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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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 yukterez Verfasst am: 27. Mai 2016 18:47 Titel: radiale und transversale Längen in Schwarzschild Koordinaten |
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Wie ich es verstehe ist das Verhältnis von Eigenlänge zu Koordinatenlänge in Schwarzschildkoordinaten für die transversale Komponente um den Faktor
verlängert, und die radiale Komponente um den Faktor
verkürzt? In der Bewegungsgleichung wird ja die Koordinatenlänge wie sie vom Beobachter at infinity gemessen wird durch die Eigenzeit des Partikels vor Ort differenziert so dass man nicht die Geschwindigkeit sondern die Rapidität erhält; wenn ich also die radialen und transversalen Startgeschwindigkeiten um diesen Faktor verändert eingebe erhalte ich mit v0≈c seitwärts einen Orbit um die Photonensphäre bei r0≈1.5rs, und mit v0≈c auswärts einen stationären Partikel um den Ereignishont bei r0≈rs.
Interpretiere ich das richtig, oder habe ich da etwas übersehen? Eigentlich hätte ich ja erwartet dass es aufgrund der Gravitation lediglich eine transversale Längenexpansion gibt (auch Gravitationswellen verändern die Detektorlänge so weit ich weiß nur in transversaler Richtung), aber ohne die radiale Längenkontraktion entkommen mir die Partikel auch dann wenn ich weiß dass sie eigentlich verschluckt werden sollten.
Ich habe Aussagen die in beide Richtungen von einer Expansion sprechen, welche die nur in transversaler Richtung zur Masse eine Expansion prophezeien und welche die es so beschreiben wie ich es mir nach ein paar Probeplots denke dass es stimmen sollte. Der Beschleunigte ist ja schon in der SRT der absolut Kürzere, und da Gravitation radial in Richtung Schwerpunkt beschleunigt und auch sonst mit Beschleunigung äquivalent ist denke ich das könnte so hinkommen. Ganz sicher bin ich mir aber nicht.
Sicherheitshalber eine zweite Meinung einholend,
Yukterez
Edit: gravitative LK in transversaler Richtung entfernt
Zuletzt bearbeitet von yukterez am 30. Mai 2016 05:21, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Günther
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 305
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| Günther Verfasst am: 27. Mai 2016 20:35 Titel: |
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Aus der Schwarzschildmetrik folgt
wobei  der radiale Eigenabstand zwischen 2 Schalen ist. Demnach ist der Koordinatenabstand zwischen 2 Schalen kleiner ("verkürzt) als der Eigenabstand.
Was bezweckst du mit dem Gamma Faktor? In der ART ist die SRT lediglich lokal anwendbar. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 27. Mai 2016 21:39 Titel: |
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| Zitat: | | Demnach ist der Koordinatenabstand zwischen 2 Schalen kleiner ("verkürzt) als der Eigenabstand. |
Das ist schon mal gut. Ich wundere mich nur warum ich den Faktor in transversaler Richtung vom Nenner in den Zähler schieben muss damit ich die richtigen Orbits erhalte, aber nachdem ja die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld für einen Koordinatenbeobachter verlangsamt ist (Shapiro-Effekt) und Längen durch Zeit mal c definiert sind hat man transversal wohl den umgekehrten Effekt wie radial da das Licht jetzt länger braucht um von links nach rechts zu kommen wodurch der Koordinatenbeobachter eine längere Strecke misst als jener vor Ort, wenn ich richtig kombiniere?
| Zitat: | | Was bezweckst du mit dem Gamma Faktor? |
Der macht den Unterschied zwischen Plot 1 (mit Gamma) und Plot 2 (ohne Gamma).
| Zitat: | | In der ART ist die SRT lediglich lokal anwendbar. |
Sie wird auch nur auf infinitesimalen Teilabschnitten angewandt. Diesen Faktor gibt es auch in der ART, siehe Eq. 20 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2016 23:00 Titel: |
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Ich habe mir das nie für die Eigenlänge überlegt, sondern immer für die Eigenzeit. Dabei gilt
^2} = dt\, \sqrt{g_{00} + g_{ii}\,(v^i)^2})
wobei die spezielle Form nach dem Pfeil nur für spezielle, diagonale Metriken gilt.
Dabei erkennt man den Beitrag der Metrik sowie der Geschwindigkeit. Allerdings tritt nie eine Separation in einen rein metrik- und einen rein geschwindigkeitsabhängigen Teil auf; beide sind nicht trennbar - allenfalls in einer gewissen Näherung. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 28. Mai 2016 01:53 Titel: |
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Leider kann ich aus der Notation keine Startbedingungen ableiten, was durchaus an mir liegen wird. Was ich bisher habe ist die Bewegungsgleichung (Schwarzschildkoordinaten differenziert durch Eigenzeit):
und das Differential für die Transformation von Eigenzeit auf Koordinatenzeit
\cdot \dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{(1 - \frac{r_s}{r})\cdot c^2} - \frac{r^2\cdot \dot{\theta}^2}{c^2} = 1)
Wenn man jetzt z.B. sagt man will, klassischer Fall, einem Testpartikel eine transversale Initialgeschwindigkeit von v0=0.999c auf Höhe der Photonensphäre bei r0=3GM/c² verpassen muss man ja irgendwelche Initialbedingungen setzen. Ich würde in dem Fall wählen:
\cdot r(0) = \frac{{v\perp}_0}{ \color{red}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}})
wenn es statt einer transversalen Initialgeschwindigkeit eine radiale sein soll würde ich
 = \frac{{v\parallel}_0\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{red}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}})
nehmen. Was würdet ihr da eingeben? Das gleiche? Was anderes?
Interessiert,
Yukterez
(Edit: v0|| und v0⊥ im Lorentzfaktor durch v0 ersetzt, transversale gravitative LK gestrichen)
Zuletzt bearbeitet von yukterez am 30. Mai 2016 05:23, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 28. Mai 2016 08:22 Titel: |
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Wo kommt der blaue Faktor in deiner ersten Formel her? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 28. Mai 2016 09:41 Titel: |
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Ich würde mit ein gutes Buch (MTW) oder Skript (Carroll) besorgen; da ist zumindest die Herleitung der Geodätengleichung für die Schwarzschildlösung sowie sinnvolle Anfangswerte und Erhaltungsgrößen explizit aufgelistet.
Jedenfalls ist diese Faktorisierung nicht korrekt.
| yukterez hat Folgendes geschrieben: | | Leider kann ich aus der Notation keine Startbedingungen ableiten, was durchaus an mir liegen wird. |
Minimierung der Eigenzeit entlang einer Weltlinie führt letztlich auf die Geodätengleichung; um diese explizit darstellen zu können benötigst du die Christoffelsymbole für die Schwarzschildlösung.
Die Anfangsbedingungen habe ich hier gar nicht angesprochen; mir ging es nur um die (m.E. nicht zutreffende) Faktorisierung.
Welche Bewegungen willst du denn betrachten? Evtl. sind andere Koordinatensysteme besser geeignet als die Schwarzschildkoordinaten, insbs. ohne Koordinatensingularität am Schwarzschildradius. Vernünftig sind z.B. Raindrop-Koordinaten.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Mai 2016 10:37, insgesamt einmal bearbeitet |
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Günther
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 305
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| Günther Verfasst am: 28. Mai 2016 10:35 Titel: |
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| yukterez hat Folgendes geschrieben: | | siehe Eq. 20 |
| yukterez hat Folgendes geschrieben: | und die radiale Komponente um den Faktor
verkürzt? |
Das ist nicht die radiale "Verkürzung", die hatte ich dir schon angegeben.
Gleichung (20) ist wohl die SRT Betrachtung. Dabei ist  die Anfangsgeschwindigkeit in der als flach angenommenen Raumzeit.
Aus
läßt sich die "Schalengeschwindigkeit"  herleiten. Dieser etwas kompliziertere Ausdruck*) (kann ich auf Wunsch zeigen) vereinfacht
sich dann zu dem bekannteren  , wenn der Fall aus dem Unendlichen (dort in Ruhe) beginnt.
D.h. die in deiner Formel angegebene Geschwindigkeit kannst du nicht für die Photosphäre anwenden. Zur Thematik transversal kann ich nichts beitragen.
EDIT In "Exploring Black Holes" erhalte ich nach einfacher Umformung
Hier ist  die Ruhemasse des Objekts und  die Energie der SRT im Unendlichen. Worauf der Unterschied zu (20) beruht ist mir noch nicht klar.
*)Nein, der erwähnte "kompliziertere Ausdruck" ergibt sich aus letzterer Formel. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 30. Mai 2016 05:51 Titel: |
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Nach reiflicher Überlegung und ein paar Proberechnungen kam ich zum Schluß dass man den gravitativen Faktor aus der transversalen Komponente streichen muss, so dass die v₀ folgendermaßen in r'(0) and θ'(0) konvertiert wird:
\cdot r(0) = \frac{v_0\cdot cos(\varphi)}{ \color{red}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}} \text{ , } \dot{r}(0) = \frac{v_0\cdot sin(\varphi)\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{red}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}})
wobei  für eine rein transversale und  für eine rein radiale Anfangsgeschwindigkeit steht.  wäre dann ein Startwinkel von 45°.
Damit erhalte ich über das Differential
 = \frac{\sqrt{c^2\cdot r(t)-c^2\cdot r_s +r(t)\cdot r'(t)^2- r_s\cdot r(t)^2\cdot \theta '(t)^2+r(t)^3\cdot \theta '(t)^2}}{c\cdot \sqrt{r(t)- r_s } \cdot\sqrt{1-\frac{ r_s }{r(t)}}})
die selbe Zeitdilatation wie mit
Das habe ich mit rein transversalen und rein radialen Anfangsgeschwindigkeiten sowie mit Kombinationen wie zB 45° ausprobiert und immer die korrekten Ergebnisse erhalten. Damit dürfte meine Frage beantwortet sein.
Proberechnung:  http://org.yukterez.net/probe,schwarzschild.gif |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Mai 2016 06:39 Titel: |
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Zur Info:
http://www.physics.ucc.ie/apeer/PY4112/Sch.pdf
Ich kann nicht erkennen, woher die Formeln kommen. Sie entsprechen jedenfalls nicht dem, was ich bzgl. der Geodäten der Schwarzschildlösung kenne.
Die Zeitdilatation ist m.E. ebenfalls nicht korrekt. Ich hatte oben das Linienelement bzw. die Eigenzeit angegeben:
^2} = dt\, \sqrt{g_{00} + g_{ii}\,(v^i)^2})
Man erkennt, dass beide Beiträge nicht faktorisieren. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 30. Mai 2016 07:59 Titel: |
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Dann machen wir die Probe auf's Exempel, vielleicht bringen ja die Zahlen einen Aufschluß. G=M=c=1:
Wenn ich einen Beobachter auf die Schale der Photonensphäre bei r0=1.5rs stelle und ihn in seinem lokalen System gemessen mit einem Abschusswinkel von 45°, also schräg nach oben, einen Testpartikel werfen lasse der die lokale Eigengeschwindigkeit v0=999/1000 haben soll, dann gebe ich in der Differentialgleichung als Startbedingung ein:
r'(0) = 333·√(3/3998) = 9.1218613
θ'(0) = 333/√(3998) = 5.2665091
Mit den Einstellungen sehen auch die Orbits so aus wie man sie erwartet. Bekommst du andere Zahlen raus? Das würde mich wundern, ich bin mir ziemlich sicher dass das so stimmen müsste, zumindest im englischsprachigen Nachbarforum hat man mir das auch gerade bestätigt.
Das bedeutet zwar dass Winkel nicht erhalten bleiben sondern für einen Beobachter at infinity flacher erscheinen, aber da das Verhältnis von Umfang zu Radius in Schwarzschildkoordinaten auch nicht mehr 2π ist wird kann das durchaus hinkommen.
Um von umfanggetreuer Darstellung auf radialgetreue Darstellung umzuschalten wird man dann wohl die r-Koordinate mit rs+∫(1/√(1-rs/R), R=rs..r) multiplizieren (rs+... deshalb weil man innerhalb des rs imaginäre Werte erhält und deshalb ab dort abschneidet). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Mai 2016 09:14 Titel: |
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Ich kann nur nochmal wiederholen, dass ich nicht erkennen kann, woher die Formeln kommen. Und man sieht dem Linienelement an, dass es nicht in die von dir genannte Form faktorisiert.
Wie kommst du denn auf diese Faktorisierung?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 30. Mai 2016 18:13 Titel: |
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Die Formel differenziert die Schwarzschildkoordinaten durch die Eigenzeit des Wurfgegenstandes. So erhält man nicht die Geschwindigkeit sondern die Rapidität. Daher muss bei den Startbedingugen auch die Rapidität und nicht die Geschwindigkeit eingegeben werden. Dadurch ist die Bewegungsgleichung fast die selbe wie bei Newton, bis auf den Term mit -3GM/c²*θ'². Von der Eigenzeit wird dann auf Koordinatenzeit differenziert, dann hat man die Geschwindigkeit im System des Koordinatenbeobachters (am EH sind dann auch alle Geschwindigkeiten aufgrund der gravitativen ZD gleich Null).
Dass die Faktorisierung stimmt schließe ich aus der Proberechnung mit der Zeitdilatation und aus den Plots mit den Orbits.
Wenn du anders differenzierst kann es zwar sein dass du andere Startbedingungen verwendest, aber wir können es ja auch anders überprüfen: Wenn ich einen Beobachter auf der Schale r0=10rs platziere und ihn einen Ball mit der Geschwindigkeit √(GM/r0) in einem Winkel von 45° werfen lasse (alles im System des Werfers gemessen) fällt der nach 434.323143 GM/c³ Eigenzeit auf den Ereignishorizont der zentralen Masse, während er in Koordinaten- und Schalenzeit nur auf diesen zukonvergiert aber nie hindurchfällt:
Plot.gif |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Mai 2016 22:13 Titel: |
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Ich würde trotzdem gerne verstehen, von welcher Gleichung du ausgehst. Ich habe einen derartigen Term noch nie gesehen, weder in eigenen Berechnungen, noch in der Literatur.
Wenn man die Bewegungsgleichungen erster Ordnung in der Schwarzschildmetrik herleitet, tritt ein derartiger Term nicht auf:
https://preposterousuniverse.com/wp-content/uploads/grnotes-seven.pdf (eq. 7.38 ff)
Wenn man zunächst das allgemeine Linienelement ansetzt (meine Formel) ist v zunächst beliebig, d.h. muss nicht zwingend einer Geodäte entsprechen. In dieser Form tritt die von dir genannte Faktorisierung ebenfalls nicht auf.
Vielleicht reden wir aneinander vorbei. Ich benutze noch gar keine Startbedingungen sondern betrachte ausschließlich die Bewegungsgleichung selbst.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 30. Mai 2016 23:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe einen derartigen Term noch nie gesehen, weder in eigenen Berechnungen, noch in der Literatur. |
Hier findet man ihn gleich auf der ersten Seite bei (2): astro.umd.edu/~miller/teaching/astr498/lecture10.pdf
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vielleicht reden wir aneinander vorbei. Ich benutze noch gar keine Startbedingungen sondern betrachte ausschließlich die Bewegungsgleichung selbst. |
Nur ohne Startbedingungen kann man ja keine Differentialgleichungen plotten. Die Faktorisierung stimmt aber, da bin ich mir mittlerweile so gut wie 100% sicher. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 31. Mai 2016 01:26 Titel: |
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Ich glaub wenn Du klar artikuliert hättest was Du machen möchtest, dann hättest Du das erstens selber ausrechnen können und ihr beide euch lange Diskussionen erspart  Ich hab etwas gebraucht, bis ich wusste was Du wolltest, denn:
| yukterez hat Folgendes geschrieben: |
Wenn man jetzt z.B. sagt man will, klassischer Fall, einem Testpartikel eine transversale Initialgeschwindigkeit von v0=0.999c auf Höhe der Photonensphäre bei r0=3GM/c² verpassen muss man ja irgendwelche Initialbedingungen setzen. Ich würde in dem Fall wählen:
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Man wählt Anfangsbedingungen und die kann man natürlich beliebig wählen. Deswegen hat mich Deine Frage an sich ziemlich irritiert.
Was Du eigentlich fragen wolltest ist:
Wenn ich an einem Punkt in in diesem Punkt flachen Koordinaten eine Geschwindigkeit  messe, wie sieht diese Anfangsbedingung in den entsprechenden Schwartzschild-Koordinaten aus? Das ist natürlich keine Frage der Wahl, sondern eindeutig bestimmt, sobald Du Deine Koordinatensysteme fixiert hast
Es ist eine lehrreiche Übung das mal selber explizit durchzurechnen (Ja, ich hab das gerade getan  empfehle aber Mathematica, da man sonst durchdreht). Man erhält (modulo Rechenfehler )
}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r(0)}}} = \frac{1}{\sqrt{1-v_0^2}} |\vec v_{0\parallel}|)
und
\sqrt{\theta'(0)^2+\sin^2(\theta(0))\varphi'(0)^2} = \frac{1}{\sqrt{1-v_0^2}} |\vec v_{0\perp}| )
wobei prallalel und perp bezüglich der radialen Richtung sind und ich hier wieder die übliche Notation gewählt habe, dass varphi der Azimuthalwinkel ist und theta der Polarwinkel.
Wie man sieht stimmen beide mit Deinen Gleichungen überein (Ich geh mal davon aus, dass bei Dir Theta der Azimuthalwinkel ist und dass der Polarwinkel pi/2 gewählt wurde). |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 31. Mai 2016 02:34 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Man wählt Anfangsbedingungen und die kann man natürlich beliebig wählen. |
Ja das war wohl etwas dumm gefragt, mit wählen meinte ich natürlich
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | wie sieht diese Anfangsbedingung in den entsprechenden Schwartzschild-Koordinaten aus? |
Alles andere wäre unsinnig (:
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | empfehle aber Mathematica |
Das hat meine Qual der Wahl auch erheblich gemildert.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wie man sieht stimmen beide mit Deinen Gleichungen überein |
Das freut mich!
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ich geh mal davon aus, dass bei Dir θ der Azimuthalwinkel ist und dass der Polarwinkel π/2 gewählt wurde |
Ja, und φ der Abschusswinkel. So lange das schwarze Loch nicht rotiert und dabei die Raumzeit verdreht bleibt der Polarwinkel ja erhalten, da kann man die Kugel immer so rotieren dass man genau von der Seite draufschaut:
| Wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Since the Schwarzschild metric is symmetrical about λ = π/2, any geodesic that begins moving in that plane will remain in that plane indefinitely (the plane is totally geodesic). Therefore, we orient the coordinate system so that the orbit of the particle lies in that plane, and fix the λ coordinate to be π/2 so that the metric (of this plane) simplifies to... |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 31. Mai 2016 09:14 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | empfehle aber Mathematica, da man sonst durchdreht |
Nö, das ist nicht so wild. Du musst nur in zwei Schritten vorgehen: Erst v vom Schalenbeobachter (siehe Günthers Beitrag) zu Schwarzschildkoordinaten umrechnen. Das ist einfach, weil die Koordinaten nur ggf. einzeln skaliert sind und sich nichts vermischt. Dann noch gamma drauf, damit man von dx/dt auf  kommt.
Deswegen kann man auch den Zeitdilatationsfaktor so schön faktorisieren: Der Schalenbeobachter sieht das Objekt um gamma langsamer, und du den Schalenbeobachter um  . |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 31. Mai 2016 09:31 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | empfehle aber Mathematica, da man sonst durchdreht |
Nö, das ist nicht so wild. |
Ich meinte das explizite ausschreiben der Koordinaten-Transformation und das dann einfach gerade durch x-en. Aber Du hast recht  mit etwas nachdenken kann man sich das leben sehr viel einfacher machen, ist mir heute morgen beim ersten Kaffee auch aufgefallen. War halt schon spät gestern |
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