| Autor |
Nachricht |
Quantumdot
Gast
|
 Quantumdot Verfasst am: 18. Nov 2023 16:16 Titel: Drehimpuls |
 |
|
Hallo,
ich habe mich gerade gefragt ob der Drehimpuls aus der Physik mathematisch sauber definiert ist.
Man bildet schließlich das Kreuzprodukt zwischen einem Ortsvektor und einem Impulsvektor.
Diese Vektoren leben aber in unterschiedlichen Vektorräumen.
Da die Vektorräume aber dieselbe Dimension haben, existiert ein Isomorphismus zwischen ihnen. Müsste man dann nicht streng genommen erst bspw über einen Isomorphismus den Impulsvektor auf einen Vektor in dem Ortsvektorraum abbilden und dann das Kreuzprodukt bilden? |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
|
| TomS Verfasst am: 18. Nov 2023 17:00 Titel: Re: Drehimpuls |
|
|
| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | Man bildet schließlich das Kreuzprodukt zwischen einem Ortsvektor und einem Impulsvektor.
Diese Vektoren leben aber in unterschiedlichen Vektorräumen.
|
Sie wirken auf dem selben Hilbertraum; das ist entscheidend.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Quantumdot
Gast
|
| Quantumdot Verfasst am: 18. Nov 2023 17:13 Titel: Re: Drehimpuls |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Sie wirken auf dem selben Hilbertraum; das ist entscheidend. |
Wie meinst du das?
Ich beziehe mich auf klassische Mechanik und betrachte hier noch Ort und Impuls nicht als Operatoren, die auf etwas wirken. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
|
| TomS Verfasst am: 18. Nov 2023 17:34 Titel: |
|
|
Sorry, falsches Unterforum, mein Fehler.
Aber dann haben wir doch überhaupt kein Problem. Warum soll man denn den Drehimpuls nicht so definieren können?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Quantumdot
Gast
|
| Quantumdot Verfasst am: 18. Nov 2023 20:26 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Sorry, falsches Unterforum, mein Fehler.
Aber dann haben wir doch überhaupt kein Problem. Warum soll man denn den Drehimpuls nicht so definieren können? |
Dann muss ich vielleicht weiter ausholen.
Das Vektorprodukt ist auf dreidimensionalen Vektorräumen definiert (für andersdimensionale Räume bräuchte man dann das äußere Produkt).
Sei V ein dreidimensionaler Vektorraum, dann ist es als Abbildung definiert
Nun lebt aber der Ortsvektor im Ortsraum und der Impulsvektor im Impulsraum. Erstmal sind es zwei verschiedene dreidimensionale Vektorräume V und W. Außerdem ist das Resultat (also der Drehimpuls) ein Bivektor, der in seinem eigenen Vektorraum U lebt .
Nun sind aber all diese Vektorräume isomorph zueinander. Das ist aber nicht notwendigerweise in jeder Dimension so. Bivektoren spannen einen Vektorraum auf, der im Kontext eines anderen Vektorraums definiert ist (so ähnlich wie bei Tensoren). In vier Dimensionen (mit dem äußeren Produkt) geht der Isomorphismus schonmal nicht mehr überall auf. Denn die Vektorräume von Ort und Impuls sind zwar jeweils vierdimensional und damit immer noch isomorph, aber das Result lebt, wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, in einem 6-dimensionalen Raum. Und hier müsste man dann eine genauere Unterscheidung machen. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
|
| TomS Verfasst am: 18. Nov 2023 22:46 Titel: |
|
|
In der Hamiltonschen Mechanik leben Ort und Impuls im 2N-dimensionalen Phasenraum; die beiden N-dim. Unterräume sind zueinander isomorph. Da es zwei verschiedene Unterräume sind, sind sie nicht identisch.
Dann definieren wir eben allgemeiner
Meine Frage war: Warum soll man den Drehimpuls denn nicht so definieren können? Was genau wäre daran problematisch? Aufgrund der Isomorphie sollte alles wie üblich funktionieren.
Du hast natürlich recht, für
hat der Ziel-Raum nicht die selbe Dimension, d.h.
Das stört aber nicht.
Statt mit der externen Algebra würde ich in der Physik mit Symmetrien argumentieren, warum man denn diesen Drehimpuls betrachtet (wobei natürlich ein Zusammenhang besteht). Die Rotationsgruppe in N Dimensionen entspricht der SO(N) mit Generatoren T, d.h. der Algebra so(N)
})
Es gilt zunächst allgemein
)
 = \text{dim} \, V_L = \frac{1}{2}N(N-1))
Das entspricht für die äußere Algebra über V
 = \begin{pmatrix} N \\ k \end{pmatrix})
dem Spezialfall k=2.
Man kann außerdem zeigen, dass speziell die Komponenten des Bahndrehimpulses mittels geeigneter Matrizen t konstruiert werden
_{ik} p_k)
wobei sowohl (i) die Matrizen als auch (ii) die Komponenten des Bahndrehimpulses ebenfalls eine Darstellung der so(N) liefern, d.h. die o.g. Relation (Lie) erfüllen
(i) ist einfach Algebra, für (ii) benötigt man in der klassischen Mechanik die Poisson-Klammern, in der Quantenmechanik direkt den Kommutator der Ort- und Impuls-Operatoren.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Quantumdot
Gast
|
| Quantumdot Verfasst am: 19. Nov 2023 09:20 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | In der Hamiltonschen Mechanik leben Ort und Impuls im 2N-dimensionalen Phasenraum; die beiden N-dim. Unterräume sind zueinander isomorph. Da es zwei verschiedene Unterräume sind, sind sie nicht identisch.
Dann definieren wir eben allgemeiner
Meine Frage war: Warum soll man den Drehimpuls denn nicht so definieren können? Was genau wäre daran problematisch? Aufgrund der Isomorphie sollte alles wie üblich funktionieren.
|
Weil es sich dann nicht mehr um eine Algebra handelt.
Wobei ich es eigentlich bereits fraglich finde den Ort als Vektor zu betrachten. Schließlich ist der Ort einfach ein Punkt auf einer Mannigfaltigkeit und der Phasenraum ein Kotangentialbündel auf dieser Mannigfaltigkeit. Sicherlich hat man dann unter Verwendung geeigneter Karten Teilmengen des 2N-dimensionalen reellen Raums, aber das ändert nichts daran, dass der Ort kein Vektor ist.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Statt mit der externen Algebra würde ich in der Physik mit Symmetrien argumentieren, warum man denn diesen Drehimpuls betrachtet (wobei natürlich ein Zusammenhang besteht). Die Rotationsgruppe in N Dimensionen entspricht der SO(N) mit Generatoren T, d.h. der Algebra so(N)
Es gilt zunächst allgemein
Das entspricht für die äußere Algebra über V
dem Spezialfall k=2.
Man kann außerdem zeigen, dass speziell die Komponenten des Bahndrehimpulses mittels geeigneter Matrizen t konstruiert werden
wobei sowohl (i) die Matrizen als auch (ii) die Komponenten des Bahndrehimpulses ebenfalls eine Darstellung der so(N) liefern, d.h. die o.g. Relation (Lie) erfüllen
(i) ist einfach Algebra, für (ii) benötigt man in der klassischen Mechanik die Poisson-Klammern, in der Quantenmechanik direkt den Kommutator der Ort- und Impuls-Operatoren. |
Ja stimmt, für jeden Drehfreiheitsgrad gibt es eine erhaltene Drehimpulskomponente. Dass man aber so unbekümmert das Vektorprodukt (mit Vektoren aus eigentlich verschiedenen Räumen) bildet, ist doch eigentlich nur ein Artefakt aus der Verwendung dreidimensionaler Räume, denn in anderen Dimensionen gehts ja nicht mehr so einfach. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
|
| TomS Verfasst am: 19. Nov 2023 14:28 Titel: |
|
|
Was meinst du mit, "dass es sich nicht um eine Algebra handelt"? Welche konkreten Eigenschaften einer Algebra gehen verloren, und welche Probleme resultieren daraus? Was genau funktioniert nicht bei meiner Definition? Was wäre mit
Den Einwand bzgl. des Phasenraumes kann ich ebenfalls nicht nachvollziehen. Da das Kreuzprodukt immer für einen Punkt auf einer Phasenraumtrajektorie gebildet wird, reicht es aus, eine lokale Karte zu betrachten. Damit werden Ort und Impuls in einem Vektorraum repräsentiert. Das sagst du ja selbst. Also wo genau ist das Problem?
| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | Ja stimmt, für jeden Drehfreiheitsgrad gibt es eine erhaltene Drehimpulskomponente. Dass man aber so unbekümmert das Vektorprodukt (mit Vektoren aus eigentlich verschiedenen Räumen) bildet, ist doch eigentlich nur ein Artefakt aus der Verwendung dreidimensionaler Räume, denn in anderen Dimensionen gehts ja nicht mehr so einfach. |
Was ist ein Drehfreiheitsgrad?
Nein, diese algebraische Struktur mit dem zugehörigen Drehimpuls existiert immer, jedoch sind dessen Komponenten im Allgemeinen nicht (und nicht alle) erhalten; die Konstruktion ist unabhängig von der Frage, ob die Symmetrie tatsächlich in einem konkreten System realisiert ist und demnach eine Erhaltungsgröße existiert.
Dass man das Vektorprodukt nutzt, ist halt praktisch, weil wir in drei Dimensionen leben. Ansonsten betrachten wir halt SO(3,1) in der SRT oder ART, oder auch SO(N), SU(N) … auch wenn dies nicht unbedingt mit einem Ortsraum zusammenhängt. Das läuft einem in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie ständig über den Weg.
Egal.
Hältst du einfach die Darstellung für unpräzise? Was stört dich daran, dass man derartiges so "unbekümmert" tut? Da es offensichtlich funktioniert, wäre es doch umgekehrt sinnvoll, dass du dies mathematisch präzisierst. Andererseits sind m.E. die Isomorphie und die genannten Abbildung ausreichend, ich sehe nach wie vor nicht, wo ein Problem resultieren sollte.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
