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Kurzfrage lineare DGL 2. Ordnung harmonischer Oszillator
 
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Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 16:14    Titel: Kurzfrage lineare DGL 2. Ordnung harmonischer Oszillator Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo kurz Frage:
Es geht um die DGL für den harmonischen Oszillator.
Wir haben die DGL:


(1)

Es ist jetzt allgemein üblich zu verwenden. Dadurch solle die Sache übersichtlicher werden.

(1) ist eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wie kommt man auf die charakteristische Gleichung:



??? Das ist mir ein Rätsel.


Die Eigenwerte kann man jetzt ablesen.

Meine Ideen:
Mir ist halt unklar wie man von den obigen Gleichungen, auf diese kommt:



Ich quäle mich schon so lange diesen Umformungsschritt zu verstehen, sodass ich jetzt hier an Euch weitergebe. Es wäre mir wirklich sehr wichtig wenn mir jemand diesen Sachverhalt erklären könnte.

Grüße ganz herzlich Dennis.
Wiktoria
Gast





Beitrag Wiktoria Verfasst am: 12. Dez 2013 16:30    Titel: Re: Kurzfrage lineare DGL 2. Ordnung harmonischer Oszillator Antworten mit Zitat

Hilfe Feuer et brennt hat Folgendes geschrieben:
Hallo kurz Frage:
Es geht um die DGL für den harmonischen Oszillator.
Wir haben die DGL:


Kurze Antwort: das ist keine Gleichung einer harmonischen Schwingung!
m ... Masse
k ... Federkonstante
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ja falsch ausgedrückt, das folgt aus dem zweiten Newtonschen Axiom. Aber kannst du mir bitte bei meiner Frage helfen?

Dennis
Wiktoria
Gast





Beitrag Wiktoria Verfasst am: 12. Dez 2013 16:37    Titel: Antworten mit Zitat

Was ist denn die Frage?
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 16:41    Titel: Re: Kurzfrage lineare DGL 2. Ordnung harmonischer Oszillator Antworten mit Zitat

Hilfe Feuer et brennt hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo kurz Frage:


(1)

Wie komme von dieser Gleichung.

Zu dieser Gleichung:
Hilfe Feuer et brennt hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:



Dennis
Wiktoria
Gast





Beitrag Wiktoria Verfasst am: 12. Dez 2013 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

Dies halte ich für unmöglich.
Vielleicht kann jemand anders helfen.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8258

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Dez 2013 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

Du nimmst als Ansatz für Deine Lösung x(t)=e^(D*t). Einsetzen liefert Dir dann statt einer DGL für x(t) eine algebraische Gleichung in D.
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 16:50    Titel: Antworten mit Zitat

Dort habe ich es z.B. gefunden aber auch woanders:
Da ich keine Links eintippen kann: Auf google und dann folgendes eingeben: harmonischer oszillator charakteristisches Polynom und direkt erster Treffer (Matheplanet)
Direkt oben nach den ersten Diagrammen.

Dennis
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 17:00    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Einsetzen liefert Dir dann statt einer DGL für x(t) eine algebraische Gleichung in D.




Kann noch nicht verstehen wie man damit auf:

kommt.

Danke.

Dennis.
Wiktoria
Gast





Beitrag Wiktoria Verfasst am: 12. Dez 2013 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

Und ebenfalls rätselhaft: wie kommt man von k auf D?
stereo



Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402

Beitrag stereo Verfasst am: 12. Dez 2013 17:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hilfe Feuer et brennt hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Einsetzen liefert Dir dann statt einer DGL für x(t) eine algebraische Gleichung in D.




Kann noch nicht verstehen wie man damit auf:

kommt.

Danke.

Dennis.






Das in die DGL einsetzen und schauen und fertig.
Jayk



Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450

Beitrag Jayk Verfasst am: 12. Dez 2013 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

Die charakteristische Gleichung bekommst du, wenn du einen Exponentialansatz machst: Wie Richard Feynman gesagt hat (so ähnlich): Auf diese Weise haben wir das Ableiten auf eine Multiplikation reduziert. Dann kannst du statt schreiben . Merkst du was?
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 17:21    Titel: Antworten mit Zitat

stereo hat Folgendes geschrieben:





Das in die DGL einsetzen und schauen und fertig.


Das ist klar. Das Problem ist noch wo ist dann bei der Gleichung:



das m und x hin?

Danke Euch riesig für die Antworten!
Dennis
stereo



Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402

Beitrag stereo Verfasst am: 12. Dez 2013 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Das sollte eigentlich nicht schwer sein:







Jetzt einsetzen:



Da die triviale Lösung x(t)=0 wahrscheinlich nicht gesucht ist, muss die Summe Null werden.
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

Das da ist jetzt klar. In meinem Fall fehlt da aber noch ein Vorfaktor:

- - > w w w .fotos-hochladen.net/view/bild38vncghkz1q.png<- -

Dennis
stereo



Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402

Beitrag stereo Verfasst am: 12. Dez 2013 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

, das ist genau das, was dir Jayk versucht hat zu erklären. Die Ableitungen sind nur noch Multiplikationen mit K. Und in der "nullten Ableitung" (keine Ableitung) steht eben .

Warum hast du jetzt eigentlich K mit D getauscht?
Hilfe Feuer et brennt
Gast





Beitrag Hilfe Feuer et brennt Verfasst am: 12. Dez 2013 17:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hilfe Feuer et brennt hat Folgendes geschrieben:
Dort habe ich es z.B. gefunden aber auch woanders:
Da ich keine Links eintippen kann: Auf google und dann folgendes eingeben: harmonischer oszillator charakteristisches Polynom und direkt erster Treffer (Matheplanet)
Direkt oben nach den ersten Diagrammen.

Das ist Notation, aber es muss ja so stimmen. Es kommt daher, dass dort (in dem Zitat beschrieben) es halt mit D gehandhabt wird.

Danke Euch vielmals.
Dennis
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