RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
rhombus



Anmeldungsdatum: 23.09.2021
Beiträge: 10

Beitrag rhombus Verfasst am: 06. Mai 2022 16:32    Titel: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:

x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1

Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.

Ich bedanke mich für Tips und Anregungen!

Meine Ideen:
/
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3108

Beitrag index_razor Verfasst am: 06. Mai 2022 16:49    Titel: Re: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM Antworten mit Zitat

rhombus hat Folgendes geschrieben:

ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:

x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1

Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.


Gemeint sind also die Erwartungswerte in der Energiedarstellung. Mehr als die algebraischen Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter benötigst du dafür nicht. Drücke und durch und aus und wende die so erhaltenen Ausdrücke für auf an. Für die Erwartungswerte mußt du nur solche Terme berücksichtigen, in denen genauso viele Erzeuger wie Vernichter vorkommen. Alle anderen Terme ändern die Energiequantenzahl und tragen nicht zu Erwartungswerten in einem Energieeigenzustand bei.

_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
rhombus



Anmeldungsdatum: 23.09.2021
Beiträge: 10

Beitrag rhombus Verfasst am: 06. Mai 2022 18:05    Titel: Re: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
rhombus hat Folgendes geschrieben:

ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:

x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1

Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.


Gemeint sind also die Erwartungswerte in der Energiedarstellung. Mehr als die algebraischen Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter benötigst du dafür nicht. Drücke und durch und aus und wende die so erhaltenen Ausdrücke für auf an. Für die Erwartungswerte mußt du nur solche Terme berücksichtigen, in denen genauso viele Erzeuger wie Vernichter vorkommen. Alle anderen Terme ändern die Energiequantenzahl und tragen nicht zu Erwartungswerten in einem Energieeigenzustand bei.



Etwas verwirrend, dass in der Aufgabe auf die Hermite-Polynome aufmerksam gemacht wird, aber mit diesem Ansatz habe ich es sofort hinbekommen, vielen Dank!
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik