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Nachricht |
number123
Gast
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 number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 18:00 Titel: Impuls- und Ortsoperator (harmonischer Oszillator) |
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Meine Frage:
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einem quadratischen Potenzial, =\frac{k}{2}x^{2}) . Sie haben in
der Vorlesung die entsprechende Quantenmechanik kennengelernt. Verwenden Sie die Kreisfrequenz  und die charakteristische Länge  .
(a) Zeigen Sie ausgehend von der Definition des Operators  , dass die folgenden Beziehungen gelten:
)
)
)
Meine Ideen:
Es gilt:
 ,
was ich umgestellt habe zu:
)
nun brauche ich einen Tipp zum Weitermachen, dann widme ich mich den anderen  |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 18:52 Titel: |
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Die letzte Formel bringt dir eigentlich nichts. Besser solltest du auch nach dem Erzeugungsoperator auflösen, ebenso wie du es schon mit dem Vernichter gemacht hast.
Anschließend kannst du mithilfe des Kommutators zwischen Ort und Impuls
auch den zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperator berechnen.
Für den Hamiltonoperator musst du nur x und p durch Erzeuger und Vernichter ausdrücken und ein bisschen umformen. |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:03 Titel: |
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hm, aber in der Aufgabe steht ja, dass man von der Definition des Vernichters ausgehen soll, deshalb hab ich sie auch als erste Zeile dahin geschrieben..
also muss ich anders anfangen? wenn ich mit dem Erzeuger beginne, dann erhalte ich ja dasselbe nur mit einem anderen Vorzeichen.. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:09 Titel: |
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| number123 hat Folgendes geschrieben: | | wenn ich mit dem Erzeuger beginne, dann erhalte ich ja dasselbe nur mit einem anderen Vorzeichen.. |
Einverstanden, also kannst du doch nun den Kommutator berechnen... |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:16 Titel: |
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hm? in den ersten zwei Gleichungen taucht doch gar kein Kommutator auf, oder steh ich hier irgendwo komplett auf dem schlauch.. :s |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:19 Titel: |
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Du kennst und  , also kannst du doch  berechnen ? |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:39 Titel: |
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ach, du bist schon bei der dritten Überprüfung, ich war noch bei der ersten
\cdot(\frac{1}{\sqrt{2}x_{0}}\hat{x}-\frac{i}{\hbar}\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\hat{p}) - (\frac{1}{\sqrt{2}x_{0}}\hat{x}-\frac{i}{\hbar}\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\hat{p})\cdot(\frac{1}{\sqrt{2}x_{0}}\hat{x}+\frac{i}{\hbar}\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\hat{p}))
)
 ??? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:43 Titel: |
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Bei der ersten ? Dachte das wäre die erste...
Zum Kommutator: x und p kommutieren nicht ! |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:46 Titel: |
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die erste war ja 
was meinst du mit x und p kommutieren nicht.. was muss ich denn dann an meiner rechnung ändern?! |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:48 Titel: |
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Dachte die ersten beiden wären die Definition... was ist dann die Definition ?
Mit p und x kommutieren meine ich
in deiner Rechnung hast du ja offensichtlich verwendet:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17264
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| TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 19:49 Titel: |
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Für die Berechnung des Kommutators folgende Vorgehensweise
[A+B,C+D] = [A,C+D] + [B,C+D] = [A,C] + [A,D] + [B,C] +[B,D]
D.h. du setzt die Definition ein und berechnest nur noch Kommutatoren der Form [x,x], [x,p], [p,x] und [p,p]
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 19:52 Titel: |
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Die ersten beiden soll ich zeigen, die Definition ist die erste Formel, die unter "meine Ideen" steht..
also muss ich, wenn ich Erzeuger und Vernichter kommutiere, x und p auch nochmal einzeln kommutieren? ist das verschachtelt? wenn ja, dann hab ich keine Ahnung..
Vielleicht hast du ja einen Tipp für mich, wie ich die ersten beiden zeige, von denen du dachtest, dass es die Definition ist |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2011 19:58 Titel: |
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Für die ersten beiden einfach ausgehend von der Definition berechnen:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17264
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| TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 20:03 Titel: |
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Und für die dritte hab' ich dir einen Ansatz gezeigt ...
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:07 Titel: |
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ja, natürlich, dann ist's natürlich leicht..
okay, jetzt versteh ich immer noch nicht, was ich mit den verschachtelten kommutatoren machen muss..
tom, welche definition meinst du? |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:20 Titel: |
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ah, okay.. also:
[a,a+]=[x+p,x+p] = [x,x]+[x,p]+[p,x]+[p,p]
mit [x,x] = 0 und [p,p] = 0?
was setze ich denn bei [x,p] und [p,x] für x und p ein? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17264
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| TomS Verfasst am: 05. Dez 2011 20:54 Titel: |
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| number123 hat Folgendes geschrieben: | | [a,a+]=[x+p,x+p] = [x,x]+[x,p]+[p,x]+[p,p] |
na ja, zumindest den Faktor 'i' brauchst du:
[x+ip,x-ip] = [x,x]-i[x,p]+i[p,x]+[p,p]
| number123 hat Folgendes geschrieben: | | was setze ich denn bei [x,p] und [p,x] für x und p ein? |
nix, du schreibst einfach [x,p]=i
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 20:58 Titel: |
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[x,p] = i*h-
[p,x] = h-/i
und
das ergibt immer noch 0 und nicht 1.. ich weiß nicht weiter :/ |
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 05. Dez 2011 21:37 Titel: |
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beim hamilton-operator komm ich auch nicht weiter.. ach man -.-
)^{2}+\frac{m}{2}\omega^{2}(\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}(\hat{a}-\hat{a}^\dagger))^{2})
)+\frac{m}{2}\omega^{2}(\frac{x_{0}^{2}}{2}(\hat{a}^{2}+2\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^{\dagger^{2}})))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17264
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| TomS Verfasst am: 06. Dez 2011 01:36 Titel: |
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Ich weiß wirklich nicht, was du da rechnest; mach mal eins nach dem anderen.
Du startest mit der Definiton von  und  als (komplexe) Linearkombination von x und p. Die Vertauschungsrelationen von x und p sind bekannt.
Du kannst nun direkt diese Definiton von und in die Kommutatoren, z.B.  , einsetzen und diese auf Basis der bekannten Kommutatoren für x und p berechnen (das funktioniert ähnlich wie ausmultiplizieren; eine Formel hab ich oben angegeben).
Außerdem kannst du die Definition von und nach x und p auflösen, also x und p als wiederum komplexe Linearkombination von und schreiben.
Du hast also vier Identitäten, die du zeigen musst
bedeuten Auflösen der Definiton von und nach x und p.
bedeutet Einsetzen der Definition von und in die Kommutatoren und Berechnen nach der o.g. Regel
bedeutet , die Darstellung von x und p durch und (die du oben gezeigt hast) in H (dargestellt mittels x und p) einsetzen.
Noch ein Tipp: du kennst
Damit kannst du in jeder beliebigen Formel die Reihenfolge der Operatoren vertauschen, indem du z.B. schreibst
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number123
Gast
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| number123 Verfasst am: 06. Dez 2011 14:42 Titel: |
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Danke Tom!
Sorry, falls ich dich zu sehr auf die Palme gebracht habe
Ich hab jetzt alles hingekriegt, was ich ohne eure Hilfe niemals geschafft hätte!
also vielen, vielen Dank! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17264
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| TomS Verfasst am: 06. Dez 2011 15:12 Titel: |
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Hey, kein Problem!
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