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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 17:41 Titel: Was ist Beispiel einer n-mal ableitbaren Funktion? |
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Zitat: | Das ist richtig - aber das ist auch der Unterschied zwischen Ganz-Rationalen Funktionen (die nur sovielmal ableitbar sind, wie ihre Ordnung angibt) und den trigonometrischen Funktionen (die ungegrenzt ableitbar sind). |
Diese Aussage ist so nicht ganz korrekt
Ein Polynom der Form ist unendlich oft differenzierbar.
Ab dem n-ten mal gilt halt nur jeweils .
Gruß, mercany
// dachdecker2: Dieses Thema geht aus http://www.physikerboard.de/ptopic,41845.html#41845 hervor _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 17:43 Titel: |
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Okay, ich hab mich bescheiden ausgedrückt aber einen richtigen Sinn bringt doch die Ableitung nicht, wenn man schon bei 0 angekommen ist , oder? _________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 17:46 Titel: |
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dachdecker2 hat Folgendes geschrieben: | Okay, ich hab mich bescheiden ausgedrückt aber einen richtigen Sinn bringt doch die Ableitung nicht, wenn man schon bei 0 angekommen ist , oder? |
Als ob das mathematische bei euch Physikern immer alles so viel Sinn machen müsste. *duck*
Aber ich entschuldige mich schon.... das ist hier ja ein Physikerboard, da haben wir vom Matheboard nichts zu suchen.
Grüße, mercany _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 17:54 Titel: |
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Nicht so schnell - ihr seid willkommen hier . Was sollen wir denn machen, wenn es erstmal richtig hardcoremäßig in die Mathematik reingeht?
Bitte nicht weggehen.
Du hast mich neugierig gemacht, mach mal bitte ein Beispiel, dass nur n mal ableitbar ist. _________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 18:38 Titel: |
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Jaja.... und das soll ich dir (euch) jetzt glauben? Ihr seid doch alles ^^
Zitat: | Du hast mich neugierig gemacht, mach mal bitte ein Beispiel, dass nur n mal ableitbar ist. |
Wenn du von n-mal ableitbar sprichst, dann landen wir doch immer automatisch bei einer Potenzfunktion - bei anderen Funktionstypen gilt das nicht. Und wie bereits gesagt, ist eine Potenzfunktion beliebig oft differenzierbar, falls in einer Umgebung deren Ableitung existiert. Das gilt nicht nur über sondern auch für komplexe Funktionen.
Einfachstes Beispiel für Funktionen, die nicht beliebig of differenzierbar sind ist .
Diese Betragsfunktion ist nicht über ganz differenzierbar. Jedoch richtungsdifferenzierbar, d.h. man kann eine rechtsseitige und eine linksseitige Steigung angeben.
Bildet man nämlich erhält man für und für . Differenziert man dieses Ergebniss, landet man wieder bei der Betragsfunktion - man ist also wieder am Anfang.
Gesonder zu betrachten ist dann nochmal der Fall von stetig-differenzierbar. Zum Beispiel:
ist überall differenzierbar, die Ableitung
jedoch nicht im Nullpunkt. Man kann also nicht weiter differenzieren!
Gruß, mercany _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 19:11 Titel: |
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Okey, mein Beispiel war wohl nicht so ganz treffend.
Noch ein neuer Versuch:
Eine Funktion die nirgendwo differenzierbar ist, ist z.B. eine Funktion die in keinem Punkt stetig ist.
Ein bekanntes Beispiel ist die Dirichlet-Funktion (jedoch wieder nur eine Abschnittsfunktion. Dieser Funktionstyp ist charakteristisch für ):
.
Oder aber:
Gruß, mercany _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 19:37 Titel: |
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hmm das gefällt mir alles nicht mit n-mal ableitbar meinte ich (auch wenn ich es nicht so explizit sagte) Funktionen die mehr als 0 mal, jedoch nicht unbegrenzt, ableitbar sind.
n-mal ableitbar mit 0 < n < ist also gesucht _________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 20:00 Titel: |
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Ich weiß noch immer nicht recht, was du dir da vorstellst. Aber soetwas scheint es nicht zu geben.... oder ich durchblick das nicht ganz richtig. _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 20:12 Titel: |
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Lies dir doch mal den ganzen Thread nochmal durch - und den Letzten Post im anderen Thread.
du wirst feststellen, dass du mit meiner bezeichnung von Ganzrationalen Funnktionen als "n-mal ableitbar" nicht einverstanden warst. Ich will doch nur wissen, wo der Sinn von "n-mal Ableitbar" liegt, wenn alle Funktionen, die überhaupt ableitbar sind, dieses unbegrenzt sind.
Meinen Vorschlag (der steht hier nicht drin wg. ICQ) eine Funktion zu suchen, die beim Ableiten Nullstellen in den Nenner bekommt, hast du selbst ausgeschlossen - mit Recht. Die wären ja deswegen trotzdem noch ableitbar zwischen den entstandenen Definitionslücken (<- das ist wahrscheinlich schon der Beweis, dass eine Funktion wie in diesem Absatz beschrieben, nicht existiert - durch das Ableiten sollte sich der Definitionsbereichnicht ändern, oder sehe ich das falsch?)
Deine Vorschläge mit Abschnittsweise definierten Funktionen können folglich auch keine lösung sein, weil die in jedem Abschnitt auch beliebig oft ableitbar sind. Ein Ergebnis der des Wienerprozess würde ich hier mit einordnen.
Eine nicht ableitbare Funktion kann meiner Meinung nach nicht die Antwort auf die Frage, welche Funktion n-mal ableitbar ist, beantworten - schließlich ist sie ja nicht ableitbar. _________________ Gruß, dachdecker2
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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dermarkus Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788
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dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 20:56 Titel: |
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dachdecker2 hat Folgendes geschrieben: | hmm das gefällt mir alles nicht mit n-mal ableitbar meinte ich (auch wenn ich es nicht so explizit sagte) Funktionen die mehr als 0 mal, jedoch nicht unbegrenzt, ableitbar sind.
n-mal ableitbar mit 0 < n < ist also gesucht |
Wie wäre es mit
,
das ist einmal ableitbar, nämlich
aber nicht ein zweites mal ableitbar, da bei der zweiten Ableitung die Stelle x=0 protestiert |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 22:43 Titel: |
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kommt da gar nicht raus, wenn ich nicht irre:
schade, wenn ich eher genau überlegt hätte, wär nicht das rausgekommen (was aber auch beliebig oft ableitbar wäre):
_________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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dermarkus Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788
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dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 22:56 Titel: |
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Ich meine mit dem Beispiel die Stelle x=0.
Vielleicht sollte ich genauer so formulieren:
Die Funktion ist an der Stelle x=0 einmal, aber nicht zweimal ableitbar.
Ich kann mir gut vorstellen, dass viele, vielleicht auch viele Mathematiker, eine Funktion verkürzt als "nicht ableitbar" bezeichnen, wenn sie "nicht überall ableitbar" meinen.
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 05. Nov 2006 23:00, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 22:58 Titel: |
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Sorry, dass ich oben so viel und lange rumeditiert habe, ich saß zunächst dem gleichen Fehler auf wie du. _________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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dermarkus Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788
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dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 23:00 Titel: |
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Wenn wir die Funktion vor dem Ableiten umformen wollen, dann würde ich vorschlagen, wir nehmen als Beispiel die an der Stelle x=0 zweimal, aber nicht dreimal ableitbare Funktion |
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dachdecker2 Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 1174 Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 23:15 Titel: |
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Anscheinend macht also die Formulierung "n-mal ableitbar" nur sinn, wenn man eine konkrete Stelle betrachtet.
@Mercany, was sagt das Matheboard dazu? _________________ Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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dermarkus Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788
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dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 23:27 Titel: |
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Stimmt
Oder vielleicht auch dann, wenn man eine Funktion im strengen ("mathematischen?") Sinn nur dann als ableitbar bezeichnen mag, wenn sie auch wirklich an allen Stellen ableitbar ist.
Dass dies so üblich sein dürfte, vermute ich z.B. auch aufgrund von
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Beispiel_f.C3.BCr_eine_nicht_.C3.BCberall_stetig_differenzierbare_Funktion
wo "nicht überall stetig differenzierbar" (in der Absatzüberschrift) und "nicht stetig differenzierbar" (in der Abbildungsüberschrift) als gleichbedeutend gemeint werden.
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//edit: Die Definition dazu habe ich nun in Wikipedia unter Differenzierbarkeit gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit
"Sie [die Funktion f] heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist." |
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mercany
Anmeldungsdatum: 30.07.2005 Beiträge: 41 Wohnort: Bielefeld
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mercany Verfasst am: 06. Nov 2006 13:31 Titel: |
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Nach längerer Recherche würde ich dermarkus und Wikipedia mal zustimmen. Der Begriff "(nicht-) stetig-Differenzierbar" ist also wohl aus mathematischem Standpunkt global zu betrachten.
Grüße, mercany _________________ "Dummheiten sind nie überflüssig" |
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