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Impuls- und Ortsoperator (harmonischer Oszillator)
 
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number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 18:00    Titel: Impuls- und Ortsoperator (harmonischer Oszillator) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einem quadratischen Potenzial, . Sie haben in
der Vorlesung die entsprechende Quantenmechanik kennengelernt. Verwenden Sie die Kreisfrequenz und die charakteristische Länge .

(a) Zeigen Sie ausgehend von der Definition des Operators , dass die folgenden Beziehungen gelten:









Meine Ideen:
Es gilt:

,

was ich umgestellt habe zu:



nun brauche ich einen Tipp zum Weitermachen, dann widme ich mich den anderen Augenzwinkern
pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 18:52    Titel: Antworten mit Zitat

Die letzte Formel bringt dir eigentlich nichts. Besser solltest du auch nach dem Erzeugungsoperator auflösen, ebenso wie du es schon mit dem Vernichter gemacht hast.

Anschließend kannst du mithilfe des Kommutators zwischen Ort und Impuls
auch den zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperator berechnen.

Für den Hamiltonoperator musst du nur x und p durch Erzeuger und Vernichter ausdrücken und ein bisschen umformen.
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:03    Titel: Antworten mit Zitat

hm, aber in der Aufgabe steht ja, dass man von der Definition des Vernichters ausgehen soll, deshalb hab ich sie auch als erste Zeile dahin geschrieben..

also muss ich anders anfangen? wenn ich mit dem Erzeuger beginne, dann erhalte ich ja dasselbe nur mit einem anderen Vorzeichen..
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

number123 hat Folgendes geschrieben:
wenn ich mit dem Erzeuger beginne, dann erhalte ich ja dasselbe nur mit einem anderen Vorzeichen..


Einverstanden, also kannst du doch nun den Kommutator berechnen...
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:16    Titel: Antworten mit Zitat

hm? in den ersten zwei Gleichungen taucht doch gar kein Kommutator auf, oder steh ich hier irgendwo komplett auf dem schlauch.. :s
pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:19    Titel: Antworten mit Zitat

Du kennst und , also kannst du doch berechnen ?
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:39    Titel: Antworten mit Zitat

ach, du bist schon bei der dritten Überprüfung, ich war noch bei der ersten Augenzwinkern







???
pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Bei der ersten ? Dachte das wäre die erste...
Zum Kommutator: x und p kommutieren nicht !
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

die erste war ja

was meinst du mit x und p kommutieren nicht.. was muss ich denn dann an meiner rechnung ändern?!
pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:48    Titel: Antworten mit Zitat

Dachte die ersten beiden wären die Definition... was ist dann die Definition ?

Mit p und x kommutieren meine ich



in deiner Rechnung hast du ja offensichtlich verwendet:

TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 19:49    Titel: Antworten mit Zitat

Für die Berechnung des Kommutators folgende Vorgehensweise

[A+B,C+D] = [A,C+D] + [B,C+D] = [A,C] + [A,D] + [B,C] +[B,D]

D.h. du setzt die Definition ein und berechnest nur noch Kommutatoren der Form [x,x], [x,p], [p,x] und [p,p]

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:52    Titel: Antworten mit Zitat

Die ersten beiden soll ich zeigen, die Definition ist die erste Formel, die unter "meine Ideen" steht..

also muss ich, wenn ich Erzeuger und Vernichter kommutiere, x und p auch nochmal einzeln kommutieren? ist das verschachtelt? wenn ja, dann hab ich keine Ahnung..

Vielleicht hast du ja einen Tipp für mich, wie ich die ersten beiden zeige, von denen du dachtest, dass es die Definition ist Augenzwinkern
pressure



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Beitrag pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:58    Titel: Antworten mit Zitat

Für die ersten beiden einfach ausgehend von der Definition berechnen:

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15512

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 20:03    Titel: Antworten mit Zitat

Und für die dritte hab' ich dir einen Ansatz gezeigt ...
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number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:07    Titel: Antworten mit Zitat

ja, natürlich, dann ist's natürlich leicht..

okay, jetzt versteh ich immer noch nicht, was ich mit den verschachtelten kommutatoren machen muss..

tom, welche definition meinst du?
number123
Gast





Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:20    Titel: Antworten mit Zitat

ah, okay.. also:

[a,a+]=[x+p,x+p] = [x,x]+[x,p]+[p,x]+[p,p]

mit [x,x] = 0 und [p,p] = 0?

was setze ich denn bei [x,p] und [p,x] für x und p ein?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 20:54    Titel: Antworten mit Zitat

number123 hat Folgendes geschrieben:
[a,a+]=[x+p,x+p] = [x,x]+[x,p]+[p,x]+[p,p]

na ja, zumindest den Faktor 'i' brauchst du:
[x+ip,x-ip] = [x,x]-i[x,p]+i[p,x]+[p,p]

number123 hat Folgendes geschrieben:
was setze ich denn bei [x,p] und [p,x] für x und p ein?

nix, du schreibst einfach [x,p]=i

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number123
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Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:58    Titel: Antworten mit Zitat

[x,p] = i*h-

[p,x] = h-/i



und




das ergibt immer noch 0 und nicht 1.. ich weiß nicht weiter :/
number123
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Beitrag number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 21:37    Titel: Antworten mit Zitat

beim hamilton-operator komm ich auch nicht weiter.. ach man -.-





TomS
Moderator


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Beiträge: 15512

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Dez 2011 01:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß wirklich nicht, was du da rechnest; mach mal eins nach dem anderen.

Du startest mit der Definiton von und als (komplexe) Linearkombination von x und p. Die Vertauschungsrelationen von x und p sind bekannt.

Du kannst nun direkt diese Definiton von und in die Kommutatoren, z.B. , einsetzen und diese auf Basis der bekannten Kommutatoren für x und p berechnen (das funktioniert ähnlich wie ausmultiplizieren; eine Formel hab ich oben angegeben).

Außerdem kannst du die Definition von und nach x und p auflösen, also x und p als wiederum komplexe Linearkombination von und schreiben.

Du hast also vier Identitäten, die du zeigen musst





bedeuten Auflösen der Definiton von und nach x und p.




bedeutet Einsetzen der Definition von und in die Kommutatoren und Berechnen nach der o.g. Regel



bedeutet , die Darstellung von x und p durch und (die du oben gezeigt hast) in H (dargestellt mittels x und p) einsetzen.

Noch ein Tipp: du kennst



Damit kannst du in jeder beliebigen Formel die Reihenfolge der Operatoren vertauschen, indem du z.B. schreibst


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number123
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Beitrag number123 Verfasst am: 06. Dez 2011 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Danke Tom!

Sorry, falls ich dich zu sehr auf die Palme gebracht habe Augenzwinkern
Ich hab jetzt alles hingekriegt, was ich ohne eure Hilfe niemals geschafft hätte!

also vielen, vielen Dank!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15512

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Dez 2011 15:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hey, kein Problem!
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