Lineare, homogene DFG zweiter Ordnung lösen

HansVader · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Differentialgleichungen sind für mich noch relativ neu und ich habe nun folgende Aufgabe mit dem e-Ansatz zu lösen:
Gegeben sei eine lineare, homogene DFG zweiter Ordnung der Form a*x´´+ b*x´=0
mit reellen Parametern a,b. Lösen sie mit dem e-Ansatz. Lösen sie erneut, allerdings für a=a(t) und b=b(t) beliebige Funktionen.

Meine Ideen:
Zur ersten Lösung: Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms habe ich 0 und -b/a raus (a nicht 0). Ist das soweit richtig?
Als allgemeine Lösung erhalte ich demnach x(t)=A*exp(-b*t/a) + B*exp(0) mit A,B reell.
Zum zweiten Teil habe ich keine Ahnung, hier bin ich für jeden Tipp dankbar.

Danke im Voraus
Hans

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5863 Wohnort: jwd

Substitution: x' =z
a * z' + b * z = 0

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

HansVader · Gast

Erstmal danke euch für die Hilfe.
Keine Angst, ich habe schon vor der Präzisierung des Tipps selber nachgedacht, aber grundsätzlich hast du recht @jh8979.

Eine Frage noch: Verstehe ich es richtig, dass ich die Lösung dann nochmal integrieren muss (wegen der vorherigen Substitution)?

Und eine andere Frage: Ich hab mir ein Video zum Thema angesehen, da wird in einer Beispielaufgabe als Stammfunktion vom Kosinus einfach der Sinus genommen und so auch in die allgemeine Lösung geschrieben (als Exponent, wie üblich). Ist das formal korrekt? Warum muss da nicht die Menge aller Stammfunktionen als Exponent stehen, also dann z.B. sin(x)+c?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

HansVader · Gast

Ok danke, dann ist jetzt alles klar.
Dann wünsche ein schönes Wochenende. Thumbs up!

HansVader · Gast