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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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 WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 12:46 Titel: Potential ==> Differentialgleichung 1. Ordnung |
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Meine Frage:
Guten Morgen,
Folgende Aufgabe: Gegeben ist ein Potential V(x). Dieses soll ich unter Verwendung des Energiesatzes umformen in eine Differentialgleichung (einen Ausdruck für dx/dt).
2. Frage:
Heißt "Integrieren sie die so erhaltene DGL mit den Anfangsbedingungen.." das gleiche wie "lösen sie die DG..." Die Sprache der Physiker ist mir etwas fremd...
Meine Ideen:
Mit Energiesatz ist vermutlich das hier gemeint http://de.wikipedia.org/wiki/Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz_in_der_Newtonschen_Mechanik
Allerdings ist mir schleierhaft wo da eine DGL rauskommen soll... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 12:53 Titel: |
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Den Umweg über Energiesatz verstehe ich nicht  . Und 2: ja. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 13:12 Titel: |
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Die Aufgabe trägt die Überschrift "harmonische Schwindungen" falls das irgendwas ändert?
Edit: Außerdem ist das eine Gleichung 2. Ordnung.
Zuletzt bearbeitet von WhiteRussian am 21. Mai 2011 13:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 21. Mai 2011 13:17 Titel: |
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Gemeint ist wohl:
 = E)
E ist eine konstante, V hast du vorgegeben. Einfach lösen. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 14:59 Titel: |
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Danke, das war schonmal ne große Hilfe!
Ich habe aber ein Problem beim Lösen der DG (mit Trennung der Variablen). Das kommt von diesen blöden Konstanten, k, m und E...
Umbenennung der Kontanten um mir Tipperei zu sparen
Vielleicht könnt ihr mir ja sagen ob ich mich hier komplett auf dem Holzweg befinde, oder ob das so hinhaut?
Problem ist ja, dass das x auf beiden Seiten auftritt... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 17:51 Titel: |
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gelöscht
Zuletzt bearbeitet von franz am 21. Mai 2011 18:03, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 18:01 Titel: |
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Die richtige Gleichung sollte lauten:
Muss das mit der Trennung der Variablen sein, also ist es ein Teil der Aufgabe? Vielleicht kann man auch einfach benutzen, dass +\cos^2(t)=1) . |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 18:04 Titel: |
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Altbekannte harmonische Schwingung. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 18:38 Titel: |
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Hey, da wäre ich nie drauf gekommen! Danke!! 
Allerdings ist jdas ja jetzt wieder ne DG 2. Ordnung... Ich weiß auch nicht, was jetzt richtig ist... Aber ganz falsch kann es ja nicht sein. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 19:03 Titel: |
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Alternativ kannst du die Gleichung mit den Quadraten einfach direkt durch den Ansatz =A\cdot \sin(\alpha t) ) bzw. =A \cdot cos(\alpha t) ) lösen, da sin²+cos²=konstant und sin und cos Ableitungen voneinander sind. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 19:13 Titel: |
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| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings ist jdas ja jetzt wieder ne DG 2. |
Das ist jetzt die Bewegungsgleichung des Oszillators.
Was aber in der Ursprungsfrage eigentlich gewollt wird - ich weiß es nicht. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 19:21 Titel: |
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| Zitat: |
9. Harmonische Schwingungen
Ein Teilchen bewege sich im Potential V (x) = 0,5 k x^2
Bestimmen Sie durch Verwendung des Energiesatzes einen Ausdruck fur dx/dt. Integrieren Sie die so erhaltene Differentialgleichung 1. Ordnung zur Anfangsbedingung x0 = a, v0 = 0 (z.B. mit Hilfe der Methode der
"getrennten Variablen". Theo I). Dieser Losungsweg stellt eine Alternative zum ublichen Exponentialansatz fur x dar. |
Tja.. Für mich wird hier auch nach der Bewegungsgleichung gefragt... Warum können diese Physiker nicht einfach mal klipp und klar sagen was man tun soll, so dass es jeder Mensch versteht. 
Dass ich allerdings Punkte kriege ohne DGL glaub ich weniger... |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 20:44 Titel: |
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Und jetzt beides nach t integrieren ... Das ist dann die Methode der getrennten Variablen und du bekommst einen Ausdruck für t(x), den du möglicherweise nach x(t) umstellen kannst. Ich erahne aus dem Nenner schon den Arcussinus oder ähnliches als Stammfunktion ... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 20:50 Titel: |
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Interessant, der Ansatz ist mir neu beim Oszillator; kannte es bisher nur komplex.  |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 21:57 Titel: |
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Ich habe das nun versucht. Habe Integration durch Substitution versucht mit 
Dabei blieb allerdings dann kein s mehr zum integrieren übrig, dafür ein x
Mathematica liefert allerdings diesen nicht sonderlich schönen Ausdruck:
Integrate[1/Sqrt[(2 C)/m - (k x^2)/m], x] (E durch C ersetzt, da E die eulersche Zahl ist). Kann mir jmd sagen, was noch fehlt?
Ich weiß ja nicht ob das in der theor. Physik auch so ist, aber in Mathe kammen da immer schönere Sachen heraus |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 22:04 Titel: |
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In deinem Ausdruck kann man doch noch einiges kürzen. Die beiden Wurzeln sollten sich bis auf Konstanten aufheben.
Es ist aber wahrscheinlich leichter, dieses Integral zu benutzen:
}{a} )
Das spuckt Mathematica online auch aus:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1%2Fsqrt%281-a^2*x^2%29&random=false |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 22:28 Titel: |
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Ich habe jetzt mal die beiden konstanten Terme in der Wurzel substituiert und dann kommt mein Mathematica auch auf einen erheblich einfacheren Term. Ich hoffe das stimmt nun.
Ob ich das nach x oder nach t auflösen muss weiß ich nicht, es gibt ja keine richtige Zielvorgabe...
Eine Frage noch. Was genau macht der konstante Term E?
Allen schonmal vielen Dank fürs Helfen!!! |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 22:40 Titel: |
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E ist die Energie, der gibt an, wie "stark" bzw. mit welcher Amplitude der Oszillator oszilliert. Die Integralgleichung lösen bzw. integrieren heißt immer, die Funktion x(t) zu bestimmten. Ich würde dir sehr empfehlen, das  -Integral zu benutzen, da du ja wahrscheinlich eine Sinus-artige Funktion bzw. Schwingung erwartest.  |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 21. Mai 2011 22:51 Titel: |
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Bei dem sin oben versteh ich aber nicht was das a ist bzw woher das kommt... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Mai 2011 22:53 Titel: |
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E ließe sich notfalls durch  ersetzen. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 21. Mai 2011 23:18 Titel: |
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Man klammert einen Term im Nenner aus der Wurzel aus, dann bekommt man das:
Also 
Gute Nacht!
PS: Achso, das Integral
=\sin^{-1}(x) ) ist ein Standardintegral, falls dies auch ein Teil der Frage war.
Ist die Herleitung von Interesse?
Aus diesem Integral erhält man das obige leicht, indem man x durch ax substituiert. |
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