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Was ist Beispiel einer n-mal ableitbaren Funktion?
 
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mercany



Anmeldungsdatum: 30.07.2005
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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 17:41    Titel: Was ist Beispiel einer n-mal ableitbaren Funktion? Antworten mit Zitat

Zitat:
Das ist richtig - aber das ist auch der Unterschied zwischen Ganz-Rationalen Funktionen (die nur sovielmal ableitbar sind, wie ihre Ordnung angibt) und den trigonometrischen Funktionen (die ungegrenzt ableitbar sind).


Diese Aussage ist so nicht ganz korrekt
Ein Polynom der Form ist unendlich oft differenzierbar.
Ab dem n-ten mal gilt halt nur jeweils .



Gruß, mercany

// dachdecker2: Dieses Thema geht aus http://www.physikerboard.de/ptopic,41845.html#41845 hervor

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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 17:43    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, ich hab mich bescheiden ausgedrückt Augenzwinkern aber einen richtigen Sinn bringt doch die Ableitung nicht, wenn man schon bei 0 angekommen ist Augenzwinkern, oder?
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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 17:46    Titel: Antworten mit Zitat

dachdecker2 hat Folgendes geschrieben:
Okay, ich hab mich bescheiden ausgedrückt Augenzwinkern aber einen richtigen Sinn bringt doch die Ableitung nicht, wenn man schon bei 0 angekommen ist Augenzwinkern, oder?

Als ob das mathematische bei euch Physikern immer alles so viel Sinn machen müsste. Big Laugh *duck*

Aber ich entschuldige mich schon.... das ist hier ja ein Physikerboard, da haben wir vom Matheboard nichts zu suchen. smile


Grüße, mercany

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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 17:54    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht so schnell - ihr seid willkommen hier smile. Was sollen wir denn machen, wenn es erstmal richtig hardcoremäßig in die Mathematik reingeht?

Bitte nicht weggehen.

Du hast mich neugierig gemacht, mach mal bitte ein Beispiel, dass nur n mal ableitbar ist.

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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

Jaja.... und das soll ich dir (euch) jetzt glauben? Augenzwinkern Ihr seid doch alles Teufel ^^

Zitat:
Du hast mich neugierig gemacht, mach mal bitte ein Beispiel, dass nur n mal ableitbar ist.

Wenn du von n-mal ableitbar sprichst, dann landen wir doch immer automatisch bei einer Potenzfunktion - bei anderen Funktionstypen gilt das nicht. Und wie bereits gesagt, ist eine Potenzfunktion beliebig oft differenzierbar, falls in einer Umgebung deren Ableitung existiert. Das gilt nicht nur über sondern auch für komplexe Funktionen.


Einfachstes Beispiel für Funktionen, die nicht beliebig of differenzierbar sind ist .

Diese Betragsfunktion ist nicht über ganz differenzierbar. Jedoch richtungsdifferenzierbar, d.h. man kann eine rechtsseitige und eine linksseitige Steigung angeben.

Bildet man nämlich erhält man für und für . Differenziert man dieses Ergebniss, landet man wieder bei der Betragsfunktion - man ist also wieder am Anfang.

Gesonder zu betrachten ist dann nochmal der Fall von stetig-differenzierbar. Zum Beispiel:


ist überall differenzierbar, die Ableitung



jedoch nicht im Nullpunkt. Man kann also nicht weiter differenzieren!



Gruß, mercany

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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 19:11    Titel: Antworten mit Zitat

Okey, mein Beispiel war wohl nicht so ganz treffend.

Noch ein neuer Versuch:

Eine Funktion die nirgendwo differenzierbar ist, ist z.B. eine Funktion die in keinem Punkt stetig ist.

Ein bekanntes Beispiel ist die Dirichlet-Funktion (jedoch wieder nur eine Abschnittsfunktion. Dieser Funktionstyp ist charakteristisch für ):



.


Oder aber:





Gruß, mercany

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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 19:37    Titel: Antworten mit Zitat

hmm das gefällt mir alles nicht Augenzwinkern mit n-mal ableitbar meinte ich (auch wenn ich es nicht so explizit sagte) Funktionen die mehr als 0 mal, jedoch nicht unbegrenzt, ableitbar sind.

n-mal ableitbar mit 0 < n < ist also gesucht Augenzwinkern

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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß noch immer nicht recht, was du dir da vorstellst. Aber soetwas scheint es nicht zu geben.... oder ich durchblick das nicht ganz richtig. Augenzwinkern
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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 04. Nov 2006 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

Lies dir doch mal den ganzen Thread nochmal durch - und den Letzten Post im anderen Thread.

du wirst feststellen, dass du mit meiner bezeichnung von Ganzrationalen Funnktionen als "n-mal ableitbar" nicht einverstanden warst. Ich will doch nur wissen, wo der Sinn von "n-mal Ableitbar" liegt, wenn alle Funktionen, die überhaupt ableitbar sind, dieses unbegrenzt sind.

Meinen Vorschlag (der steht hier nicht drin wg. ICQ) eine Funktion zu suchen, die beim Ableiten Nullstellen in den Nenner bekommt, hast du selbst ausgeschlossen - mit Recht. Die wären ja deswegen trotzdem noch ableitbar zwischen den entstandenen Definitionslücken (<- das ist wahrscheinlich schon der Beweis, dass eine Funktion wie in diesem Absatz beschrieben, nicht existiert - durch das Ableiten sollte sich der Definitionsbereichnicht ändern, oder sehe ich das falsch?)

Deine Vorschläge mit Abschnittsweise definierten Funktionen können folglich auch keine lösung sein, weil die in jedem Abschnitt auch beliebig oft ableitbar sind. Ein Ergebnis der des Wienerprozess würde ich hier mit einordnen.

Eine nicht ableitbare Funktion kann meiner Meinung nach nicht die Antwort auf die Frage, welche Funktion n-mal ableitbar ist, beantworten - schließlich ist sie ja nicht ableitbar.

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Beitrag mercany Verfasst am: 04. Nov 2006 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Mal ein Link aus dem Matheboard: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=300389#post300389
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

dachdecker2 hat Folgendes geschrieben:
hmm das gefällt mir alles nicht Augenzwinkern mit n-mal ableitbar meinte ich (auch wenn ich es nicht so explizit sagte) Funktionen die mehr als 0 mal, jedoch nicht unbegrenzt, ableitbar sind.

n-mal ableitbar mit 0 < n < ist also gesucht Augenzwinkern


Wie wäre es mit

,

das ist einmal ableitbar, nämlich



aber nicht ein zweites mal ableitbar, da bei der zweiten Ableitung die Stelle x=0 protestiert smile
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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 22:43    Titel: Antworten mit Zitat

kommt da gar nicht raus, wenn ich nicht irre:




schade, wenn ich eher genau überlegt hätte, wär nicht das rausgekommen (was aber auch beliebig oft ableitbar wäre):

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Beitrag dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 22:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine mit dem Beispiel die Stelle x=0.

Vielleicht sollte ich genauer so formulieren:

Die Funktion ist an der Stelle x=0 einmal, aber nicht zweimal ableitbar.

Ich kann mir gut vorstellen, dass viele, vielleicht auch viele Mathematiker, eine Funktion verkürzt als "nicht ableitbar" bezeichnen, wenn sie "nicht überall ableitbar" meinen.


Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 05. Nov 2006 23:00, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 22:58    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, dass ich oben so viel und lange rumeditiert habe, ich saß zunächst dem gleichen Fehler auf wie du.
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 23:00    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn wir die Funktion vor dem Ableiten umformen wollen, dann würde ich vorschlagen, wir nehmen als Beispiel die an der Stelle x=0 zweimal, aber nicht dreimal ableitbare Funktion
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Beitrag dachdecker2 Verfasst am: 05. Nov 2006 23:15    Titel: Antworten mit Zitat

Anscheinend macht also die Formulierung "n-mal ableitbar" nur sinn, wenn man eine konkrete Stelle betrachtet. smile

@Mercany, was sagt das Matheboard dazu?

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Beitrag dermarkus Verfasst am: 05. Nov 2006 23:27    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt smile

Oder vielleicht auch dann, wenn man eine Funktion im strengen ("mathematischen?") Sinn nur dann als ableitbar bezeichnen mag, wenn sie auch wirklich an allen Stellen ableitbar ist.

Dass dies so üblich sein dürfte, vermute ich z.B. auch aufgrund von

http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Beispiel_f.C3.BCr_eine_nicht_.C3.BCberall_stetig_differenzierbare_Funktion

wo "nicht überall stetig differenzierbar" (in der Absatzüberschrift) und "nicht stetig differenzierbar" (in der Abbildungsüberschrift) als gleichbedeutend gemeint werden.

--------------

//edit: Die Definition dazu habe ich nun in Wikipedia unter Differenzierbarkeit gefunden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit

"Sie [die Funktion f] heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist."
mercany



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Beitrag mercany Verfasst am: 06. Nov 2006 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Nach längerer Recherche würde ich dermarkus und Wikipedia mal zustimmen. Der Begriff "(nicht-) stetig-Differenzierbar" ist also wohl aus mathematischem Standpunkt global zu betrachten.


Grüße, mercany

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