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Lineare, homogene DFG zweiter Ordnung lösen
 
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HansVader
Gast





Beitrag HansVader Verfasst am: 26. Feb 2021 15:05    Titel: Lineare, homogene DFG zweiter Ordnung lösen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

Differentialgleichungen sind für mich noch relativ neu und ich habe nun folgende Aufgabe mit dem e-Ansatz zu lösen:
Gegeben sei eine lineare, homogene DFG zweiter Ordnung der Form a*x´´+ b*x´=0
mit reellen Parametern a,b. Lösen sie mit dem e-Ansatz. Lösen sie erneut, allerdings für a=a(t) und b=b(t) beliebige Funktionen.



Meine Ideen:
Zur ersten Lösung: Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms habe ich 0 und -b/a raus (a nicht 0). Ist das soweit richtig?
Als allgemeine Lösung erhalte ich demnach x(t)=A*exp(-b*t/a) + B*exp(0) mit A,B reell.
Zum zweiten Teil habe ich keine Ahnung, hier bin ich für jeden Tipp dankbar.

Danke im Voraus
Hans
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 26. Feb 2021 15:09    Titel: Re: Lineare, homogene DFG zweiter Ordnung lösen Antworten mit Zitat

HansVader hat Folgendes geschrieben:

Zur ersten Lösung: Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms habe ich 0 und -b/a raus (a nicht 0). Ist das soweit richtig?

Ja.
Zitat:

Zum zweiten Teil habe ich keine Ahnung, hier bin ich für jeden Tipp dankbar.

Tipp: Die Substitution führt auf deine DGL erster Ordnung...
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 4711

Beitrag Mathefix Verfasst am: 26. Feb 2021 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

Substitution: x' =z
a * z' + b * z = 0
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 26. Feb 2021 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Substitution: x' =z
a * z' + b * z = 0

Wieso war das jetzt noch notwendig??
Darf er nicht selber denken?
HansVader
Gast





Beitrag HansVader Verfasst am: 27. Feb 2021 09:25    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal danke euch für die Hilfe.
Keine Angst, ich habe schon vor der Präzisierung des Tipps selber nachgedacht, aber grundsätzlich hast du recht @jh8979.

Eine Frage noch: Verstehe ich es richtig, dass ich die Lösung dann nochmal integrieren muss (wegen der vorherigen Substitution)?

Und eine andere Frage: Ich hab mir ein Video zum Thema angesehen, da wird in einer Beispielaufgabe als Stammfunktion vom Kosinus einfach der Sinus genommen und so auch in die allgemeine Lösung geschrieben (als Exponent, wie üblich). Ist das formal korrekt? Warum muss da nicht die Menge aller Stammfunktionen als Exponent stehen, also dann z.B. sin(x)+c?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 27. Feb 2021 09:31    Titel: Antworten mit Zitat

HansVader hat Folgendes geschrieben:

Eine Frage noch: Verstehe ich es richtig, dass ich die Lösung dann nochmal integrieren muss (wegen der vorherigen Substitution)?

Korrekt.
Zitat:

Und eine andere Frage: Ich hab mir ein Video zum Thema angesehen, da wird in einer Beispielaufgabe als Stammfunktion vom Kosinus einfach der Sinus genommen und so auch in die allgemeine Lösung geschrieben (als Exponent, wie üblich). Ist das formal korrekt? Warum muss da nicht die Menge aller Stammfunktionen als Exponent stehen, also dann z.B. sin(x)+c?

Bei der Stammfunktion darf die Integrationskonstante nicht fehlen. Da hast DU auch recht.
HansVader
Gast





Beitrag HansVader Verfasst am: 27. Feb 2021 09:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ok danke, dann ist jetzt alles klar.
Dann wünsche ein schönes Wochenende. Thumbs up!
HansVader
Gast





Beitrag HansVader Verfasst am: 27. Feb 2021 09:38    Titel: Antworten mit Zitat

HansVader hat Folgendes geschrieben:
Ok danke, dann ist jetzt alles klar.
Dann wünsche ein schönes Wochenende. Thumbs up!


Da fehlt ein "ich", ups.
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