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FL
Gast
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 FL Verfasst am: 14. Mai 2013 08:06 Titel: Warum fällt das Elektron nicht in den Atomkern? |
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Meine Frage:
Hallo zusammen.
Was ich immer schon mal wissen wollte ist, warum das Elektron nicht in den Atomkern fällt.
Eigentlich müsste das Elektron dies tun, denn zum einen ist das Proton 1836 mal schwerer als das Elektron und zum anderen ziehen sich Elektron und Proton aufgrund ungleichnamiger Ladungen an.
Meine Ideen:
Niels Bohr hat die stabilen Bahnen postuliert, aber wie sieht das quantenmechanisch aus. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 14. Mai 2013 08:12 Titel: |
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Weil weder Elektron noch Proton kleine Kugeln sind die sich umkreisen.
(Auch wenn dieses Bild manchmal hilfreich sein kann, wenn man sich ein Atom vorstellt.) |
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FL
Gast
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| FL Verfasst am: 14. Mai 2013 08:16 Titel: |
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Hat das möglicherweise etwas mit der Heisenbergschen Unbestimmheitsrelation etwas zu tun? Oder mit der Schrödingergleichung? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 14. Mai 2013 08:18 Titel: |
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| FL hat Folgendes geschrieben: | | Hat das möglicherweise etwas mit der Heisenbergschen Unbestimmheitsrelation etwas zu tun? Oder mit der Schrödingergleichung? |
Letztlich mit der Schrödingergleichung (und den Axiomen der QM), aber nicht weil das erklärt wieso das Elektron nicht in das Proton fällt, sondern weil es von vorne herein gar keinen Grund gibt, dass es so sein sollte... (eben weil sich keine zwei 'Kugeln' umkreisen). |
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FL
Gast
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| FL Verfasst am: 14. Mai 2013 08:22 Titel: |
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Also sollte man sich besser vorstellen, dass Elektron und Proton unscharfe Wellen sind? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 14. Mai 2013 09:39 Titel: |
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| FL hat Folgendes geschrieben: | | Also sollte man sich besser vorstellen, dass Elektron und Proton unscharfe Wellen sind? |
Man sollte sich am besten zunächst mal gar nichts vorstellen.
Gemäß dem quantenmechanischen Atommodell werden die Elektronen in einem Atom mathematisch durch Wellenfunktionen beschrieben die Lösungen der Schrödingergleichung sind (ich habe bewusst vermieden "ist" oder "sind" zu schreiben; es handelt sich um ein Modell, nicht um die Wirklichkeit).
Die Wellenfunktionen selbst sowie ihre zeitliche Entwicklung sind ohne jede Unschärfe definiert, für die Werte beobachtbarer Größen, die man daraus ableiten kann (Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie, ...) ergeben sich jedoch Unschärfen. Allerdings ist nicht zwingend eine derartige Größe unscharf (z.B. sind Drehimpuls und Energie eines Elektrons im H-Atom nicht mit einer Unschärfe behaftet), lediglich für die Kombination (das Produkt) zweier Größen kann eine Unschärfe vorliegen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Usjk
Gast
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| Usjk Verfasst am: 14. Mai 2013 11:42 Titel: |
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Das Elektron ist doch schon so nah wie möglich am Kern, natürlich unter Beachtung gewisser Besetzungsniveaus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 14. Mai 2013 11:50 Titel: |
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Die Frage ist, ob ein tiefstes Niveau existiert, oder ob das Elektron noch weiter "nach unten" oder "noch näher" an den Kern gelangen kann. Beides ist in der QM nach unten beschränkt.
Für die Lösung der SGL (für das H-Atom)
|nlm\rangle = 0)
folgt
und somit sind die Energieeigenwerte nach unten beschränkt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 14. Mai 2013 21:32 Titel: Re: Warum fällt das Elektron nicht in den Atomkern? |
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| FL hat Folgendes geschrieben: | | Was ich immer schon mal wissen wollte ist, warum das Elektron nicht in den Atomkern fällt. |
Niemand hindert es daran. Tatsächlich erreicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines s1-Elektrons im Kern sogar ihr Maximum. Dass Wasserstoffatome auf diese Weise nicht zu Neutronen mutieren, verdanken wir dem glücklichen Umstand, dass das Neutron energiereicher als Wasserstoffatome sind. Wenn allerdings genug Energie für eine solche Verschmelzung vorhanden ist, dann passiert das manchmal auch. Weil dabei meistens Elektronen der K-Schale eingefangen werden, nennt man das auch K-Einfang. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 15. Mai 2013 07:39 Titel: |
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Ich denke, der wesentliche Punkt ist, dass der Grundzustand zunächst mal eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für Radien größer 0 aufweist, und dass er stabil ist (da Eigenzustand). Der Hamiltonoperator hat ein nach unten beschränktes Spektrum, ein Grundzustand existiert, und damit eine kleinste, nicht unterschreitbare Energie (Eigenwert).
Dies trifft auf ein klassisches Teilchen nicht zu; seine potentielle Energie kann beliebig negativ werden. In der QM ist dies nicht möglich.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 15. Mai 2013 08:06 Titel: |
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Übrigens ist mir noch was aufgefallen: die Erklärung der Stabilität der Atome in der QM im Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik ist unvollständig bzw. vergleicht Äpfel mit Birnen.
In der E.-Dyn. wird die Abstrahlung einer el.-mag. Welle und die daraus resultierende Instabilität diskutiert. In der QM wird aber das el.-mag. Feld gar nicht diskutiert!
Die o.g. Argumentation ist nicht falsch, jedoch unvollständig. Tatsächlich müsste man die QED statt der QM betrachten
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 15. Mai 2013 09:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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rasterfari
Anmeldungsdatum: 13.05.2013
Beiträge: 82
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| rasterfari Verfasst am: 15. Mai 2013 09:00 Titel: Re: Warum fällt das Elektron nicht in den Atomkern? |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | FL hat Folgendes geschrieben: | | Was ich immer schon mal wissen wollte ist, warum das Elektron nicht in den Atomkern fällt. |
Niemand hindert es daran. Tatsächlich erreicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines s1-Elektrons im Kern sogar ihr Maximum. |
 Ist das wirklich so ? Ich dachte die größte Aufenthaltswahrscheinlichkeit wäre beim Wasserstoff in etwa der Bereich der ersten Bohrschen Bahn ... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 15. Mai 2013 09:41 Titel: |
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Nun, das kommt darauf an, wie du das rechnest und interpretierst. Die Wellenfunktion im 1s bzw. (nlm) = (100) Zustand lautet
 = c\,e^{-r/a})
mit einer Normierungskonstante c; und diese Wellenfunktion hat ihr Maximum bei r=0.
Den Erwartungswert des Radius im 1s-Zustand erhältst du dann wie folgt
Der Integrand ist als Wahrscheinlichkeitsdichte multipliziert mit r zu interppretieren; und da liegt das Maximum im Bereich des Bohrschen Radius a.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 15. Mai 2013 18:46 Titel: Re: Warum fällt das Elektron nicht in den Atomkern? |
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| rasterfari hat Folgendes geschrieben: | | Ich dachte die größte Aufenthaltswahrscheinlichkeit wäre beim Wasserstoff in etwa der Bereich der ersten Bohrschen Bahn ... |
Das ist auch so. Deshalb schrieb ich auch extra Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Dass ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man das Teilchen in einem bestimmten Volumen findet und die ist bei einem s1-Elektron im Kern am größten. Dass man das Elektron trotzdem mit einer viel höheren Wahrscheinlichkeit im Bereich des Bohrschen Radius antrifft, liegt daran, dass der Kern so verdammt klein ist. Die dazugehörige Mathematik hat TomS ja schon gepostet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2013 07:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | ... die Erklärung der Stabilität der Atome in der QM im Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik ist unvollständig bzw. vergleicht Äpfel mit Birnen.
In der E.-Dyn. wird die Abstrahlung einer el.-mag. Welle und die daraus resultierende Instabilität diskutiert. In der QM wird aber das el.-mag. Feld gar nicht diskutiert!
Die o.g. Argumentation ist nicht falsch, jedoch unvollständig. Tatsächlich müsste man die QED statt der QM betrachten |
Ich habe das Thema nochmal mit ein paar Bekannten diskutiert. Wir waren uns im wesentlichen einig: man muss auf zwei Ebenen argumentieren
1) klassische Bahnen geladener Teilchen in statischen elektrischen Feldern vs. quantenmechanische Wellenfunktion (in statischen elektrischen Feldern)
2) geladene Teilchen in dynamischen Feldern mit möglicher Abstrahlung von el.-mag. Wellen vs. quantenfeldtheoretische Betrachtung
Gemäß 1) sind die klassischen Bahnen für beliebig kleine Radien und damit beliebig negative potentielle Energien möglich. Jede Bahn für sich ist stabil, allerdings git es keine "tiefste" Bahn, ein Sturz ins Zentrum wäre somit möglich. Die QM besagt nun, dass es ein tiefstes Energieniveau gibt, dass die qm Zustände nach unten beschränkt sind, und dass somit ein Sturz ins Zentrum nicht möglich ist. Dies ist ein deutliches Indiz für die Stabilität ...
... allerdings ist 1) sowohl klassisch als auch in der QM unvollständig, da der Mechanismus des Sturz ins Zentrum nicht beschrieben werden kann. Damit ist 1) kein Beweis der Stabilität.
Gemäß 2) koppelt das Elektron an ein dynamisches el.-mag. Feld und kann klassisch Wellen bzw. quantenfeldtheoretisch Photonen abstrahlen. Klassisch ist das System explizit instabil und das Elektron stürzt in den Kern. In der QED ist die unter 1) gefundene Lösung der QM dagegen stabil gegen kleine Störungen, d.h. unter der Annahme, dass die QED nur kleine Korrekturen bewirkt.
Damit reproduzieren die Ergebnisse der QED die bekannte Physik und die Beobachtungen, allerdings steht ein formaler Beweis der Stabilität ohne einschränkende Annahmen noch aus.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 17. Mai 2013 08:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der QED ist die unter 1) gefundene Lösung der QM dagegen stabil gegen kleine Störungen, d.h. unter der Annahme, dass die QED nur kleine Korrekturen bewirkt. |
Auch für grosse Störungen:
Die Frage ist doch, ob es statt "e+p im Grundzustand" einen anderen Zustand gibt "e+p + X" mit 'X=Photonen+was weiss ich', der niedrigere Energie hat und das ist schlicht nicht der Fall, weder in QM noch QED.
Sofern B und L Erhaltungszahlen sind, gilt dass sogar ohne die Einschränkung, dass der Endzustand e+p enthalten muss. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2013 08:20 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der QED ist die unter 1) gefundene Lösung der QM dagegen stabil gegen kleine Störungen, d.h. unter der Annahme, dass die QED nur kleine Korrekturen bewirkt. |
Auch für grosse Störungen ...
Sofern B und L Erhaltungszahlen sind, gilt dass sogar ohne die Einschränkung, dass der Endzustand e+p enthalten muss. |
Sorry, aber ich habe mit schon was dabei gedacht, bei dem was ich schreibe.
Die Einschränkung auf die Störungstheorie hat einige gravierende Konsequenzen:
- die Existenz der Theorie ist mathematisch nicht abgesichert (gilt eigtl. generell)
- die Störungsreihe selbst ist eine asymptotische, d.h. divergente Reihe
- die QED ist UV-unvollständig (Landau-Pol) und muss bei hohen Energien modifiziert werden
- es gibt Prozesse, die in der Störungstheorie nicht sichtbar sind (insbs. auch el.-schw. Prozesse)
- die Tatsache, dass kein niedrigerer Energiezustand bekannt ist bedeutet nicht, dass es einen Beweis für die Nichtexistenz gibt
Ich gebe dir recht, im physikalischen Sinne ist allen klar, dass Atome im Rahmen der QED stabil sind. Aber ein mathematischer Beweis existiert nicht. Und die mathematischen Beweise im Rahmen der QM sind im o.g. Sinne physikalisch unvollständig.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 17. Mai 2013 08:58 Titel: |
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... ohne Worte... sorry... |
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Alter Physiker
Anmeldungsdatum: 15.04.2013
Beiträge: 55
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| Alter Physiker Verfasst am: 20. Sep 2013 21:07 Titel: Drehimpuls |
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Die übliche Erklärung in den Quantenmechanik-Büchern sieht so aus, dass man den Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten schreibt und den radialen Anteil betrachtet.
Man schlägt dann dem Potential V(r) den Drehimpulsanteil der kinetischen Energie zu und betrachtet das so entstandene effektive Potential.
Dieses hat ein Minimum, das nicht bei r = 0 liegt.
Diese "Drehimpulsbarriere" wird, genau wie in der klassischen Mechanik, als Grund angesehen, dass das Elektron nicht in den Kern fällt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2013 21:47 Titel: |
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| Alter Physiker hat Folgendes geschrieben: | | ... Diese "Drehimpulsbarriere" wird, genau wie in der klassischen Mechanik, als Grund angesehen, dass das Elektron nicht in den Kern fällt. |
Die Argumentation ist aus zwei Gründen unzureichend.
1) Erstens suggeriert die Drehimpulsbarriere eine klassische stabile Bahnkurve. Diese alleine ist aber nicht ausreichend. Betrachten wir folgendes Gegenbeispiel:
 = -\alpha r^{-4} + \beta r^{-2})
Das Potential hat bei geeigneter Wahl der Konstanten eine klassisch stabile Mulde bei r=0. Der Hamiltonoperator ist jedoch nach unten unbeschränkt und damit physikalisch sinnlos. Eine Wellenfunktion (quadratintegrierbar etc.) kann nicht existieren.
Damit haben wir eine klassisch stabile Lösung mit einem nach unten unbeschränkten Hamiltonoperator, die quantenmechanisch sinnlos ist - und wir haben eine zweite, klassisch stabile Lösung mit einem für L=0 nach unten unbeschränkten (!) Potential ohne Drehimpulsbarriere
 =\alpha r^{-1})
wobei der resultierende Hamiltonoperator nach unten beschränkt (!) ist und stabile Lösungen hat.
Die Argumentation ist also sinnlos bis falsch, insbs. für verschwindenden Drehimpuls L=0 wird das offensichtlich.
2) Eine Abstrahlung von el.-mag. Wellen, die klassisch als Zeichen der Instabilität des Coulombproblems angesehen wird, existiert in der nicht-rel. QM einfach deswegen nicht, weil es da keine el.-mag. Wellen gibt. Das Problem ist sozusagen kastriert, und es bleibt unklar, ob die Stabilität nicht evtl. nur ein Artefakt dieser Kastration ist (man argumentiert mittels E-Dynamik bzgl. klassischer Instabilität, jedoch ohne E-Feld bzgl. quantenmechanischer Stabilität)
Diese zweite Argumentation ist also mindestens unvollständig.
Ich kenne natürlich die Standardargumentationen, aber sie sind - bei Licht betrachtet - teilweise unehrlich, unvollständig o.ä.
| Alter Physiker hat Folgendes geschrieben: | | Die übliche Erklärung in den Quantenmechanik-Büchern sieht so aus, ... |
Ich denke, man sollte vor derartigen Büchern eher warnen.
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Alter Physiker
Anmeldungsdatum: 15.04.2013
Beiträge: 55
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| Alter Physiker Verfasst am: 20. Sep 2013 22:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Erstens suggeriert die Drehimpulsbarriere eine klassische stabile Bahnkurve.
Ich denke, man sollte vor derartigen Büchern eher warnen. |
Zu erstens: Das tut sie nicht, denn aus dem effektiven Potential kann man zusammen mit der Gesamtenergie auf einen (klassisch denkbaren) Aufenthaltsbereich des Elektrons schließen.
Zu den Büchern, vor denen man angeblich warnen sollte gehört dann also z.B. C. Cohen-Tannoudji: Quantenmmechanik Bd. 2, § 7 ! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2013 07:46 Titel: |
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| Alter Physiker hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Erstens suggeriert die Drehimpulsbarriere eine klassische stabile Bahnkurve.
Ich denke, man sollte vor derartigen Büchern eher warnen. |
Zu erstens: Das tut sie nicht, denn aus dem effektiven Potential kann man zusammen mit der Gesamtenergie auf einen (klassisch denkbaren) Aufenthaltsbereich des Elektrons schließen.
Zu den Büchern, vor denen man angeblich warnen sollte gehört dann also z.B. C. Cohen-Tannoudji: Quantenmmechanik Bd. 2, § 7 ! |
Aber für L=0 ist das effektive Potential identisch mit dem Coulombpotential, und es gibt keine Drehimpulsbarriere; trotzdem sind die Eigenzustände stabil. Die Argumentation, dass die Drehimpulsbarriere für die Stabilität des Zustandes in der QM sorgt, ist also offensichtlich falsch.
Was steht denn genau im Cohen-Tannoudji? Ich habe ihn nicht hier.
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