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Nachricht |
Sukokuatze
Anmeldungsdatum: 28.02.2022
Beiträge: 1
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 Sukokuatze Verfasst am: 28. Feb 2022 19:51 Titel: Homogen geladene Kugel (Koordinaten) |
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Meine Frage:
Hallo Leute,
ich soll das elektrostatische Potential einer homogen geladenen Kugel berechnen. Allgemein ist das Potential gegben als:
 = \int \! \dd^3 r'\frac{\varrho (\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \, )
dann folgt durch Überführung in Kugelkoordinaten:
 = 2\pi \varrho_{0} \int_0^R \dd r' r'^{2} \int_{-1}^1 \! \, \dd \cos(\vartheta ) \frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\vartheta ) }} )
Meine Frage wäre nun, wie man auf die Integralgrenzen (-1 bis 1) und auf Integrationsvariable cos(theta) (diese Integrationsvariable habe ich persönlich noch nie gesehen) kommt und wie man damit umgeht.
Ich wäre auch sehr über Literaturempfehlungen oder andere Möglichkeiten sich weiterzubilden, zu genau solchen Themen (Mathematische Methoden etc), sehr dankbar. In den Physikbüchern die ich nutze (Fließbach, Griffiths), werden diese Themen (verständlicher Weise) meistens nur angerissen. Als Lehramtsstudent haben wir leider keine weiterführenden mathematischen Kurse, weshalb es gerade in Theo bei mir sehr hadert.
Vielen Dank im Voraus für eure Tipps. :)
Meine Ideen:
Ich denke, es muss irgendwie mit der fehlenden Jakobi Determinante (sin(theta)) zu tun haben. Ich verstehe jedoch nicht wie genau. Der Term unter der Wurzel folgt, denke ich, aus dem Kosinussatz und ersetzt nur den Term im Nenner aus der 1. Gleichung. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Feb 2022 20:42 Titel: Re: Homogen geladene Kugel (Koordinaten) |
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| Sukokuatze hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo Leute,
ich soll das elektrostatische Potential einer homogen geladenen Kugel berechnen. Allgemein ist das Potential gegben als:
dann folgt durch Überführung in Kugelkoordinaten:
Meine Frage wäre nun, wie man auf die Integralgrenzen (-1 bis 1) und auf Integrationsvariable cos(theta) (diese Integrationsvariable habe ich persönlich noch nie gesehen) kommt und wie man damit umgeht.
Ich wäre auch sehr über Literaturempfehlungen oder andere Möglichkeiten sich weiterzubilden, zu genau solchen Themen (Mathematische Methoden etc), sehr dankbar. In den Physikbüchern die ich nutze (Fließbach, Griffiths), werden diese Themen (verständlicher Weise) meistens nur angerissen. Als Lehramtsstudent haben wir leider keine weiterführenden mathematischen Kurse, weshalb es gerade in Theo bei mir sehr hadert.
Vielen Dank im Voraus für eure Tipps. 
Meine Ideen:
Ich denke, es muss irgendwie mit der fehlenden Jakobi Determinante (sin(theta)) zu tun haben. Ich verstehe jedoch nicht wie genau. Der Term unter der Wurzel folgt, denke ich, aus dem Kosinussatz und ersetzt nur den Term im Nenner aus der 1. Gleichung. |
Ja, beide Überlegungen stimmen schon. Fangen wir mit der zweiten an. Im Nenner steht die Norm des Vektors  , d.h.
\cdot(\vec{r}-\vec{r}')}) .
Unter der Wurzel steht das Skalarprodukt, d.h.
\cdot(\vec{r}-\vec{r}') = r^2 + r'^2 - 2\vec{r}\cdot\vec{r}'=r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\theta,)
wobei hier  als der Winkel zwischen den beiden Vektoren  definiert ist. (Das ist im Prinzip der Kosinussatz.) Der Vektor  ist fix und fungiert ab jetzt als z-Achse für die Definition der Polarkoordinaten.
Das Volumenelement in Polarkoordinaten ist aber
mit der Jacobideterminante  .
Bei der Integration über den ganzen Raum läuft r von 0 bis unendlich, von 0 bis  und  von 0 bis  , d.h. das Integral lautet
)
Von hängt im Integranden nichts ab. Das Integral ergibt also einfach den Faktor  .
Für das innere Integral über verwendet man /\dd\theta = -\sin\theta) , bzw.  = \sin\theta\dd\theta) . Das negative Vorzeichen kann man durch Vertauschen der Integrationsgrenzen ausgleichen. Dann hätte das innere Integral also die untere Grenze  und die obere Grenze  = 1) , d.h.
 = -\int_\pi^0\sin\theta\dd\theta(...)=\int_{-1}^1\dd(\cos\theta)(...))
_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Sukokuatze258
Anmeldungsdatum: 28.02.2022
Beiträge: 3
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| Sukokuatze258 Verfasst am: 28. Feb 2022 22:07 Titel: |
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Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort index_razor!
Also handelt es sich dabei nur um eine andere mathematische Form des "Standards"
 \dd \vartheta )
Ich denke ich habe es jetzt verstanden.
Liebe Grüße |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. März 2022 08:08 Titel: |
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| Sukokuatze258 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort index_razor!
Also handelt es sich dabei nur um eine andere mathematische Form des "Standards"
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Es ist eine Anwendung der Substitutionsformel für Integrationsvariablen: Wenn ) (stetig differenzierbar), dann
}^{f(b)} g(u) \dd u = \int_{a}^{b}g(f(x))f'(x)\dd x.)
In diesem Fall ist also  ,  ,  und  .
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