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Laplace \phi(r)=-4 pi delta(x)
 
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Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 19. Nov 2012 22:02    Titel: Laplace \phi(r)=-4 pi delta(x) Antworten mit Zitat

Moin,

ich kann mir die 4 pi bei einer Umformung nicht verstehen... vielleicht könnt ihr mir ja da weiter helfen:

Siehe Anhang:



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pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 22. Nov 2012 09:27    Titel: Antworten mit Zitat

Du bist offensichtlich über eine mögliche Darstellung der Delta-Distribution gestolpert:



Wenn du nachvollziehen willst, warum das "=" gilt, dann müsstest du dir alle Eigenschaften, welche man an die Delta-Distribution stellt, aufschreiben und einzeln nachprüfen.

Wenn du dich nur an dem störst, dann setzt z.B. und integriere beide Seiten über das Volumen einer im Ursprung zentrierten Kugel mit Radius R > 0, wobei für die rechte Seite der Satz von Gauß die Rechnung beschleunigt.
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 22. Nov 2012 15:19    Titel: Antworten mit Zitat

also wenn ich laplace zwei mal auf das potential wirken lasse erhalte doch nach der poissongleichung



ist mein rho jetzt nicht quasi die delta verteilung? Weil sich die ladung nur an einem Punkt konzentriert. Und die 4 pi müssen noch dazu kommen, weil sich sonst nicht die 4 pi unterm bruchstrich die vor der eckigen klammer sind wegkürzen würden und damit die poissongleichung verletzt wäre... Kann man sich das so denken?

Gruß Nickel
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 23. Nov 2012 00:38    Titel: Antworten mit Zitat


Diese Gleichung ist eine rein mathematische Gegebenheit, die man (leicht) beweisen kann. Das hat nichts damit zu tun, dass man es in der Physik verwendet (am physikalischen Beispiel kann man es sich hoechstens veranschaulichen).

Zum Beweis wieso das so ist:
1.) Zeigen dass die linke Seite Null ist fur r!=0.
2.) Zeigen das Integration ueber ein Gebiet dass den Ursprung enthält nicht Null ergibt. Am zweckmaessigsten nimmt man dafuer -wie schon gesagt- eine Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung.
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 23. Nov 2012 01:34    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

ok wenn ich das jetzt versuche dann komme ich mit



Wie kann ich das auf 0 für alle r!=0 bekommen?

Gruß Nickel
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15880

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Nov 2012 01:52    Titel: Antworten mit Zitat

Was rechnest du da? Du musst schon Zähler und Nenner differenzieren
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 23. Nov 2012 15:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ok das hab ich mir ein bisschen einfach gemacht gestern^^ Ich hab mal meinen Prof. genervt und er hat mir das allgemein (Anhang: blau umkreist) aufgeschrieben. Eines verstehe ich aber nicht. Warum schreibt er für



warum soll

von r-Betrag abhängen?

Gruß Nickel



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kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 23. Nov 2012 17:50    Titel: Antworten mit Zitat

Ich vermute er will nur sagen, dass in diesem Problem die Richtung unwichtig ist und nur der Abstand relevant.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Nov 2012 08:08    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn es Dich gluecklicher macht

Er rechnet einfach den allgemeinen Fall vor...
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 24. Nov 2012 21:37    Titel: Antworten mit Zitat

danke jetzt bin ich glücklich

und wenn jetzt



dann kommt da unendlich raus. Und das ist jetzt die definition von der Delta Funktion?

Gruß Nickel
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Nov 2012 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

Nighel123 hat Folgendes geschrieben:

und wenn jetzt



dann kommt da unendlich raus. Und das ist jetzt die definition von der Delta Funktion?

Nicht ganz. Die Delta "Funktion" ist eigentlich eine Distribution und keine regulaere Funktion. Die definierenden Eigenschaften sind

wobei ein Gebiet in R^n ist und f eine Testfunktion. Dies klingt sehr formal ist aber einfacher als Du denkst, stell es Dir einfach als normales Integral ueber Funktionen vor.

Die erste Eigenschaft ist bei Dir erfuellt, da du gezeigt hast, dass fuer r ungleich 0, der Ausdruck Null ist. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass die zweite Eigenschaft erfuellt ist. Der formale mathematische Beweis ist nicht sehr schwer, erfordert aber ein wenig Nachdenken und nicht nur Rechnen. Um ein Gefuehl dafuer zu kriegen kannst Du einfach mal f(x) =1 fuer alle x setzen und gucken, dass wirklich 1 rauskommt, wenn man das Integral ausfuehrt.
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 25. Nov 2012 00:35    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

hab noch mal ein bisschen rumprobiert und mal die linke seite über eine Kugel integriert.(siehe Anhang)

bie mir kommt allerdings dann nicht das selbe wie wenn ich die delta Funktion integriere raus...:S irgendwas verstehe ich da noch nicht ganz.

Gruß Nickel



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Nov 2012 01:05    Titel: Antworten mit Zitat

(Abgesehen davon dass man das r^2 nicht so wegkuerzen kann wie Du es getan hast:)

Der Trick ist, nicht 0 Einzusetzen fuer alle Werte r!=0, sondern den Gaussen Satz anzuwenden (wir machen uns jetzt mal keine Gedanken über die genauen mathematischen Vorrauseztungen des Gauss'schen Satze, sondern wenden ihn einfach an).

fuer ein Vektorfeld F.
Hier sieht man dann auch den Grund warum man eine Kugel waehlen sollte: Dann ist dS ~ e_r.

PS: Eigentlich ist dies ein wenig geschummelt, denn es ist nicht klar, dass man den Gauss'schen Satz so ohne weiteres anwenden darf, da unser Vektorfeld divergiert fuer r -> 0. Einen sauberen mathematischen Beweis findest Du hier unter "Proof of Green function of ∇2":
http://en.citizendium.org/wiki/Green%27s_function#Proof_of_Green_function_of_.E2.88.87sup.3E2.3C.2Fsup.3E
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 26. Nov 2012 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

ich verstehe aber nicht ganz was ich jetzt mit dem Wegintegral machen soll. Das ist doch immer 0 weil r senkrecht zu ds steht. Und wenn r=0 dann ist das auch 0...

Bild(siehe Anhang)



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kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 26. Nov 2012 18:47    Titel: Antworten mit Zitat

außer im nullpunkt ja
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 26. Nov 2012 20:43    Titel: Antworten mit Zitat

warum im Nullpunkt nicht wenn ich einen 0 Vector auf einen anderen Projeziere und die Porjektion mit der länge des andern Vekors multipliziere bekomme ich doch auch 0 oder nicht?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 26. Nov 2012 20:55    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist übrigens kein Wegintegral sondern ein Oberflächenintegral und der Vektor steht eben auch normal zur Oberfläche der Kugel, also verschwindet das Integral nicht.
kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 26. Nov 2012 21:05    Titel: Antworten mit Zitat

Nighel123 hat Folgendes geschrieben:
warum im Nullpunkt nicht wenn ich einen 0 Vector auf einen anderen Projeziere und die Porjektion mit der länge des andern Vekors multipliziere bekomme ich doch auch 0 oder nicht?


Im Nullpunkt ist das ganze nicht differenzierbar. Daher ist es nicht überall Null.(so wie es die Definition der Deltafunktion verlangt)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15880

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Nov 2012 21:24    Titel: Antworten mit Zitat

Betrachte mal den Ausdruck



mit der Heavisideschen Sprungfunktion.

Das Integral kann man zunächst einfach durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lösen:



Andererseits kann man die Sprungfunktion auch differenzieren und erhält die eindimensionale Deltafunktion



Und damit ist



Das ist der einfachstmögliche Fall, der mir zu dem Thema einfällt. Auch hier ist die Stufenfunktion bei x=0 nicht differenzierbar, aber im verallgemeinerten Sinn darf man das als Distribution auffassen und erhält ein vernünftiges Ergebnis.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Nighel123



Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126

Beitrag Nighel123 Verfasst am: 26. Nov 2012 21:36    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Erklärung zur Delta Funktion!

Rock

uuups ich doofi

Ok aber jetzt kommt bei mir bei r!=0 was raus und bei r=0 so solls ja eigentlich gerade nicht sein...... -.-

könnte es am Kürzen liegen?

(Anhang)



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pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 27. Nov 2012 07:17    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast den Sinus weggezaubert und die Integrationsgrenzen sind natürlich fest... also was soll C?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Nov 2012 00:21    Titel: Antworten mit Zitat

Dein Volumen V ist eine Kugel vom Radius R, d.h. sobald Du das Volumen Integral in ein Oberflaechenintegral umschreibst, dann solltest du auch r durch R ersetzen. Und R ist natuerlich nie 0, sonst waere da ja keine Kugel, ueber die Du integriert. D.h. die letzte Zeile bei Dir macht natuerlich keinen Sinn, der Rest ist aber sonst in Ordnung und liefert ja auch das gewuenschte Ergebnis.
Br0t



Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 28

Beitrag Br0t Verfasst am: 20. Dez 2013 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

@jh8979:

Ich hätte eine Frage; du meinst man darf den Gaußschen Satz nicht ohne Weiteres anwenden, weil das Potential im Ursprung divergiert ebenso wie sein Gradient. Nach dem Wikipedia-Artikel (http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz) zum Gaußschen Satz fordert man stetige Differenzierbarkeit für das Vektorfeld, also hier . Im Ursprung ist das hier ja eben nicht gegeben, worauf du richtigerweise hinweist.

Jetzt hast du diesen Beweis gepostet, der die Greensfunktion aus dem Greens-Theorem herleitet. Aber um das zu zeigen muss man doch eben den Gaußschen Satz bemühen, oder kennst du einen Beweis, der ohne den Gaußschen Satz auskommt? Ansonsten sehe ich keinen Vorteil dieses Beweises gegenüber dem, der sofort den Gaußschen Satz anwendet ohne sich um die Voraussetzungen zu kümmern.

Kann jemand das Problem auflösen? Warum dürfen wir den Gaußschen Satz anwenden?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Dez 2013 21:21    Titel: Antworten mit Zitat

Der "Trick" in dem geposteten Beweis ist weniger dass das Greens-Theorem angewendet wird, sondern dass der Ursprung mit einer kleinen epsilon-Kugel ausgeschnittenen wird und dann der Limes epsilon -> 0 betrachtet wird. Da man also ein Gebiet ohne eine Epsilon-Umgebung des Ursprungs betrachtet kann man die bekannten Sätze (Green, Gauss, .. ) ohne Probleme anwenden.

Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 20. Dez 2013 22:29, insgesamt einmal bearbeitet
Br0t



Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 28

Beitrag Br0t Verfasst am: 20. Dez 2013 22:07    Titel: Antworten mit Zitat

Oh ja, ich habe den wichtigsten Punkt des Beweises beim ersten Hinschauen übersehen. Danke, das ist ein netter Trick. Die Seite ist insgesamt hilfreich.

Frohe Feiertage!
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8373

Beitrag jh8979 Verfasst am: 20. Dez 2013 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

Br0t hat Folgendes geschrieben:
Frohe Feiertage!

Ebenso smile
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