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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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 skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 13:00 Titel: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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Hallo,
ich bräuchte heute mal super dringend eure Hilfe.
Dabei geht es um die Störungstheorie 1. Ordnung eines anharmonischen Oszillators.
Wir hatten folgendes Beispiel in der Vorlesung:
anharmonischer Oszillator mit
Ungestörte Energie: } = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})) , 
STörungstheorie 1. Ordnung:
} = <n \left| \alpha x^4 \right| n> = \alpha <n \left| x^2 x^2 \right| n> =)
mit )
^2 \right| n> )
^2\right| n>) _____ (1)
(n+2)+n(n-1)+(2n+1)^2]) _____ (2)
mit  >})
und
 >)
Dabei verstehe ich hier das Zustandekommen der Markierung _____ (1) und _____ (2) nicht.
Zu _____ (1) : Wieso fällt hier nun plötzlich  und  weg? Und woher nun der Term ^2) ?
Warum der gemischte Term wegfällt, soll wohl darin liegen, dass nur der Anteil übrig bleibt mit der gleichen Anzahl an Erzeugungs - und Vernichtungsoperatoren.
Zu _____ (2): Hier kann ich nicht nachvollziehen wie man hier mit
mit
und
gerechnet hat. Und somit auf den Ausdruck kommt.
Ich hoffe, ich konnte mein Problem gut darstellen. Wenn nicht, dann bitte Fragen, wenn noch was unklar sein sollte.
Und schon mal vielen, vielen dank im vorraus für eure Hilfe  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 13:58 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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Ich glaube, deine Fragen zu den Umformungen lösen sich von selbst, wenn du das ganze einfach mal ganz ausführlich aufschreibst und selber rechnest. Diese Umformungen enthalten ein gutes Stückchen Kopfrechnen und/oder viel geschicktes Verwenden bereits bekannter Beziehungen.
zum Beispiel:
 \cdot <n|n-4>)
Und was ist  für alle  aufgrund der Orthogonalität?
oder: rechne mal
^2 \right | n> )
aus. Und vergleiche das Ergebnis mit dem Umformergebnis aus der Vorlesung.
Wird diese Rechnung machbarer oder einfacher, wenn du dabei sogar Vertauschungsrelationen der beiden Operatoren und/oder die Eigenschaften des Teilchenzahloperators nutzt? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 14:49 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
rechne mal
aus |
das müsste doch:
^2 \right | n> = \left. (a^2a^{+2} + a^{+2}a^2 + gemischter Term \right | n> ) sein, oder?
So, dass ich ich dann auf
käme und das ist doch ungleich dem Ausdruck aus der Vorlesung:
^2\right| n>)
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 14:55 Titel: |
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Hast du da vielleicht beim Ausmultiplizieren vergessen, dass es auf die Reihenfolge der Operatoren ankommt?
Was bekommst du direkt nach dem Ausmultiplizieren, wenn du die Reihenfolge der Operatoren genau gleich lässt? Schreibe am besten erstmal alle Terme auf, egal ob den Verdacht hast, dass sie eventuell unter die Kategorie "gemischte Terme" fallen könnten.
Und wie kannst du das dann danach unter Verwendung der Vertauschungsrelationen weiter umformen? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 15:24 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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hmm, ich dachte eigentlich ich hätte es berücksichtig... ok, scheine wohl doch noch so kleine Problemchen hierbei zu haben 
Unter Anwendung der binomischen Formel, bin ich der Meinung, dass man folgendes erhält:
^2 \right | n> = \left. a^2a^{+2} + aa^+ a^+a + a^+a aa^+ + a^{+2}a^2 \right | n> = \left. a^2a^{+2} + aa^{+2}a + a^+a^2a^+ + a^{+2}a^2 \right | n> )
Wobei ich die beiden Terme in der Mitte, also  , als gemischt betrachtet hatte |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 15:29 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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Oh, die binomische Formel würde ich hier nicht so hernehmen, damit ist dir die Reihenfolge der Operatoren beim Ausmultiplizieren durcheinandergeraten. Schreib dir das lieber als zwei Klammern hintereinander:
^2 \right | n> = \left. (aa^+ + a^+a)\cdot (aa^+ + a^+a) \right | n> )
Und dann immer brav erster Term der ersten Klammer mal ersten Term der zweiten Klammer, plus ersten Term der ersten Klammer mal zweiten Term der zweiten Klammer, plus zweiter Term der ...
Und immer schön die Reihenfolge der Operatoren von links nach rechts gleich lassen 
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 17. Jan 2008 16:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 16:17 Titel: |
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Ahhh, da hast du schonmal einen riesen Denkfehler von mir gefunden. Danke
Ok, ich habe es jetzt so gemacht wie du sagtest. So erhalte ich:
^2 (a+a^+)^2 \right| n>)
 (a^2+aa^++a^+a+a^{+2}) \right| n> )
[Ich habe mal die langen Gleichungen ein bisschen umgebrochen, damit sie die Zeilenbreite nicht so sprengen  Schönen Gruß, dermarkus]
Sollte das jetzt richtig sein, hätte ich da noch eine Frage bevor ich an den weiteren Schritten rumtüfftele. Denn ich glaube,
mir war vorher noch nicht so ganz klar, was die Mischterme sind, die wegfallen.
Fallen die folgende Terme weg?
Und nur mit den folgenden Termen wird weitergerechnet?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 16:25 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
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Das Ausmultiplizieren scheint du nun prima verstanden zu haben
Das Rechenbeispiel, das du da allerdings gerade gerechnet hast, scheint mir allerdings nicht dasselbe zu sein wie das, was wir gerade rechnen wollten:
^2 \right | n> = \left. (aa^+ + a^+a)\cdot (aa^+ + a^+a) \right | n> = ??? )
----------------------------
Zu der Frage, welche Terme "Mischterme" sind und wegfallen, sollte dir der Tipp zu der Orthogonalität von oben weiterhelfen. Was passiert nämlich in unserem Ausdruck  mit allen Produkten von Operatoren, in denen die Anzahl von Aufsteigeoperatoren nicht gleich der Anzahl von Absteigeoperatoren ist? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 16:39 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Das Rechenbeispiel, das du da allerdings gerade gerechnet hast, scheint mir allerdings nicht dasselbe zu sein wie das, was wir gerade rechnen wollten:
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da wahr ich wohl zu übereifreig und hatte den Ausdruck vom Anfang der Aufgabe gewählt
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
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^2 \right | n> = \left. (aa^+ + a^+a)\cdot (aa^+ + a^+a) \right | n> = \left. aa^+aa^+ + aa^{+2}a + a^+a^2a^+ + a^+aa^+a \right | n> )
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Zu der Frage, welche Terme "Mischterme" sind und wegfallen, sollte dir der Tipp zu der Orthogonalität von oben weiterhelfen. Was passiert nämlich in unserem Ausdruck mit allen Produkten von Operatoren, in denen die Anzahl von Aufsteigeoperatoren nicht gleich der Anzahl von Absteigeoperatoren ist? |
Müssten Null werden, oder?
Das heißt, nur die Terme sind von Null verschieden, die die gleiche Anzahl von Spin up und Spin downs haben, oder? Und die Reihenfolge der Spin up und Spin downs spielen dabei keine Rolle, oder?
Damit meine ich, dass z.B. ebenso ungleich Null ist wie  oder  ?? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 16:56 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
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Einverstanden Nun kannst du anfangen, die Vertauschungsrelation zu verwenden, um die Reihenfolge der Operatoren zu ordnen. Kennst du die Vertauschungsrelation für unsere beiden Operatoren, und wie lautet sie?
| Zitat: |
Müssten Null werden, oder?
Das heißt, nur die Terme sind von Null verschieden, die die gleiche Anzahl von Spin up und Spin downs haben, oder? Und die Reihenfolge der Spin up und Spin downs spielen dabei keine Rolle, oder?
Damit meine ich, dass z.B. ebenso ungleich Null ist wie oder ?? |
Einverstanden, aber warum genau?
(Und "Aufsteigeoperatoren und Absteigeoperatoren" kann man nicht als "Spin Ups und Spin Downs" bezeichnen, das wäre etwas anderes.) |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 17:13 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | skywalker hat Folgendes geschrieben: |
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Einverstanden Nun kannst du anfangen, die Vertauschungsrelation zu verwenden, um die Reihenfolge der Operatoren zu ordnen. Kennst du die Vertauschungsrelation für unsere beiden Operatoren, und wie lautet sie?
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Hmm, ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit Vertauschungsrelation meinst. In diesem Zusammenhang fällt mir nur das hier ein:
 . Womit zb dann  gelten würde.
Gibts denn noch weitere? Wenn ja, wie konstruiert man die? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:19 Titel: Re: Störungstheorie 1. Ordnung (anharmonischer Oszillator) |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
.
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Einverstanden, das meine ich Was bedeutet denn die Schreibweise mit den eckigen Klammern ("Kommutator"), wenn man das konkret ausschreibt? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 17. Jan 2008 17:42 Titel: |
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Der Kommutator entspricht:
Und ich habe das mal eingesetzt in
womit ich dann tatsächlich
^2 \right | n> )
rausbekommen habe
Kannst du mir dann bitte auch noch nen Tipp geben, wie man hier nochmal rechnen muss, um von
zu dem Ausdruck
zu kommen? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Jan 2008 17:47 Titel: |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
Kannst du mir dann bitte auch noch nen Tipp geben, wie man hier nochmal rechnen muss, um von
zu dem Ausdruck
zu kommen? |
Ich würde sagen:
Das Quadrat rechts wieder schön brav ausmultiplizieren,
(dann eventuell ein bisschen mit Vertauschungsrelationen ordnen, je nachdem)
und dann anfangen, die Operatoren auf den Zustand |n> rechts anzuwenden. Immer schön zuerst den Operator, der am weitesten rechts im Produkt steht |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 10:27 Titel: |
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Tut mir echt leid, wenn ich schon beinahe nervig wirken sollte.
Aber irgendwie komme ich noch nicht auf das gewünschte Ergebniss.
Muss man das multiplizieren, einsetzen, etc. ?
Kannst du das vielleicht exemplarisch hieran zeigen:
Und warum nur die Operatoren auf den rechten Zustand anwenden und nicht ach noch links? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 11:45 Titel: |
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Operatoren wirken immer nur nach rechts, also auf das, was hinter ihnen steht. Deshalb ist die Reihenfolge der Operatoren ja auch so wichtig.
Fang mal so an:
und was ist  |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 12:19 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
was ist |
und desweiteren gilt noch
So und nun zu:
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Fang mal so an:
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Aufgrund dieser oben genannten Bedingungen weiß man ja, dass
^2 | (n+1)> = n+1 | (n+1)> ) sein müsste
und
^2 | (n-1)> = n | (n-1)>)
Nun sehe ich das Problem drin, dass wir einmal ) und  ) rechts von den Operatoren stehen haben. Man kann das ganze ja vermutlich nicht so zusammenfassen, oder?:
 \right| n>)
(Außerdem verschwindet der Zustand n auch nach der Anwendung bei der Aufgabe. Aber warum? Weil vielleicht  ? ) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 12:24 Titel: |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
Aufgrund dieser oben genannten Bedingungen weiß man ja, dass
sein müsste
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Vorsicht, das war zu schnell gerechnet.
Was ist  in
 ?
Anmerkung: Das  ist nur eine Zahl, das kann man also tatsächlich innerhalb des Produktes hinschreiben, wo man will. Deshalb habe ich es mal ein bisschen nach vorne gezogen, damit man leichter sieht, wie nun der nächste Operator auf den nun neuen Zustand rechts wirkt.
---------------
| skywalker hat Folgendes geschrieben: | | Weil vielleicht ? ) |
Ja, das gehört übrigens auch zu der Orthogonalitätsrelation, auf die ich dich oben schon mal bringen wollte. Wie lautet die vollständige Orthogonalitätsrelation? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 13:22 Titel: |
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 a^+ | (n+1)> = (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | (n+1)(n+2)> )
und
 a | (n-1)> = (\sqrt{n})(\sqrt{n-1}) | (n-1)(n-2)> )
Stimmt das?
Wenn ja, folgt dann daraus:
(\sqrt{n-1}) (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | (n-1)(n-2) (n+1)(n+2) >) ?? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 13:25 Titel: |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
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Hoppla, wie hast du das gerechnet?
Seit wann ist (n+1) + 1 = (n+1)(n+2) ?
Achte genau auf die Rechenregeln und Vorschriften, die sind fast alle für dich neu und ungewohnt. Darum kannst du hier nichts "nach Bauchgefühl" machen, sondern musst streng nach den Regeln und Definitionen gehen, die du hast. |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 13:48 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Seit wann ist (n+1) + 1 = (n+1)(n+2) ?
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Muss es dann  a^+ | (n+1)> = (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | (n+2)> )
heißen? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 13:54 Titel: |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: | | dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Seit wann ist (n+1) + 1 = (n+1)(n+2) ?
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Muss es dann
heißen? |
Genau
Und jetzt wendest du darauf die nächsten Operatoren an:
 (\sqrt{n+2}) | (n+2)> = ??? = ???) |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 13:59 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Genau
Und jetzt wendest du darauf die nächsten Operatoren an:
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Müsste das dann:
 (\sqrt{n+2}) | (n+2)> = \sqrt{n} \cdot a \cdot (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | (n+1)> = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n-1} \cdot (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | n> )
sein? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 14:05 Titel: |
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Nein. Welchen Vorfaktor bekommst du denn, wenn du das  sorgfältig auf den Zustand  anwendest? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 14:16 Titel: |
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Ich glaube jetzt habe ich es verstanden (hoffentlich )
 (\sqrt{n+2}) | (n+2)> = \sqrt{n+2} \cdot a \cdot (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | (n+1)> = \sqrt{n+2} \cdot \sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+1}) (\sqrt{n+2}) | n> )
Darf man hier von dem Ergebniss die Reihenfolge vertauschen? So das man dann sagen kann:
 \sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+1}) | n> = (n+2) (n+1) | n>) ?? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 14:21 Titel: |
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Einverstanden
Ja, die Reihenfolge der Zahlen, die da als Vorfaktoren stehen, kann man in den Produkten beliebig vertauschen, denn das sind ja nur Zahlen und keine Operatoren.
(Siehe auch das, was ich oben in meinem Beitrag von Fr Jan 18, 2008 12:24 pm noch nachträglich unten reingeschrieben hatte)
Nun fehlt nur noch, das  davorzuschreiben. Dann kannst du die Zahlen aus dem bra-ket heraus nach vorne ziehen, und übrig bleibt dahinter dann nur noch das  mit Hilfe der Orthogonalitätrelation auszuwerten. |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 18. Jan 2008 14:29 Titel: |
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Ich denke, jetzt habe ich es verstanden
Und vielen, vielen dank für deine Hilfe. Ich weiß das sehr zu schätzen, dass du es so lange mit mir durchgehalten hast |
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