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Drehimpuls in Krummlinigen Koordinaten
 
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SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 01. Jun 2013 12:02    Titel: Drehimpuls in Krummlinigen Koordinaten Antworten mit Zitat

Hallo,

ich habe nun schon das Internet durchsucht, leider nichts richtiges gefunden.

Ich brauche den Drehimpuls in Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und in Kugelkoordinaten.

Im Internet stand, wenn etwas zu finden war, dass z.B. der Drehimpuls in Kugelkoordinaten so aussieht:


Das kann aber doch nicht sein, da die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten ja
und und sind.

Könntet ihr mit mir die mal berechnen? Ich brauche das für ein Referat über andere Koordinatensysteme...

Danke und Grüße
SunB
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 01. Jun 2013 12:26    Titel: Antworten mit Zitat

Warum berechnest du sie dir nicht selber

?

Also zunächst schreibst du dir im entsprechend Koordinatensystem auf und berechnest anschließend unter Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel dessen Zeitableitung. Hierbei musst du beachten, dass die totale Zeitableitung der Basisvektoren z.B. von aufgrund der Winkelabhängigkeit im Allgemeinen von Null verschieden sind.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 01. Jun 2013 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

Da liegt ja mein Problem:

z.B. in Kugelkoordinaten:

und


Also:


Und nun? Muss jetzt mit jedem Summand von multipliziert werden?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 01. Jun 2013 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden, du hast nur die Klammer vergessen.



Und nun musst das Kreuzprodukt zwischen und allen drei Einheitsvektoren ausrechnen, dabei kannst du z.B. verwenden, dass ein rechtshändiges Dreibein bilden.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 01. Jun 2013 17:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin Schüler...heißt, dass ich zwar aus Interesse (nicht wegen der Schule) das Kreuzprodukt in kartesischen Koordinaten kenne, jedoch wie soll das mit den Krummlinigen gehen?

Ich weiß, dass unterschiedliche Enheitsvektoren im Kreuzprodukt immer den 3 fehlenden ergeben.
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 01. Jun 2013 17:39    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst jederzeit für einen Zwischenschritt in kartesische Koordinaten übergehen, also z.B.



und das Kreuzprodukt, wie gewohnt berechnen.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 01. Jun 2013 19:22    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, dann gilt doch:

1.

2.

3.

Also:


Für Kugelkoordinaten?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 01. Jun 2013 19:28    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden Thumbs up!
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 12:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, wunderbar.

Bei Polarkoordinaten habe ich ja das Problem, dass das Kreuzprodukt nur für 3-DIm definiert ist. Wie mache ich das da?

Dann noch Zylinderkoordinaten:


und


Ergibt also:


Und nun? Muss ich hier dann die KLammer "ausmultiplizieren"?

Also:

+

+

+

+

+


Insgesamt, ohne mal "m" also:


Drehimpuls in Zylinderkoordinaten also:



Stimmt das?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18425

Beitrag TomS Verfasst am: 02. Jun 2013 14:28    Titel: Antworten mit Zitat

SunB hat Folgendes geschrieben:
Bei Polarkoordinaten habe ich ja das Problem, dass das Kreuzprodukt nur für 3-DIm definiert ist. Wie mache ich das da?

Das ist recht einfach. Du benutzt zunächst 3-dim. Zylinderkoorinaten. Die Bewegung findet jedoch ausschließlich in der xy-Ebene statt, d.h. der Drehimpuls hat lediglich eine z-Komponente und ist damit letztlich nur eine Zahl.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 14:35    Titel: Antworten mit Zitat

Das heißt, ich nehme meinen Drehimpuls aus Zylinderkoordinaten und sage, da nur xy-Ebene bei Polarkoordinaten, ist dann nur in Z-Richtung zu betrachten.

Stimmt mein Drehimpuls aus meinem Post vorher in Zylinderkoordinaten?

Dann wäre mein Drehimpuls in Polarkoordinaten:

Oder?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 02. Jun 2013 16:14    Titel: Antworten mit Zitat

Der Drehimpuls in Zylinderkoordinaten stimmt nicht ganz, auch ein Komponente in Richtung von tritt auf!

Der Drehimpuls in Polarkoordinaten ist in Ordnung, wobei du eigentlich kein Vektor brauchst, zumal dieser Vektor nicht in dem betrachteten Vektorraum (der Ebene) liegt. Der Drehimpuls Ebene ist hier nur eine Zahl.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 16:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke. Dann stimmt das ganze in Polarkoordinaten wenigstens.

Könntest du mir den Drehimpuls in Zylinderkoordinaten mal vorrechnen?
Ich finde meinen Fehler irgendwie nicht.... Hammer

Es gilt doch?:

SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 17:20    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht habe ich ihn gefunden, den Fehler...
Falls das aber hier nun auch nicht richtig ist für den Drehimpuls in Zylinderkoordinaten, dann weiß ich wirklich nicht mehr weiter....

Also:


Sieht komisch aus...
Stimmt's nun? Falls nicht, dann bitte ich um freundliches Vorrechnen...
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 02. Jun 2013 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

Bei deinem letzten Ausdruck fehlt die Masse und ein "Punkt" über im zweiten Term.
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 17:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, dass heißt also so muss es lauten (die Masse habe ich tatsächlich vergessen):



So nun müsste es stimmen?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 02. Jun 2013 18:00    Titel: Antworten mit Zitat

Sieht gut aus Thumbs up!
SunB



Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 19

Beitrag SunB Verfasst am: 02. Jun 2013 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr.

Kennst du eigentlich noch eine Summen-Schreibweise, wie ich die Kreuzprodukte der Einheitsvektoren ausdrücken kann?

Ich komme immer durcheinander, ob nun + oder -. Gibt es da nicht eine Summenschreibweise für?
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 02. Jun 2013 20:11    Titel: Antworten mit Zitat

In kartesischen Koordinaten gilt

,

wobei das Levi-Civita-Symbol ist. Mit Summenkonvention kann man das auch kurz notieren, dabei wird über doppelte Indizes summiert.

Für orthogonale Koordinaten Systeme gilt das ganz analog, wenn du deine drei Einheitsvektoren so ordnest, dass sie ein (rechtshändiges Dreibein) bilden.

Das Vorzeichen kannst du dir übrigens auch relativ schnell mit der Rechten-Hand-Regel klar machen.
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