedingung ist nicht erfüllt.
Ich sehe ein Problem bei Deiner speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Diese ist richtig, wenn x die Länge des herunterhängenden Teils des Seils bezeichnet. Nach Deiner Anfangsbedingung x(0)=l wäre allerdings x die Länge des auf dem Tisch liegenden Teils.
Bei c) irritiert mich übrigens der Hinweis im Aufgabentext. Man kann diesen Teil doch relativ einfach über die Energieerhaltung lösen, allerdings wird dann der Hinweis nicht verwendet.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 02. März 2024 11:22 Titel: |
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Noch zwei Ergänzungen:
zu b) Hier wird nach den Bewegungsgleichungen (Plural) gefragt. Da die Richtung der Gleitreibungskraft von der Bewegungsrichtung abhängt, muss man hier eine Fallunterscheidung vornehmen. Wenn x die Länge des herunterhängenden Teils des Seils ist:
}{l}x-\mu_\text{G}g &\text{falls }\dot{x}>0\,\text{ oder }\,(\dot{x}=0, x>\frac{\mu_\text{H}l}{1+\mu_\text{H}})\\ \frac{g(1-\mu_\text{G})}{l}x+\mu_\text{G}g &\text{falls }\dot{x}< 0\\0&\text{sonst}\end{cases})
Auch die Lösung für x(t), die man aus den Anfangsbedingungen und dem obigen 1. Fall erhält, gilt nur unter Einschränkungen; ist v0 zu gering, kommt das Seil zum stehen. Zudem gilt die Lösung natürlich nur solange x(t)<l ist.
zu c) Der Hinweis ist wohl so gemeint, dass man die Lösung von x(t) aus Teil b) nach der Zeit auflöst für den Zeitpunkt, wo das Ende des Seils über die Kante gleitet. Diese Zeit kann wieder in v(t) eingesetzt werden. Dies ist grundsätzlich auch möglich, allerdings wird das (zumindest bei mir) sehr aufwendig, man erhält eine quadratische Gleichung in sinh(..) mit vielen Termen. Über die Energieerhaltung geht es dagegen unvergleichlich viel einfacher - aber vielleicht übersehe ich etwas. So gesehen finde ich den Hinweis fast etwas irreführend.
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 02. März 2024 17:39 Titel: |
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Hallo Mathefix, hallo Myon.
Danke für eure beidigen Antworten. Ich kann sagen, dass es ein Video zu dem Problem gibt von der Youtuberin Claudie Curie. Ihr Ansatz für die inhomogene Lösung war mir bis dato nicht bekannt. In Übungsaufgaben wo Differentialgleichungen geübt worden sind und man es mit einer inhomogenen DGL zu tun hatte, wurde oftmals ein linearer Ansatz gewählt.
Zb c*t
Ich würde mich mit alten Notitmzen damit nochmals auseinandersetzen und dannach mich hier melden.
Schönen Samstag noch.
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 04. März 2024 12:46 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Die Lösung bei b) sieht recht gut aus, aber die Konstanten A und B sind noch nicht richtig. Man sieht dies auch gleich, wenn man t=0 einsetzt - die erste Randbedingung ist nicht erfüllt.
Ich sehe ein Problem bei Deiner speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Diese ist richtig, wenn x die Länge des herunterhängenden Teils des Seils bezeichnet. Nach Deiner Anfangsbedingung x(0)=l wäre allerdings x die Länge des auf dem Tisch liegenden Teils.
Bei c) irritiert mich übrigens der Hinweis im Aufgabentext. Man kann diesen Teil doch relativ einfach über die Energieerhaltung lösen, allerdings wird dann der Hinweis nicht verwendet. |
Hallo Myon ich bin grade dabei die Aufgabe nochmals durchzugehen und mir ist nicht ganz klar, warum die spezielle Lösung nicht ganz richtig ist.
Ich stehe grade an folgendem Punkt.
Ich teilte die Bewegungsgleichung in X_hom und X_inhom auf.
Für den homogenen Teil, ohne die Konstanten A und B erhalte ich folgendes
= Ae^{\sqrt{(1-\mu)\frac{g}{l}}} +B e^{-\sqrt{(1-\mu)\frac{g}{l}}} "+c" )
Wenn ich nun für die spezielle Lösung den Ansatz über eine Konstante wähle erhalte ich für die spezielle Lösung folgende Gleichung:
\frac{g}{l}x_{const} = -\mu g )
dies lässt sich sehr einfach umformen zu nur dem X_const Therm.
Aber dann bin ich wieder an der gleichen Stelle wie vorher, bis auf ein Merkmal!
Ich hatte die konstanten A und B nur aus der homogenen Lösung bestimmt, wenn ich nun eigentlich noch eine Konstante C besitze, so dies ist mit leider nicht ganz klar  , ob ich beim Bestimmen von A und B den Teil der speziellen Lösung zu beachten hab.
Ich würde dies eben auszrechenen und schauen ob es aufgeht. Prüfen kann ich ja in dem ich überlege ob die Anfangsbedingungen erfüllt werden.
Edit : Ne ich hab das so nun ausprobiert und bin zu einer Lösung gekommen die Weitaus unübersichichtlicher ist als die vorherige. Es erscheint mir einfach nicht korrekt.
Ich hab folgendes Raus.
= l *e^{\sqrt{(1-\mu)\frac{g}{l}}} + e^{- \sqrt{(1-\mu)\frac{g}{l}}} + \frac{\mu l}{(1-\mu)} )
Das Prüfen würde dort nicht klappen !
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 04. März 2024 14:46 Titel: |
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| ak!!53 hat Folgendes geschrieben: | Für den homogenen Teil, ohne die Konstanten A und B erhalte ich folgendes
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In den Exponenten sollte, unabhängig davon, ob x die Länge des auf dem Tisch liegenden Teils oder des herabhängenden Teils ist, 1+mu stehen, also
=Ae^{\sqrt{\beta} t}+Be^{-\sqrt{\beta}t}\quad \text{mit }\,\beta=\frac{g(1+\mu_\text{G})}{l})
(die Bewegungsgleichung in Deinem ersten Beitrag war richtig, und dort stand ebenfalls "1+mu"). Dasselbe gilt für die spezielle Lösung:
=\frac{\mu_\text{G}l}{1+\mu_\text{G}}=\text{const.})
Stünde "1-mu", ergäbe sich für mu=1 eine konstante Funktion unabhängig von den Anfangsbedingungen, was nicht richtig sein kann.
| Zitat: | | Ich hatte die konstanten A und B nur aus der homogenen Lösung bestimmt, wenn ich nun eigentlich noch eine Konstante C besitze, so dies ist mit leider nicht ganz klar , ob ich beim Bestimmen von A und B den Teil der speziellen Lösung zu beachten hab |
Du musst von der ganzen allgemeinen Lösung ausgehen (homogene plus partikuläre Lösung), und daraus mit den Anfangsbedingungen die beiden Konstanten bestimmen.
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 04. März 2024 17:03 Titel: |
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Hallo Myon, danke dir für den Hinweis, dass es sich um ein plus handeln muss in dem (1+mu). Ich muss vorher -F_r geschrieben haben und dannach folgte halt das andere Vorzeichen, obwohl man die Kräfte aufsummiert die auf ein Objekt wirken und ich das irgendwie schon weiß....
Ich bin da nochmal durchgegangen ich finde die Konstante A sieht gut aus B lässt mich unzufrieden.
und
})
Das x(t) erspar ich mir jetzt, man könnte noch das 1/2 ausklammern usw. Falls die Stimmen sollten dann setz ich mich weiter dran and die Hyperbolicus schreibweise und c)
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 04. März 2024 19:51 Titel: |
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Schreibt man die allgemeine Lösung als
=Ae^{\sqrt{\beta} t}+Be^{-\sqrt{\beta}t}+\frac{\mu_\text{G}l}{1+\mu_\text{G}})
so sollte für die Anfangsbedingungen
=0,\quad \dot{x}(0)=v_0)
folgen
)
)
x(t) kann man dann noch durch sinh, cosh ausdrücken.
Einfacher noch erhält man x(t) für die gegebenen Anfangsbedingungen, wenn man die allgemeine Lösung schreibt als
=C_1\sinh(\sqrt{\beta}t)+C_2\cosh(\sqrt{\beta}t)+\frac{\mu_\text{G}l}{1+\mu_\text{G}})
Dann kann man die Konstanten C1, C2 praktisch ablesen.
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 04. März 2024 21:44 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Schreibt man die allgemeine Lösung als
so sollte für die Anfangsbedingungen
folgen
x(t) kann man dann noch durch sinh, cosh ausdrücken.
Einfacher noch erhält man x(t) für die gegebenen Anfangsbedingungen, wenn man die allgemeine Lösung schreibt als
Dann kann man die Konstanten C1, C2 praktisch ablesen. |
Hmm, ich hab aus dem Text entnommen, dass x(0)=l ist.
Also, dass das Seil beim Zeitpunkt t=0 komplett horizontal auf dem Tisch liegt.
Ich setz mal die Anfangsbedingungen neu an und edite, dannach meinen Beitrag.
Und übrigens mein Lambda sieht so aus.
 \frac{g}{l} } )
Du hast den Term innerhalb der Wurzel vereinfacht, ich hab einfach gesagt, dass es ein +- Lambda gibt.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 04. März 2024 22:02 Titel: |
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Nur ganz kurz, ich kann heute nicht mehr schreiben: hätte ich nochmals erwähnen sollen - bei mir ist x die Länge des Seilteils, das herunterhängt. Deshalb die Anfangsbedingung x(0)=0. Natürlich kann man als x auch die Länge des Teils wählen, der auf dem Tisch liegt. Man muss aber bei einer einmal getroffenen Festlegung bleiben. Ist x die Länge des Seils auf dem Tisch, muss man mit den Vorzeichen möglicherweise etwas aufpassen, da x dann abnimmt, wenn sich das Seil auf die Kante zu bewegt. Insbesondere gälte dann für die 2. Anfangsbedingung
=-v_0)
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 05. März 2024 12:17 Titel: |
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Durch die Anfangsbed. x(0)=0 bin ich auf folgende Bewegungsgleichung gekommen. Die Konstanten A und B sind damit identisch wie bei dir.
Ps.: Du brauchst dich nicht rechtfertigen ob du Antworten kannst oder nicht. Ich bin über jeden Kommentar dankbar, desweiteren verfolgst du ja meine Beiträge und kommentierst nahezu unter jedem, sowas sehe ich nicht als Selbstverständlich an.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 05. März 2024 13:53 Titel: |
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| ak!!53 hat Folgendes geschrieben: | | Durch die Anfangsbed. x(0)=0 bin ich auf folgende Bewegungsgleichung gekommen. |
Ja, das sieht gut aus!
Das wäre jetzt eigentlich nicht die Bewegungsgleichung, sondern die Lösung der Bewegungsgleichung
g}{l}x-\mu g)
für die gegebenen Anfangsbedingungen.
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ak!!53
Anmeldungsdatum: 12.01.2024
Beiträge: 51
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| ak!!53 Verfasst am: 05. März 2024 17:05 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | ak!!53 hat Folgendes geschrieben: | | Durch die Anfangsbed. x(0)=0 bin ich auf folgende Bewegungsgleichung gekommen. |
Ja, das sieht gut aus!
Das wäre jetzt eigentlich nicht die Bewegungsgleichung, sondern die Lösung der Bewegungsgleichung
für die gegebenen Anfangsbedingungen. |
Hi, ich weiß nicht ganz ob ich mit der Information viel Anfangen kann, entschuldige mich dafür. Ich bin irgendwo zufrieden. 
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